小波Changepoint检测
这个例子展示了如何使用小波来检测过程方差的变化。方差的变化很重要，因为它们通常表明数据生成机制发生了根本性的变化。
第一个例子将小波变换点检测应用于一个非常古老的时间序列——公元622年至1281年的尼罗河最低水位数据。河流最低水位是在开罗附近的罗达水位计上测量的。测量单位为米。
加载并绘制数据。
负载nileriverminima年= 622:1284;图绘制(年,nileriverminima)标题(“尼罗河最低水位”) AX = gca;斧子。XTick = 622:100:1222;网格在…上xlabel(“年”)伊拉贝尔(“米”）
公元715年左右开始建造一个新的测量装置。在大约公元722年前后检查数据时，数据的可变性似乎发生了变化。你可以使用小波来探索假设，即测量的可变性受到新测量装置引入的影响。
使用Haar小波对数据进行多分辨率分析（MRA）。
wt=modwt（尼勒维尼马，“哈雾”，4）；mra=modwtmra（wt，“哈雾”）;
绘制MRA，并专注于第一级和第二级的细节。
图子地块（2,1,1）图（年份，mra（1，：））标题(“1级详细信息”)子地块（2,1,2）地块（年份，mra（2，：））名称(“2级详细信息”)AX=gca；AX.XTick=622:100:1222；xlabel(“年”）
对小波系数应用总体方差变化检验。
为pts_Opt = wvarchg(wt(JJ，:)，2);changepoints {JJ} = pts_Opt;终止cellfun (@ (x) ~ isempty (x) changepoints,“统一”,0)
ans = 1 x5单元阵列{[1]}{[0]}{[0]}{[0]}{[0]}
确定与检测到的差异变化相对应的年份。
年(cell2mat (changepoints))
ans=721
将数据分为两段。第一段包括622年至721年，此时细尺度小波系数指示方差变化。第二段包括722年至1284年。按尺度获得小波方差的无偏估计。
tspre = nileriverminima (1:10 0);tspost = nileriverminima(101:结束);wpre = modwt (tspre,“哈雾”，4）；wpost=modwt（tspost，“哈雾”，4）；wvarpre=modwtvar（wpre，“哈雾”,0.95,“桌子”)wvarpost=modwtvar（wpost，“哈雾”,0.95,“桌子”）
wvarpre = 5 x4表NJ降低方差上 __ ________ ________ _______ D1 99 0.25199 0.36053 0.55846 97 93 0.056137 0.11014 0.30622 0.15367 0.25149 0.48477 D3 D2 D4 85 85 0.017875 0.0449 0.25044 0.018881 0.047427 0.26453 S4 wvarpost = 5 x4表NJ降低方差上 ___ ________ ________ _______ D1 562 560 0.085288 0.11394 0.13354 0.15869 D20.10639 0.13648 d3 556 0.0693 0.094168 0.13539 d4 548 0.053644 0.081877 0.14024 s4 548 0.24608 0.37558 0.64329
比较结果。
Vpre=table2array（wvarpre）；Vpost=table2array（wvarpost）；Vpre=Vpre（1:end-1,2:end）；Vpost=Vpost（1:end-1,2:end）；Vpre（：，1）=Vpre（：，2）-Vpre（：，1）；Vpre（：，3）=Vpre（：，3）-Vpre（：，2）；Vpost（：，1）；Vpost（：，3）=Vpost（：，2）；图误差条（1:4，Vpre（：，3），Vpre（：，1），Vpre（：，1），“高”，．..“MarkerFaceColor”，[0]）保持在…上errorbar (1.5:4.5 Vpost (:, 2), Vpost (: 1), Vpost (:, 3),‘b^’，．..“MarkerFaceColor”，[0 0 1]) set(gca，“克斯蒂克”，1.25:4.25）套，“xticklabel”,{“2年”，“4年”，“8年”，“16年”，“32年”})网格在…上伊拉贝尔(“差异”)头衔(“小波方差622-721和722-1284按比例”，“字体大小”（14）图例(“622-721年”，“722-1284年”，“位置”，“东北”）
小波方差表明622-721和722-1284数据在2年和4年尺度上的方差变化显著。
上面的例子使用了只有两个系数的Haar小波滤波器，因为考虑到相对较小的时间序列(来自622-721的100个样本)的边界效应。如果你的数据近似是一阶或二阶差分平稳，你可以使用“反射”边界来替代有偏差的估计。这允许您使用更长的小波滤波器而不用担心边界系数。使用默认的'sym4'小波重复分析。
wpre = modwt (tspre 4“反思”）;wpost = modwt (tspost 4“反思”）;wvarpre = modwtvar (wpre, [] [],“EstimatorType”，“有偏见的”，．..“边界”，“反思”，“桌子”）;wvarpost = modwtvar (wpost, [] [],“EstimatorType”，“有偏见的”，．..“边界”，“反思”，“桌子”）;
策划的结果。
Vpre=table2array（wvarpre）；Vpost=table2array（wvarpost）；Vpre=Vpre（1:end-1,2:end）；Vpost=Vpost（1:end-1,2:end）；Vpre（：，1）=Vpre（：，2）-Vpre（：，1）；Vpre（：，3）=Vpre（：，3）-Vpre（：，2）；Vpost（：，1）；Vpost（：，3）=Vpost（：，2）；图误差条（1:4，Vpre（：，3），Vpre（：，1），Vpre（：，1），“高”，“MarkerFaceColor”，[0]）保持在…上errorbar (1.5:4.5 Vpost (:, 2), Vpost (: 1), Vpost (:, 3),‘b^’，“MarkerFaceColor”，[0 0 1]) set(gca，“克斯蒂克”，1.25:4.25）套，“xticklabel”,{“2年”，“4年”，“8年”，“16年”，“32年”})网格在…上伊拉贝尔(“差异”)头衔({“小波方差622-721和722-1284按比例”；．..“有偏估计——反射边界”},“字体大小”（14）图例('622-721'，“722 - 1284”，“位置”，“东北”)持有关
这一结论得到了证实。在2年和4年的量表中，数据的方差存在显著差异，但在较长的量表中差异不显著。您可以得出这样的结论：流程差异发生了一些变化。
在金融时间序列中，可以使用小波来检测波动的变化。为了说明这一点，考虑1974年Q1至2012Q4的季度链加权美国实际GDP数据。首先通过取自然对数，然后计算年内差值来转换数据。获得小波变换（MODWT）。使用“db2”小波将实际GDP数据的方差降低到第六级。检查数据的方差，并将其与使用MODWT获得的按比例的方差进行比较。
负载GDPcomponentsrealgdpwt = modwt (realgdp,“db2”6.“反思”)；gdpmra=modwtmra（realgdpwt，“db2”，“反思”）;vardata = var (realgdp, 1);varwt = var (realgdpwt(: 1:元素个数(realgdp)), 1, 2);
在里面瓦尔达你有GDP总时间序列的方差瓦特你有MODWT的按比例的方差瓦特因为你得到的MODWT下降到第6级，导致6个小波系数方差和一个缩放系数方差。按比例对方差求和，以确保方差保持不变。按比例绘制小波方差，忽略比例系数方差。
totalMODWTvar =总和(varwt);bar(varwt(1:end-1，:))) AX = gca;斧子。XTickLabels = {'[2 4)'，'[4 8)'，“[8 16)”，“[16个32)”，'[32 64)'，'[64 128)'}；xlabel(“季度”)伊拉贝尔(“差异”)头衔(“小波尺度方差”）
因为这些数据是季度性的，所以第一个量表记录了两到四个季度之间的变化，第二个量表记录了四到八个季度之间的变化，第三个量表记录了八到十六个季度之间的变化，依此类推。
从MODWT和一个简单的条形图中可以看出，在8和32个季度之间的数据周期是GDP数据中最大的方差。如果考虑这些尺度上的小波方差，它们占GDP数据的可变性的57%，这意味着GDP的振荡在2到8年期间占大多数T。他在时间序列中看到了可变性。
绘制一级详细信息D1。这些详细信息捕获了持续时间在两到四个季度之间的数据波动。
helperFinancialDataExample1（gdpmra（1，：），年，．..“与去年同期相比，美国实际GDP-D1”）
从第一级的细节来看，从1980年代开始，差异似乎有所减少。
测试一级小波系数的显著方差变化点。
pts_Opt = wvarchg (realgdpwt(1,1:元素个数(realgdp)), 2);年(pts_Opt)
ans = 1982
1982年确定了一个方差变化点。该示例不纠正“db2”小波在一级引入的延迟。但是，该延迟仅为两个样本，因此不会明显影响结果。
为了评估1982年前后GDP数据波动性的变化，将原始数据分为变动点前后的序列。获取前后数据集的小波变换。在这种情况下，序列相对较短，因此使用Haar小波最小化边界系数的数量。按比例计算小波方差的无偏估计并绘制结果。
tspre = realgdp (1: pts_Opt);tspost = realgdp (pts_Opt + 1:结束);wtpre = modwt (tspre,“哈雾”5);wtpost = modwt (tspost,“哈雾”5);prevar = modwtvar (wtpre,“哈雾”，“桌子”)；postvar=modwtvar（wtpost，“哈雾”，“桌子”）;xlab = {“[2Q，4Q]”，“[4Q，8Q]”，“[8Q，16Q]”，“[16 q, 32 q)”，“[32Q，64Q]”};helperFinancialDataExampleVariancePlot (prevar postvar,“桌子”，xlab）标题(“小波尺度方差”)传说(“1982年第二季度之前”，‘1982年后第二季度’，“位置”，“西北”）
从前面的图中可以看出，在2个季度和16个季度之间，1982年q2前和1982年q2后的方差在量表上存在显著差异。
因为在这个例子中时间序列很短，所以使用方差的有偏估计是很有用的。有偏估计不去除边界系数。使用四个系数的“db2”小波滤波器。
wtpre = modwt (tspre,“db2”5.“反思”)；wtpost=modwt（tspost，“db2”5.“反思”）;prevar = modwtvar (wtpre,“db2”,0.95,“EstimatorType”，“有偏见的”，“桌子”)；postvar=modwtvar（wtpost，“db2”,0.95,“EstimatorType”，“有偏见的”，“桌子”）;xlab = {“[2Q，4Q]”，“[4Q，8Q]”，“[8Q，16Q]”，“[16 q, 32 q)”，“[32Q，64Q]”};图helperFinancialDataExampleVariancePlot (prevar postvar,“桌子”，xlab）标题(“小波尺度方差”)传说(“1982年第二季度之前”，‘1982年后第二季度’，“位置”，“西北”）
结果证实了我们最初的发现，波动性从2个季度减少到16个季度。
使用小波变换可以让您关注波动率变化的局部尺度。要查看这一点，请查看原始数据的绘图以及一级小波细节。
次要情节(2,1,1)helperFinancialDataExample1 (realgdp,年,．..“与去年同期相比，美国实际GDP——原始数据”)子批次（2,1,2）helperFinancialDataExample1（gdpmra（1，：），年，．..“与去年同期相比，美国实际GDP——小波1级细节”）
阴影区域被称为“大缓和”，表示从20世纪80年代中期开始，美国宏观经济波动性下降。
从总体数据来看，我们并不清楚这一时期的波动性是否真的降低了。然而，小波级1的细节揭示了波动性的变化。
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