从系列:微分方程和线性代数
Gilbert Strang,麻省理工学院(MIT)
用纯振荡假想指数提供在相位平面中的“中心”。点(Y,DY / dt)的旅行永远围绕一个椭圆。
好 啊。这是关于这些图片的第二节课,在y轴和y素数的相平面上,对于一个二阶常系数线性的好问题。好问题。
你还记得,我们通过寻找特殊解决方案,y等于e将ST研究这个等式。万博 尤文图斯当我们把它插入到公式中,我们得到这个简单的二次方程。所有的一切都取决于这一点。所以今天这个视频是关于情况下,当根源是复杂的。你还记得,所以根,复根,你有一个真正的一部分,加上或减去一个虚部。而当b的平方比4AC小发生这种情况。
因为你还记得,有个公式,一元二次方程的解的平方根。有B的平方根的平方减去4AC,从学校通常的公式。而如果乙的平方是小,我们有平方根下一个负数。而我们得到的复根。所以上次的根源是真实的。在相平面的图片掀起无穷大,或进来0,或多或少几乎直线。
现在,我们将不得不因为复杂的部分的曲线和螺旋。因此,这里有现在的三种可能性。我们有三周最后一次。下面是其他三个复杂的根源。因此,复杂的,真实的部分,一切都取决于此实部的稳定性会来,走出去,停留在一个圆圈取决于实部。
如果真正的部分是正面的,那我们就出去。我们有一个指数e到a+iωt,如果a是正的,那么e到at会爆炸,不稳定。所以这是不稳定的。
这里是一个中心。当一个是零,那么我们只需要e将我欧米茄吨。这就是最好的例子。我先做一个。因此,在这种情况下,我们只是要了一圈周围或椭圆形。最后,我们在那里的阻尼,但不会太大阻尼的物理问题。所以,根仍然很复杂。但是,他们打算在。因为如果是负的,电子的,在即将为0。所以这是一个稳定的情况。
那是一个物理病例。我们希望我们的系统有一点阻尼,并保持稳定。这个我们可以说是中性稳定的。这个肯定不稳定。让我从这个开始,中性稳定。因为这是力学中最著名的二阶方程。
这是纯粹的振荡,弹簧上上下下,LC电路来回,纯振荡。而我们看到的解决方案。万博 尤文图斯所以我written--我已经采取了这种特殊的方程式。你注意到没有阻尼。有没有Ÿ总理任期。好。因此,这里的解决方案,著名,知名的解决方案。和Y总理这将是C1,我猜衍生余弦为负的ω倍正弦欧米伽T,加上C2。的该衍生物是欧米加余弦欧米加吨。
所以这是y和y素。因此,对于每一个T,这将是一个简单的数字。这里为y。这里为y素。这就是相平面,相平面。因此,在每个时间t,我具有Y和y素。它给了我一个点。因此,让我把它放在那里。
由于该点移动时移动。而且它在相平面图像,轨道有时你可能会说,这有点像一个行星或月球。所以对于,什么是一个轨道?那么它会在周围的椭圆形。这将是一个圆圈with--让我画出来。这是欧米茄等于1。在这种情况下,在最著名的案例,我们干脆去绕了一圈的情况。
还有年。还有的Y总理。我们有正弦和余弦和COS的平方加上正弦平方是1平方。而且我们要围绕半径为1的圆,或另一个圆取决于初始条件。
这里有一个因素欧米茄,给人一种额外的推动为y总理。所以,如果欧米茄2,例如,那么我们就从欧米茄,这不是在Y Y主要有2。这将使Ÿ黄金更大一点。这将是两次as--它会去到那个的意思是两次as--,意思是与身高2椭圆那里,或一般欧米茄,和1那里。
所以在y方向没有ω因子。我们只有余弦和正弦。这是相位平面上的典型图像。但如果我们从较小的初始条件开始,我们将在另一个椭圆上旅行。但重点是——这些被称为,这幅画被称为中心。
因此,这六个可能性中的一个,并以某种方式,有种最美丽的。你在相平面省略号。他们关闭了。由于该解决方案只是重复自己每个时期。这是周期性的。y是周期性的。Ÿ主要是周期性的。他们一而再,再而再次到来。没有能量损失,节约能源,完善。
我想说中性稳定的,中性的稳定性。该解决方案不进入0。因为没有阻尼。它不出去无穷。因为有恒定的能量。而这在相平面图像。
好。所以这是中心。现在我就画一个与源,或水槽。我只需要改变阻尼以获得源或汇的迹象。因此,让我这样做。所以现在我要做一个螺旋源或汇。这是一个不稳定的,走出去到无穷远。这是一个稳定的为0来了,让我做Ÿ双引号,加上或减去也许4Y素,再加上4Y等于0。假设我采取这一公式。
然后我得到了s平方加4s,哦,也许——也许2是一个更好的数字。2比4好。让我把这个改成2,和2。所以我得到了s的平方,加上2s加2或者减去2s加2等于0。所以这些是我的——正阻尼是一个加号。加上加号,根是s平方加上2s加2。根是1,或者更确切地说是负1加或负i。
加号,然后,减号,以减2.然后所有根有加,加上或减去我。一切都取决于这些根,这些指数,它们是特殊的特征方程,简单的二次方程的解决方案。万博 尤文图斯你可以看到的是,根据正阻尼或负阻尼,我得到稳定或不稳定。让我画一幅画。
我不知道我是否可以尝试在同一事物的两个图片,可能不会。这不会是聪明的。所以,发生了什么呢?让我们这一个。因此,该解决方案y是e将减t。这是什么使它稳定进入0,times--从这里,我们有C1 CoS的T和c2正弦吨。这就是我们从平常得到的,在承载我们周围的圆圈中心的情况。
所以,发生了什么事在这张照片中,这个阶段的飞机吗?这里有一个相平面再次,y和y素。如果没有减1,我们有一个中心。我们只是走了一圈。但现在,因为减1,这是因素E要在溶液中减t,当我们绕到我们进来,而对于该曲线的字是螺旋。
因此,这将是中心,在一个圆圈绕来绕去。但是,现在假设我们从这里开始。假设我们开始为y = 1;和y黄金等于0,在时间0让时间去从那里开始。绘制我们去哪里。哪里该Y和在y黄金,哪里是点,Y,Y总理?好。
我开始它at--所以我可能考虑C1为1,C2为0,所以我开始它在那里。然后我会一起旅行,这取决于正弦。我会去,我想,大概是这样。因此,这将在旅行A--它有非常快的,当然。因为这指数是一个强大的家伙,e将减t。因此,这是解决方案,阻尼出0。
这与加号,加阻尼,这给在S减号,在指数。然后,所以这是一个螺旋片。沉意思就像在一个浴缸的水流入,这是发生了什么。
现在什么螺旋源,这就是我们有一个减号发生。现在我们有一个1,现在我们有一封给加t。一切都在不断增长。因此,而不是腐烂,我们绕来绕去,但growing--确定。我离开董事会,遥远与螺旋板。这是要保持绕来绕去,但爆炸了无穷大。
所以这些都是三种可能性复数根,中心,螺旋源,和螺旋片。对于真正的根,我们有普通的来源,和普通的水槽,无螺旋。然后另一种可能性是一个鞍点,在这里几乎可以肯定我们出去。但是有该人在鞍点的一个方向。
好 啊。这六幅图将控制整个稳定问题,这是我们的下一个主题。谢谢您。
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