非离散平稳小波变换（SWTs）-MATLAB和Simulink万博1manbetx - 万博1manbetx,s manbetx 845,万博尤文图斯

非抽取离散平稳小波变换

我们知道经典的DWT有一个缺点：DWT不是一个时不变变换。这意味着，即使在周期信号扩展的情况下，信号的转换版本的DWTX通常不是的DWT的翻译版本X．

如何恢复平移不变性，这是经典DWT所丢失的一个理想性质?其思想是对一些略有不同的小波变换(ε-decimated DWT)进行平均，以定义平稳小波变换(SWT)。此属性对于多个应用程序(如断点检测)非常有用。

SWT的主要应用是去噪。有关基本原理的更多信息，请参阅[CoiD95]工具书类。有关示例，请参阅一维平稳小波变换和二维平稳小波变换．

其原理是对几个去噪信号进行平均。它们中的每一个都是使用通常的去噪方案(见小波去噪与非参数函数估计)，但适用于ε-抽取DWT的系数。

请注意

SWT仅适用于长度可被2整除的信号^J哪里J是最大分解级别。SWT使用周期性(每)扩展。

ε摧毁DWT

什么是ε-decimated DWT?

处理离散小波变换有很多稍有不同的方法。让我们回顾一下，DWT的基本计算步骤是卷积，然后是抽取。抽取保留甚至索引元素。

但是抽取可以通过选择奇数索引元素而不是偶数索引元素来执行。这种选择涉及分解过程的每一步，因此在每个级别上我们都选择奇数或偶数。

如果我们对原始信号执行所有不同的可能分解，我们有2个^J不同的分解，对于给定的最高水平J．

让我们用ε表示_j=1或0在步骤中选择奇数或偶数索引元素j．每个分解都用0和1的序列标记:ε = ε₁...,ε_J这种变换称为ε-抽取DWT。

通过对标准DWT的基向量进行移位，可以得到ε-decimated DWT的基向量，并对应于基函数原点的特殊选择。

如何计算ε-抽取DWT:SWT

通过计算每个可能序列ε的近似系数和细节系数，可以计算长度为N的给定信号的所有ε-抽取DWT。通过迭代，使用稍微修改的DWT基本步骤进行此操作：

[A，D]=dwt（X，wname，'mode'，'per'，'shift'，e）；

最后两个参数指定了执行抽取步骤的方式。这是用于e=0，但对于e=奇数索引的元素通过抽取保留下来。

当然，这不是计算所有ε-decimated DWT的好方法，因为许多计算要执行很多次。现在我们将描述另一种方法，即平稳小波变换(SWT)。

SWT算法非常简单，与DWT算法非常接近。更准确地说，对于级别1，给定信号的所有ε-抽取DWT（在该级别只有两个）都可以通过与DWT情况相同的适当滤波器卷积信号而获得，但不需要下采样。然后级别1的近似系数和细节系数都是大小相同的N，即信号长度。这可以在下图中显示出来。

一般的步骤j在级别上卷积近似系数j-1，使用适当的原始滤波器的上采样版本，以产生水平上的近似和细节系数j。如下图所示。

接下来，我们演示了如何从SWT的近似和细节系数结构中提取给定的ε-decimated DWT。

我们用SWT分解一系列高度数，在水平上J=3，使用正交小波。

功能swt依次计算以下数组，其中一个(j,ε₁,…,ε_j）或D（j，ε）₁,…,ε_j）表示水平上的近似或细节系数jε=[ε]， ε-decimated DWT₁,…,εj].

步骤0（原始数据）

一个(0)

第一步

D（1,0）	D（1,1）	D（1,0）	D（1,1）	D（1,0）	D（1,1）	D（1,0）	D（1,1）
(1,0)	(1)	(1,0)	(1)	(1,0)	(1)	(1,0)	(1)

步骤2

D（1,0）	D（1,1）	D（1,0）	D（1,1）	D（1,0）	D（1,1）	D（1,0）	D（1,1）
D (2 0 0)	D (2, 1, 0)	D (2 0 1)	D（2,1,1）	D (2 0 0)	D (2, 1, 0)	D (2 0 1)	D（2,1,1）
(2, 0, 0)	(2, 1, 0)	(2 0 1)	(2, 1, 1)	(2, 0, 0)	(2, 1, 0)	(2 0 1)	(2, 1, 1)

步骤3

D（1,0）	D（1,1）	D（1,0）	D（1,1）	D（1,0）	D（1,1）	D（1,0）	D（1,1）
D (2 0 0)	D (2, 1, 0)	D (2 0 1)	D（2,1,1）	D (2 0 0)	D (2, 1, 0)	D (2 0 1)	D（2,1,1）
D (0, 0, 0)	D(3、1,0,0)	D（3,0,1,0）	D (3 1 1 0)	D (0, 0, 1)	D (3, 1,0, - 1)	D（3,0,1,1）	D（3,1,1,1）
(3, 0, 0, 0)	(3、1 0 0)	(3 0 1 0)	(3 1 1 0)	(3 0 0,1)	(3, 1,0, - 1)	A（3,0,1,1）	(3、1、1、1)

允许j表示当前级别，其中j也是算法的当前步骤。然后我们得到ε的抽象关系_我= 0或1:

[tmpAPP, tmpDET] = dwt ((j,ε₁,ɛ_j)、wname‘模式’,‘/’,‘转移’,ɛ_j+1）;一个(j + 1,ɛ₁,ɛ_j,ɛ_j+1) = circshift (tmpAPP,ɛ_j+1)；D（j+1，ɛ）₁,ɛ_j,ɛ_j+1) = circshift (tmpDET,ɛ_j+1）;

在哪里circshift对输入向量进行ε-圆位移。因此,如果ε_j+1= 0,circshift指令是无效的，可以被压制。

设ε = [ε .₁,…,ε_J]带ε_我=0或1。我们有2个^J= 2^3.=级别3的八个不同的ε-抽取DWT。选择ε，我们可以从SWT阵列中检索相应的ε-抽取DWT。

现在，考虑最后一步，J= 3，设[Cε，Lε]表示ε-decimated DWT对给定ε的小波分解结构。然后，通过选择合适的系数从SWT分解结构中检索，如下所示:

Cε=

(3ε₁,ε₂,ε_3.）

D(3ε₁,ε₂,ε_3.）

D（2，ε）₁,ε₂）

D(ε₁）

Lε=[1,1,2,4,8]

例如，对应于ε=[ε]的ε-抽取DWT₁,ε₂,ε_3.]=[1,0,1]在上一示例的数组序列中以粗体显示。

这可以扩展到二维情况。图像的平稳小波变换算法如下图所示。

逆离散平稳小波变换(ISWT)

每个ε-decimated DWT对应于一个给定的ε可以被反演。

使用给定的ε-抽取DWT（其特征为ε）重建原始信号₁,…,ε_J]，我们可以使用抽象算法

对于j=j:-1:1A（j-1，ε₁,ɛ_j-1) =…得到一个(ɛj₁,ɛ_j)、D (S,ɛ₁,ɛ_jwname)],“模式”,“每”、“转变”,ɛ_j)；结束

对于每个ε=（ε₁,…,ε_J)，我们得到原始信号A(0)，从略有不同的分解开始，以不同的方式捕捉分析信号的主要特征。

离散平稳小波逆变换的思想是对每一个ε-decimated小波变换的逆变换求平均。这可以从级别开始递归地完成J降到一级。

ISWT通过以下抽象算法得到:

对于j=j:-1:1 X0=idwt（A（j，ɛ）₁,ɛ_jɛ)、D (j₁,ɛ_j)]，wname，…'模式'，'per'，'shift'，0）；X1=idwt（A（j，ɛ）₁,ɛ_jɛ)、D (j₁,ɛ_j), wname,…“模式”、“每”、“转变”,1);X1 = circshift (X1, 1);(ɛj - 1₁,ɛ_j-1) = (X0 + X1) / 2;结束

沿着同样的思路，这可以扩展到二维情况。