从系列:微分方程和线性代数
Gilbert Strang,麻省理工学院(MIT)
dÿ/ DT = Aÿ包含解决方案万博 尤文图斯ÿ= EλTX哪里λ和X是本征值/本征矢量为一对一个。
因此,这是关于解决n的系统线性常系数方程的关键视频。那么,如何写那些公式?ÿ现在是一个矢量,其中n分量的矢量。相反,一个标量的,只是一个单一的数字y--你要我把箭头Y上?不,我不会再重复了。但是,这强调的是,y是一个向量。它的一阶导数,它是一阶系统。系统意味着可以有和将超过一个未知数,Y1,Y2,到yn。
那么我们如何解决这样一个系统呢?然后矩阵乘以y,它们相等。y被矩阵耦合在一起。它们耦合在一起,我们如何将它们分离?这就是特征值和特征向量的魔力。
特征向量是走自己的路向量。所以,当你有一个特征向量,这就像你有一个接一个的问题和一个变成只是一个数字,拉姆达。因此,对于一般的载体,一切都是混合在一起。但是,对于一个特征向量,一切都保持一维的。在一个改变只是针对特殊方向的拉姆达。
当然,和往常一样,我们需要n个特征向量,因为我们要取起始值。就像我们对powers做的,我们现在对微分方程做的。我取我的起始向量,它可能不是特征向量。我会把它变成特征向量的组合。我没事,因为我假设我有n个独立的特征向量。
现在我按照每个起始值c1 x1——它有什么?如果我在x1的方向,那么A的混乱就消失了。它的作用就像向量x1上的lambda 1。这是你得到的。你得到c1,这只是一个数字,乘以e到lambda 1t x1。你看,这里不是幂,我们有-,当我们做矩阵的幂时,我们有lambda 1到第k次幂,现在我们在解微分方程。所以我们得到一个e到lambda 1t。
当然,接下来的叠加,我可以添加为一个,这是e将拉姆达2吨X2加等等,再加CNE的拉姆达NT XN的解决方案。你可以看到的时候,我可能会问,如果是这样的稳定吗?什么时候解决方案去0?万博 尤文图斯那么,当t变大,这一数字将降至0,提供拉姆达1为负。或提供它的实部为负。我们可以理解一块公式一切从这块。
让我做一个例子。以矩阵A在该视频中,我花了matrix--的权力马尔可夫matrix--让我在这里取等值微分方程。因此,这将会给我们一个马尔可夫微分方程。所以让我来了。
马尔可夫矩阵加1,但在微分方程形势的列,他们将加入到0。像减1和1,或像减2和2。因此,有1对我们力量的特征值,如特征值0微分方程。因为e将0吨是1。
所以无论如何,让我们找到了特征值。第一特征值是0,这就是我感兴趣的。这列增加为0,该列增加了0。这告诉我有0的特征值。
什么是它的特征向量?大概2,1因为如果我乘上该向量矩阵,我得到0,所以拉姆达1 0我的第二个特征值,以及跟踪为负3和1拉姆达加的λ2必须给予减3及特征is--它可能再次减1 1。
所以,我已经做了前期工作。鉴于这种矩阵,我们已经得到了特征向量。现在我把u0--说什么才好了U0?U0-- Y0,说的0是开始。0一些数C1次X1加上C2倍×2年。好的,没问题,没问题。无论我们有,我们采取的载体this--一些组合和特征向量会给我们的Y 0。
而现在T的Y为Cl e将0t-- e将拉姆达1吨次X1,对不对?你看,我们开始c1x1但时间t之后,它要么在lambda T和这里的C2。e将拉姆达2负3吨X2。这是一个马尔可夫过程的演变,连续马尔可夫过程。相比于矩阵的权力,这是向量的一个连续演变进化。
现在,我对稳态感兴趣。当t变大时会发生稳定状态。当t变大时,这个数字很快就会变成0。在马尔可夫矩阵的例子中,我们有1/2的幂,很快就变成了0。现在我们得到了负3的指数,等于零。0的E是1。这个e到0t等于1。所以1是稳态的信号。什么都没变,什么都不取决于时间,只是坐在那里。所以c1x1是稳态。
而x1就是这个。我在想什么?我想不管你怎么开始,不管0的y是多少,随着时间的推移,x2部分将消失。如果你只有比例为2:1的x1部分。同样的,如果我们在Y1和Y2之间有运动,或者我们有时间上的变化,稳态就是,这就是稳态。
有一个微分方程的一个例子,碰巧有马尔科夫矩阵。并用马尔可夫矩阵,那么我们就知道我们将有一个特征值 - 随着时间的向前推移在不断的情况下,负本征值即会消失。E至负3吨变为0好。
我想我可以在这段视频中加一点,这就是为什么0是特征值,如果列加上0,-1+1就是0。2减2等于零。这说明0是一个特征值。对于马尔可夫矩阵赋能,加在1和1上的列是特征值。
所以我想我有以下事实,现在两个例子。如果所有的列添加到some--我说什么才好的总和,S为sum--然后拉姆达等于s是特征值。这是从马尔可夫矩阵的点,S为1加入到1的每一列,然后拉姆达等于1是一个本征值。而对于这段视频中,每列添加到0,然后拉姆达等于0是一个特征值。
而且,这是关于特征值的另一点,很好地弥补。转置的特征值是相同的A的特征值所以,我也可以说,如果A向S中添加的所有行,然后拉姆达等于s是特征值。我是说,一个矩阵的特征值和转置的特征值是相同的。也许你想只看到为什么这是真的。
如果我想要一个矩阵的特征值,我看我的λ减去A的行列式这给了我本征值A的。如果我想转置的特征值,我想看看这等于0,对不对?这等于0,即方程都会给我转的特征值就是这个样子这个人给了我A的特征值
但为什么他们一样吗?由于矩阵的行列式和其转置的行列式是相等的。矩阵及其转置有相同的决定因素。让我检查有A,B,C,D。和转置是A,C,B,D。而在这两种情况下的决定因素是AD减BC,AD减BC。换位不影响。
因此,这,这是一样的。而lambda表达式是相同的。因此,我们可以看看添加到S中的列或添加到S中的行。
因此,这也解释了为什么这两个语句都为真在一起,因为我能看的行或列,并得出这个结论。如果所有列添加现在S--这是什么原因,或所有行向S中添加?让我just--我就告诉你的特征向量。
在这种情况下,A时代的特征向量是所有的人。假设矩阵是4乘4,如果我乘以所有的人,当你乘者的载体的矩阵,那么该行与的点积的总和,是加上加上加上,会是我们秒。这将是因为这里这首row--是A--第一排的增加秒。
因此,这些号码添加到S,我得到秒。这些号码添加到S,我再次得到秒。这些号码添加到秒。而这些,最终的号码添加到秒。我有s乘以1,1,1,1。
你确定这件事?当所有的行添加到S,我可以告诉你的特征向量是什么,1,1,1,1,然后是特征值,我可以看到,这就是和S。如此反复,对于特殊的矩阵,在这种情况下马尔可夫的名字命名的,我们能够识别他们的特征值,这是一个很重要的事实在权力和s的情况下共同排和S等于1视频的情况下等于0与- 让我打倒一遍。
所以在这里,每列加0它没有发生添加的行为0。我不是要求。我只是说无论哪种方式,A或A的转置具有相同的特征值,其中一个是0,另一个是任何痕迹告诉我们,那一个。
有用的事实有关的特征值,这些收集显示当你有一个特定的矩阵,你需要了解一些关于它的特征值。好的谢谢你。
也可以从以下列表中选择网站:
选择最佳的网站性能的中国网站(在中国或英文)。其他MathWorks的国家网站都没有从您的位置访问进行了优化。