푸아송 분포

개요

푸아송 분포는 임의 사건이 발생하는 횟수를 모델링하는 1-모수 곡선족입니다. 이 분포는 주어진 시간, 거리, 면적 등에서 임의 사건이 발생하는 횟수를 세야 하는 응용 사례에 적합합니다. 푸아송 분포가 사용되는 응용 사례로 초당 가이거 계수기 클릭 횟수, 시간당 매장에 들어오는 사람의 수, 1분에 네트워크에서 손실되는 패킷 수 등을 들 수 있습니다.

统计和机器学习工具箱™에서는다음과같이푸아송 분포를 사용하는 여러 방법을 제공합니다.

확률 분포를 표본 데이터에 피팅하거나 모수 값을 지정하여 확률 분포 객체PoissonDistribution을 생성합니다. 그런 다음 객체 함수를 사용하여 분포를 실행하고, 난수를 생성하는 등의 작업을 수행합니다.
분포 피팅기앱을 사용하여 대화형 방식으로 푸아송 분포를 사용합니다. 앱에서 객체를 내보내고 객체 함수를 사용할 수 있습니다.
지정된 분포 모수를 이용해 분포 전용 함수(poisscdf,poisspdf,poissinv,poisstat,poissfit,poissrnd)를 사용합니다. 분포 전용 함수는 여러 푸아송 분포의 모수를 받을 수 있습니다.
일반 분포 함수(cdf,icdf,pdf,random)를 지정된 분포 이름('Poisson') 및 모수와 함께 사용합니다.

모수

푸아송 분포는 다음 모수를 사용합니다.

모수	설명	지원
`lambda`(λ)	평균	$λ \geq 0$

또한 모수 λ는 푸아송 분포의 분산과 같습니다.

모수 λ₁과 λ₂를 포함한 두 개 푸아송 확률 변수의 합은 모수λ = λ₁+ λ₂를 포함한 푸아송 확률 변수입니다.

확률 밀도 함수

푸아송 분포에 대한 확률 밀도 함수(pdf)는 다음과 같습니다.

$f (x | λ) = \frac{λ^{x}}{x!} e^{- λ}; x = 0, 1, 2, \dots, \infty .$

그 결과는 임의 사건이 정확히 x회 발생할 확률입니다. 이산 분포의 경우, pdf는 확률 질량 함수(pmf)로도 알려져 있습니다.

예제는푸아송 분포 pdf 계산하기항목을참조하십시오。

누적 분포 함수

푸아송 분포에 대한 누적 분포 함수(cdf)는 다음과 같습니다.

$p = F (x | λ) = e^{- λ} \sum_{i = 0}^{f l o o r (x)} \frac{λ^{i}}{i!} .$

그 결과는 임의 사건이 최대 x회 발생할 확률입니다.

예제는푸아송 분포 cdf 계산하기항목을참조하십시오。

예제

푸아송 분포 pdf 계산하기

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모수lambda = 4를 갖는 푸아송 분포의 pdf를 계산합니다.

x = 0:15; y = poisspdf(x,4);

너비가1인 막대로 pdf를 플로팅합니다.

figure bar(x,y,1) xlabel('Observation') ylabel('Probability')

Figure contains an axes object. The axes object contains an object of type bar.

푸아송 분포 cdf 계산하기

라이브 스크립트 열기

모수lambda = 4를 갖는 푸아송 분포의 cdf를 계산합니다.

x = 0:15; y = poisscdf(x,4);

cdf를 플로팅합니다.

figure stairs(x,y) xlabel('Observation') ylabel(的累积Probability')

Figure contains an axes object. The axes object contains an object of type stair.

푸아송 분포 pdf와 정규분포 pdf 비교하기

라이브 스크립트 열기

lambda가 크면 푸아송 분포는 평균lambda와 분산lambda를 갖는 정규분포로 근사할 수 있습니다.

모수lambda = 50을 갖는 푸아송 분포의 pdf를 계산합니다.

lambda = 50; x1 = 0:100; y1 = poisspdf(x1,lambda);

대응되는 정규분포의 pdf를 계산합니다.

mu = lambda; sigma = sqrt(lambda); x2 = 0:0.1:100; y2 = normpdf(x2,mu,sigma);

동일한 축에 pdf를 플로팅합니다.

figure bar(x1,y1,1) holdonplot(x2,y2,'LineWidth',2) xlabel('Observation') ylabel('Probability') title('Poisson and Normal pdfs') legend('Poisson Distribution','Normal Distribution','location','northwest') holdoff

Figure contains an axes object. The axes object with title Poisson and Normal pdfs contains 2 objects of type bar, line. These objects represent Poisson Distribution, Normal Distribution.

정규분포의 pdf는 푸아송 분포의 pdf에 가깝습니다.

참고 문헌

[1] Abramowitz, Milton, and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions: With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 9. Dover print.; [Nachdr. der Ausg. von 1972]. Dover Books on Mathematics. New York, NY: Dover Publ, 2013.

[2] Devroye, Luc. Non-Uniform Random Variate Generation. New York, NY: Springer New York, 1986.https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8

[3] Evans, Merran, Nicholas Hastings, and Brian Peacock. Statistical Distributions. 2nd ed. New York: J. Wiley, 1993.

[4] Loader, Catherine. Fast and Accurate Computation of Binomial Probabilities. July 9, 2000.