从系列:微分方程与线性代数
吉尔伯特·斯特朗,美国麻省理工学院(MIT)
这种方法也成功地为部队和诸如解决方案万博 尤文图斯(在2个+英国电信+英国电信圣:代入方程找到a、 b、c类.
好。所以,我可以提供有关解微分方程的大局几句话么?因此,如果这是一个非线性方程,我们会去电脑解决方案。万博 尤文图斯而克里夫·莫勒尔正在对Matlab的一套代码,用于解微分方程并行视频系列。
当这个方程是线性的,就像这里一样,具有常数系数,就像1,负3,和2,我们总能得到答案的公式。涉及积分。脉冲响应还有一个积分要做。你会看到的。
但是当右手边有一个特殊的形式时,很少有,最漂亮,最简单的方程式。这是一种可能性,我们可以处理t,或者t平方,或者e到t,我们会看到所有这些。然后我们知道解决方案是什么样子的。
对于example--首先,我们知道空的解决方案,当然。万博 尤文图斯这时候,这是0。然后,我只是写了e将ST了,我求S可能是1或S可以是2.这是两个解决方案,右侧为0。因此,我们可以匹配初始条件。万博 尤文图斯但是,我们需要一个特定的解决方案。
而这也正是这一个特别简单。这样的想法是尝试的形式,我们知道解决办法都会有。所以我要去尝试一个特定的解决方案。当我看到一件T那里,我会想在特定的解决方案一吨。但我也需要常数项。所以,我会尝试加BT。
我所说的try是把它放进方程中,匹配左边和右边,我们得到一个解。我就这么做。所以有几个——这个视频主要是关于可能的不错的功能列表。这就是其中之一。
好。所以,如果我把那代入公式,二阶导数是0了点。所以,我有减3的一阶导数仅仅是湾然后,我必须加2乘以y本身,这是一个加BT。因此,等式的左边就是这么多。而且它有平等4吨。
而且,我们可以使发生。我看到2BT和4T在这里,所以我希望B等于2。所以,当b为2,那么我4吨匹配4吨。然后,我有减3B加2A应该是0负3B加2A,恒定部分有我们不希望,所以这应该是0。我们已经知道b为2,所以这是零下6加2A。一个是3 a为3。
现在,这是完全用b等于2A等于3满足,这就是答案。正确答案是B为2,是3,而我们没有说再尝试了。我们得到了它。完成。
另外一个右侧。一旦你得到一个不错的一个这样的,你看多。如果呈丁方,我们将assume--什么将我们假设,如果它是一个4吨平方吗?我们假设一个加BT和CT平方。我们希望在右侧匹配。
现在,不同类型的右侧,我们已经知道了。如果这是E要曲风说,电子与3T?或E到ST。让我把所有的指数存在的时刻。所以,现在我们有一个不同的右侧。一个很不错的功能。微分方程的最佳功能。
现在,我们会尝试与该右侧,E到ST。之前我们已经看到了。具体的解决方案只是Ÿe将ST。待定系数分别为A和B的第一次。在这里,待定系数是资本Y.我只是去把它插入到方程和左侧和右侧相匹配。我会决定该系数,资本Y.
那么当我把它放进等式中时会发生什么呢?二阶导数等于s的平方,一阶导数等于-3。一阶导数降为s,我有加2。所有这些都是你的,对吧?我把Y,e放到st上,导数把这个熟悉的多项式降下来。所有这些都应该和圣。
我们能做到这一点。这是一个完美的匹配。左侧有相同的形式右侧。我可以取消电子对ST的,我发现,Y是1个S1上平方减去三分球加2好。这是系数,1比说。
让我们看看。我得说两句话。有一种说法是,如果这是虚构的,那我们就是黄金。如果s是iω,好吧,减去iω,或者两者都是,这两种可能性,都会给出正弦和余弦。所以我们将这些添加到nice函数中。
所以,好的功能是T,多项式。Ë到ST,指数。正弦和余弦。你瞧,这完美地工作。那么,除了完美我们必须确保我们没有1/0。
什么时候我们有1/0?如果s是1,这将是1减去3加2,这将是1/0。我对付不了享有平等1与假设。不工作。此外,S等于2.什么特别之处享有平等1和s等于2?那些做出0他们给空的解决方案。万博 尤文图斯
而且我知道,如果这发生在通过电子邮件给T,和一个空的解决方案也被e将T,我必须给它一个额外的因子T来解决特定的解决方案。让我做,在演讲结束。这就是共鸣的想法,我的空的解决方案是一样的东西,我希望为特定的解决方案。所以我必须要改变一个额外的因子T特定的解决方案。
让我继续下去,在这里,以确保我们得到了所有的可能性。再次,我们得到一个非常小的一套很好的功能。不过幸运的是,他们在应用中经常出现。常数,如4吨线性,指数像电子到5T,振荡像电子到第i欧米加吨。因此,让我做一个清单。
所以多项式,如强迫函数可以是T,可能是1,恒温,这将是像一个斜坡。这就好比一个阶跃函数。他们可能是3到ST,但不支持S在这个问题等于1和2。他们可以通过电子邮件给我欧米茄T,和e负我的ωT,这使我直接到欧米茄的Tω-T和正弦余弦。
我在这里创造了漂亮的functions--多项式,指数,正弦和余弦的列表,因为那些来自于指数,终于,我可以繁殖这些。我可以有,例如,T E到ST。我可以允许的。而现在,所有我需要做的就是告诉你,什么形式我尝试插件?
形式将有待定系数。我将代入方程,然后确定系数。所以在这里我们看到了一个加号bt。很好。那是Y。在这里我们看到了Y e到圣。那很好。
在这里,我将要呢?如果我有余弦,我需要的正弦,也有。所以我得把这些材料的组合。说M于这个加N个。如果我试图单独做余弦,我会在拍摄中的衍生物,得到一个正弦波,并没有什么比赛的危险。所以,我承担了。
现在,最后一个问题,或者接下来的问题是,如果我乘两个的这些,产品的规则仍然要告诉我,那的衍生物具有相同的形式。这个T E到ST的衍生物具有same--他们也涉及到T或e将ST,与因素S,从产品的规则。
那么我在这里假设什么呢?好吧,当我在那里看到t的时候,我必须包括,就像我在上面看到的,常数。如果我看到一个t平方,我会上升到t平方。我有三个系数。现在,那e到st,我可以保留了。
因此,我已经把在右边是假设正确形式。这就像好的建议。它放入微分方程时,这是右侧。比赛左侧与右侧。这将告诉你一个和b。你有答案。你有特定的解决方案。你有一个特定的解决方案,这就是你想要的。
好。如果我有牛逼余弦欧米茄T,你要在全业务看?如果我有牛逼余弦欧米茄T--哦,亲爱的,它变得有点凌乱。我需要一个加BT应对吨。而我需要一个余弦应对余弦。
然后,只是为了使问题有点混乱,无法得到帮助,我需要的正弦波。所以我需要一个正弦欧米茄吨。而且我会需要一个C加上dt的存在。好。我到四个系数通过插入来确定,它使用更多的墨水,但它并没有使用更多的思考。你只要把它放在匹配全部条款,你会发现A,B,C和D.
最后,我不得不说一下共鸣这个词,我前面提到的。即如果s个碰巧是1或2上的右手侧,这也是一个空溶液的可能性。这种方法会给我1/0,无限的答案,没有好。我们知道该怎么做。
我们知道如何处理共振。有了共鸣,我就可以完成整个故事了。共振。在这个例子中,s等于1或2。我怎么处理f/t等于e/t?如果那是右手边,那会给我共鸣。
它有指数享有平等1,这也是空的解决方案,E到T。所以,我该怎么试?所以我try--大家都知道,当有共鸣,会发生什么。当你有这样的翻倍。你需要一个额外的因子T救援。所以,你会尝试的T年。Y,这就是我正在寻找的特定解决方案。
你可以试着用一个Y把它插入。你会找到大写字母Y的正确数字,你会有一个特殊的解决方案。只是,我想,举几个例子,你会得到一个诀窍,假设正确的形式,把它放进方程中,把左边和右边匹配起来,这就揭示了待定系数。它告诉你a和b,资本Y,c和d,告诉你它们都是什么。
因此,这是一个适用于非常好的右手边一个非常好的方法。好。谢谢。
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