从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,美国麻省理工学院(MIT)
电流围绕RLC环解决了与系数的线性方程大号(电感),[R(电阻),和1 / C(C=电容)。
该视频是一个关于普通微分方程,以电流的关键应用之一,在网络中的电流的流动。所以我画了一个网络,一个非常简单的网络。它只是被称为RLC循环。它是只得到了一个循环,所以这是一个非常简单的网络。
在R代表的流动阻力。该L代表电感。而C是。电容那些是一个简单的线性与一个回路相关常数系数问题的三个要素。再有一个开关,我将关闭,并且流将开始。而且还有一个电压源,因此喜欢的电池,或许让我们把这个交变电流。
因此,电压源将是一些电压乘以电子到第i欧米加吨。因此,我们将有交流电。而问题是,什么是当前的?我们必须找到当前,一所以目前余吨四处循环。
我们看到我们的微分方程将拥有的T未知的我,而不是我平常年。我将用我的电流。再次,这是一个RLC循环,每个人都必须明白,在电气工程。
所以我将有一个二阶微分方程。那么,你会看到公式是什么。所以,你会记得欧姆定律。该电压电流乘以电阻。所以这给了我电阻两端的电压。
如果电流I和电阻R,然后从这里到这里的电压降是我倍R.所以这就是这个词。但现在我也我的电流随时间变化。这是交流电。它的上升和下降。
所以目前也经历电感。还有,电感上的电压降有这个形式。的电流的导数进入它。而在电容,这是建立充电,目前的积分用武之地。
所以,这是表达这个电压定律,它说,围绕一个封闭loop--这是一个封闭的,环路closed--添加到0。所以我有四个方面的物理方程,他们结合给我们0。
因此,有一个公式,我想解决的问题。而且我应该如何去解决这个方程?通过当我有常系数和我有一个纯指数强迫项它适用标准的想法。我寻找一个解决方案,就是指数的倍数,对不对?
常系数微分方程的解,如果他们有一个指数强迫,那么解决的办法是我等于一些,我该怎么说宽E到我欧米茄吨。源的一些多给我解决这个微分方程。
那么,它实际上是一个微分积分方程。我可以把它采取每学期的导数更眼熟微分方程。假如我这样做。
假设我把每学期的导数,只是为了使它看起来真的很熟悉。这将是L次我双撇。以导数的导数。这将是RI素。
积分的导数将只是我自己。所以,我有1对C一,而且我会在这里有一个的衍生物,我欧米茄V e将我欧米茄吨。
因此,这只是一个标准二阶常系数线性微分方程。而事实上,如果你是一名机械工程师,你会看到这一点,说,好,我不知道代表什么L,R,以及1比下。但我知道,我应该看到的质量,阻尼和刚度那里。
因此,我们有工程的两个重要的领域,电气工程与L,R,以及1以上℃,用M,B为阻尼机械工程,以及K为刚度之间的完全平行。而实际上,平行允许模拟computers--前数字计算机里面传来并且在竞争中失去了。
模拟计算机只是通过实际施加的电压和测量电流解决这个线性方程。所以,模拟计算机实际创建模型和测量解决答案的方程式。但我们不是在这里创建一个模拟计算机。我们只是在做微分方程。
那么,为什么不让我弄清楚什么是W是。所以,我该怎么办?与往常一样,我有这样的公式。我有一个纯粹的指数。我期待同形式的解决方案。我插上。我也得到了W.方程
这正是我将在下板做的。我把宽E到我欧米茄牛逼了该公式,并找到W.让我们做吧。也许我会带下来只是一个头发,我会在这里做到这一点,你可以看我做到这一点。
所以,我有L次的衍生物。So I have L. The derivative will bring down an I omega L. Everything is going to multiply W and match V. When I put this into the equation, the derivative is an I omega L W e to the I omega t, and it's matching V e to the I omega t.
现在,当我把我在为第二个任期情况,R.我刚刚得到一个R. R乘W倍的e将我欧米茄吨。没问题。
现在终于,一个1比C.积分。指数的积分带来down--让我把它放到分母neatly--我除以我OMEGA当我融入e将我欧米茄吨。我通过我的ω有一个部门。
而已。而已。这些都是这三个方面是come--倍W,未知。这是找到。当然,我们发现它的时候了。
我们发现W¯¯为V over--现在我们看到这个我欧米伽大号加R.哦,让我结合我OMEGAS。结合实部和虚部。实部是R.,虚部是我的ωL减少1之上我欧米加C.
直截了当。这有一个名字。这是阻力。但是,当有还从电感和电容来计算,那么整个事情就是所谓的阻抗。所以这整个事情,这整个分母,称为复阻抗。
相信我,所有这些想法是如此的重要。这里有一个整体的词汇。但是你看,我们已经做了同样的事情其他常系数方程。我们只是叫系数A,B,C或也许M,B,K。
现在我们有稍微不同的字母,但我们没有一个新的想法在这里。我们的想法是这1结束了,1比阻抗,这将是传递函数,它乘该源给复数W.,W是复数。
我必须现在考虑一下。和阻抗总是被称为Z.所以我们现在有重要的量一个新的一封信,表明了在分母那里。再次,它的实部是电阻。其虚数部分是来自L和C.
因此,我们可以很容易地看到如何large--那是什么阻抗的大小?这是怎么回事是这个电流的大小?我们希望这个数字的大小。V是电压的大小。这里是阻抗的大小。
而答案会给我们W.我的尺寸大小使用或幅度我说,当我只做幅度,你将不会看到相位滞后。如此复杂的数字,像这样的复数的幅值,我们马上就要写下来。而且它有一个滞后期,它告诉我们有多少是虚部,有多少是真实的一部分。
但幅度很容易。什么是复数的大小?它的平方实部和平方虚部。哦,那应该是一个加上那里,我想。我不知道它是如何变成了负数。
它将成为负,所以我在想,如果我把我在那里。让我告诉你我在说什么。虚部是欧米茄L减少1比欧米茄C.我想说的是,如果我把我在那里,然后在1我是负一,这是辉煌的一步,我只是把在那里。
所以,所有的平方。那样你觉得可以吗?它的平方的实部,这是阻力。而这种结合使虚部。我们广场的那间。这也可以叫做反应物。而那些平方和的平方是阻抗,幅度。
因此,我们基本上成功地解决了当前二阶常系数单方程。现在做什么。只要让我增添多一点点。也许只是一个评论。
该视频是关于一个循环。当我告诉莫勒博士的应用之一,在这一系列影片的实际应用之一将是一个RLC电路,他的回答是一个RLC电路不是一个应用程序,而不是一个现实的应用程序。一环。
那么,我们如何与很多节点,许多电阻,许多著名指挥,许多边缘全尺寸的电路进行?好了,我们有一个大的决定。这就是我想要的评论。
他们有一个选择。他们可以在节点使用基尔霍夫电流定律,解决在这些节点的电压。或者,他们可以做的,因为我们没有一个环,围绕着一个循环利用基尔霍夫电压定律,其表示,在环的电流给了一个总压降增加0。
因此,我们求解未知I.当前方程式这是我们做的一个循环。我的消息只是一个大的系统,这是赢家。所以写下来基尔霍夫电流定律方面的方程,即currents--我们得到节点的画面,每一个节点,而不是画面的每一个循环的方程式的方程式图片。
因为它不是那么容易,看看哪些是需要考虑的环路和环路其他循环的组合。线性代数是个问题。和线性代数,得到循环图片独立和明确的,比节点画面更加困难。
与未知电压节点图片,V在节点,是好的。而且进入该矩阵是关联矩阵。它连接节点和边。它说,网络是如何放在一起。
这矩阵,我将与线性代数的一点点研究。所以这是在一个稍后的视频。如果您寻找关联矩阵,你会看到可能有两个关于那些非常非常重要的,美丽的矩阵视频。谢谢。
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