从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,美国麻省理工学院(MIT)
矢量v1至vd是一个子空间的基础,如果他们的组合跨越整个子空间和独立:无基础向量是其他的组合。尺寸d=基向量的数目。
所以只要我引入一个向量空间的想法,我还是介绍与之相伴的事情。其尺寸的想法和所有重要的是,对于空间的基础的想法。这个空间可能是所有的三维空间,我们所生活的空间,在这方面,情况下,尺寸是三,但什么是对三维空间basis--基础的意义。或其他空间的基础。
好了,我要解释的独立性,基础和尺寸。尺寸很容易,如果你得到的第2位。OK,独立性。那些是载体独立?好吧,如果我画他们,在三维空间中,我能想象2,1,5会在某些方向。让我画它。怎么样?2,1,5,不管做什么!去那里。这就是A1。 OK.
现在是A2在同一行?如果A2是在同一行那么这将是相关的。如果他们是在同一条线上的两个载体将依赖。但是,这个人是不是在该行。A 4,2,0,所以它不会去和所有。它的地方在这个平面上,4,2,0,我会说有。随你。a2。因此,这些是独立的。
所以他们的组合给了我一个空间。a1和a2的组合给了我一个平面,一个平面,在三维空间中。我可以说,那架飞机是横跨飞机的。a1和a2跨越一个平面。这里有一个关键词:跨度。
因此,有两个向量。他们在三维空间。他们跨越平面是所有的组合。这就是我们一直在做的:把所有这些载体的组合。好。
所以那里 - 实际上,A1和A2为窗格的基础。A1和A2为平面的基础,因为他们的组合充满了飞机。而且,他们是独立的。我需要他们。如果我扔掉了一个,我就只剩一个载体,它只会跨越线。好。
现在让我把在第三个向量在三个维度。好了,我该走该第三向量?哈!假设我拿A1 A2加为我的第三个向量。所以,6,3,5,关于向量6,3,5是什么?嗯,我知道什么?这显然是特殊的。这是A1 A2加。这是在同一平面上。所以,如果我把A3等于6,3,5,这将是相关的。 The three vectors would be dependent with that a3.
他们将跨越飞机仍。他们的组合将仍然给了飞机,但他们不会对飞机的基础。a1和12和A3在一起,那是太多,对于一个单一平面太多的载体。载体是依赖性的。我们don't--的基础必须是独立的向量。你需要他们。我们并不需要所有三个在这里。
所以这是一个依赖一个。它不能进入与A1和A2的基础,因为这三个矢量依赖。现在让我有所作为的选择。所以,一个人的死亡。这并没有做到这一点。好吧。
让我把A3等于这些其他一些,而不是一个组合,但在一些新的方向前进了。好了,我不知道新的发展方向是什么。也许1,0,0。什么鬼?我believe--我希望我right--是1,0,0是不是在这里的组合。我说,1,0,0熄灭。这是非常短的。这里是A3。更好A3则该失败者6,3,5 1 0,0是赢家。这三个vectors--
所以,现在A1,A2,并让我在A3加,他们三个跨越A--他们怎么跨越?什么是A1,A2,A3的所有组合?这是三维?这是整个三维空间。他们跨越所有的3D,全三维空间。他们是整个三维空间的基础。他们是独立的。
因此,让我 - 你看,照片前,我动了吗?A1,A2,A3是独立的。他们都不是人的组合。他们填写一个三维空间。他们是为三维空间的基础。而该空间,在这个例子中,是整个我们的三个。
所以让我在下一块黑板上写下我的意思。独立的。独立的。矩阵的独立列。矩阵a的独立列表示a v等于0的唯一解是v等于0。所以如果我有独立的列,那么我没有任何空空间。如果我有独立的列,那么矩阵的空空间就是0向量。
所以让我再写一次这个例子。A是矩阵2,1,5,4,2,0,1,0,0。所以我相信矩阵有独立的列。所以它的列空间是完整的三维空间。它的空空间只包含——让我说清楚,这是一个向量。现在我准备写下一个基础的想法。
那么,什么是对空间的基础?一种用于空间,子空间的基础。独立向量。这是关键。跨越空间,子空间独立向量。不管是什么。
顺便说一句,如果列空是一个三维空间,因为它是在这里,这是一个子空间太大。它的整个空间,但整个空间计为自身的子空间。和0向量单独计为最小的可能。所以,如果我们在三个维度,子空间的想法has--我们刚刚0矢量。只是一个点。这是一个最小的。
我们有整个三维空间。这是最大的。然后,我们拥有所有的线到0这些都是小方。我们所有的飞机到0这些都是大一点。而这些尺寸是0,1,2,3,可能的尺寸由我们需要多少基向量告诉我们。
因此,让我看看那个,然后来到维度。好。所以独立的装置,所述only--没有组合,所述载体的任何其他组合,没有这些载体的组合给出了0矢量,除了采取的那个0,那0,那0。因此,那些是柱状空间的基础,因为他们是独立的,他们的组合给整个列空间。好。
现在我想谈谈尺寸。好。尺寸。这是一个数字。这是一个为子空间的基向量的数量。哦!但是,你可能会说,这部分空间有其他的基地,不只是你碰巧想起的第一个。并且我同意。许多不同的基地。在这个例子中,所有我需要的基础上,在这种情况下,三维空间,我需要三个独立的载体。 Any three.
但问题是,关于尺寸的一点是,我到底需要三人。我永远无法跨越我们所有的三两个向量。我永远不能独立于我们的三四载体。如果我比维数少,我没有足够的。他们不跨越。如果我有太多的,比尺寸,它们是相关的。他们不会是独立的。它们不能是一个基础。
每个基础都有相同的编号。这个数就是子空间的维数。好吧,举个例子,就一张照片。我会呆在三维空间,但我的子空间只是一个平面。
所以在这里我在三维空间。好。现在,我有我的子空间是一个平面。如此这般通过原点,但它只是一个平面。所以我希望我可以带一个向量在飞机上,我可以采取另一种向量在平面上,他们可以是独立的。他们是。他们是不同的方向。我找不到在平面上的第三个独立向量。对于plane--每个基础
所以在这里为这架飞机每基础包含两个向量。总有两个。而且这个数字二是平面的尺寸。好吧,我只是说飞机上有二维的。这是不一样的R2。这是不一样的。这架飞机是在R3的平面。这不是普通的两个维空间。但它的尺寸是二,因为它需要的任何载体。如果我不喜欢这一个的样子,好了,那也没问题。 Let me go that way. That's just as good.
这两个向量是独立的。他们跨越了飞机。他们对飞机的基础。该平面是二维的。这是一组的主要观点。独立。跨度。基础。基础是根本。基础是一堆载体。 And dimension is how many vectors.
好。这些都是线性代数的核心思想。你会看到他们进入线性代数的大图。谢谢。
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