吉尔伯特·斯特朗,美国麻省理工学院(MIT)
二阶方程可以改变它的初始条件对Y(0)和DY / DT(0)对边界条件Y(0)和Y(1).
好。那么今天我的问题是有点不同。因为我没有这两个初始条件,因为我们通常有一个二阶微分方程。相反,我有两个边界条件。
因此,让我告诉你的方程。所以我改变吨至X,因为我的空间,而不是时间思考这是一个问题。因此,有二阶导数。减号是为了方便。这是负载。
但这里的新事物。我在一个区间0到1而在0--让我带0的两个边界条件。
所以我的解决办法以某种方式做这样的事情。也许并背下来。因此,它是0那里,0那里,并在两者之间它解决了微分方程。差别不是很大,但是你会发现它是一个完全新的问题。
好。至于方程的解去,有什么巨大的新的。我仍然具有Y尤其如此。一种解决方程的一个特解。然后,我仍然有在y null,则均匀的溶液,任何解决方案,解决了右手侧0方程。
在这个例子中——这特别简单——零方程是等于0的二阶导数。这些是二阶导数等于零的函数,线性函数。所以总的解决办法是。
现在我必须把,而不是初始条件,但边界条件。好。所以我代入x = 0。而且我代入x等于1到这一点。我必须找到ÿ尤其如此。
我会做两个例子。我会做两个例子。但总的原则是让这些数字,这些常量像C1和C2,从边界条件。
我会在X等于零。然后,我将有Y的0,这为y特别是0,还是定义,加上C乘以0,加d。这是在左边结束,这应该是0的解决方案。
然后在右端,最后,我有什么这个特殊的解决方案是在1,再加上现在的我在X我将等于1。我只是在X堵漏等于0,则x等于1和X等于1我有C以及D. C以及D.这一点让我0二0的来自于这里,这里。
好。两个方程。他们给了我C和D.所以我都解决了。有一次,我知道how--我知道如何着手,一旦我找到一个特定的解决方案。
所以我就做两个例子。他们将有两个特别的解决方案。万博 尤文图斯他们是在应用程序中最重要的例子。因此,让我先从第一个例子。
所以我的第一个例子将是方程式减去d第二Y,DX平方,等于1。这将是我的负荷。x的f的将是1。
所以,我正在寻找一个特定的解决方案,这个等式。当然,我可以找到其二阶导数为1,也可能减1。我的功能将be--很好,如果我想的二阶导数为1的函数,那么很可能1/2 X平方是正确的事情。而这会给我一个减号。所以,我觉得我有减1/2 X的平方。这解决了方程。
现在我有C 1加上D.均质,空的解决方案。现在我插上。再次,我总是服用0是为0,也是Y 1为0的边界条件。再次,边界条件,不初始条件。
好。插上X = 0。在x等于0,我该怎么学?X等于0,这是0,这是0,所以我得知,d是0。
在X等于1,我该怎么学?这是减1/2。d是0了。和X是1。因此,我认为我们学习C是加1/2。与OK?
在x等于1时,我应该从边界条件中得到0。所以我有负1/2,加1/2,加0。我确实得0分。这很好。
所以这个答案是--Cx,那么,是1/2x减去1/2x的平方。就这样。这是我的解决办法。这个函数两端都是0,它解微分方程。
所以这是一个简单的例子。也许我可以给你的应用程序。假设我有一杆。这里有一个酒吧。而且,我把在顶部和底部的线条是给我的边界条件的人。
我有一个权重。1.权重也许栏本身。它gives--弹力。重力会拉,位移,酒吧向下,因为它的重量。它的弹性。
而这个功能给我的解决方案,给我分配。如果我走下来的距离x,那么,告诉我了吧,这部分原本在X,将下降一个额外的Y运动。移动。所以这是现在x加x的年。这就是在y。这就是0底部,0顶部和正面之间。
好。这是一个应用程序的一个相当快的描述。而更重要的是,一个相当快的解决问题。我能做到这一点不会那么容易第二个例子吗?
好。如此反复,我的公式将是负的二阶导数等于负载。但是,现在这将是一个点的负载。集中荷载。这是在X等于A的点负载
这是我的朋友,增量功能。增量功能,你还记得,为0,但在那一个点,这是0。这是在0点X等于A.
在我的身体问题的小生命,现在我没有在酒吧任何重量。酒吧薄。失重。但是我把上,在点X等于A,就在这一点上,我附加的重量。
所以这个距离是x等于A。这是我的重量,我的负荷,悬在这一点上。所以我能看到会发生什么。悬挂在那里的荷载将拉伸钢筋上方、荷载上方的部分,并压缩荷载下方的部分。所以这是一个点荷载。非常重要的应用。
好。现在我有这个方程求解。好。我能解决它在A的一面,X等于A.我能解决这个问题x的另一侧等于A.让我做。
对于小于A的x,我有负的二阶导数。在尖峰的左边,A下面x的delta函数是什么?0个。载荷右边的x,同样,0。
零方程的解是什么?y是载荷左边的C万博 尤文图斯x加上D。现在它可能有一些不同的常数。y等于,我该怎么说,E x加上F,在荷载的右边。
现在我有四个号码要找。C、 D,E,F。我知道什么?我知道两个边界条件。我总是知道y等于0,从固定条的顶部开始。所以0的y等于0。
而当我把X等于0,那会告诉我,d为0。然后还要Y的1 0。这将是负载的这一边。所以,当我把X等于1,这会告诉我,电子加F为0,在X等于1。所以,它告诉我,F为负E,对不对?
我现在知道什么?D不见了。0个。F是负E,所以我可以把它改成F是负E,所以我得到了E x负E,E乘以x负1来处理这个边界条件。在x等于1时,它消失了。
好。但我仍然有两个,C和E,发现。那么,什么是在跳我的另外两个条件是什么?到目前为止,我在跳的左侧,秒杀,冲动,增量功能。而在它的右边。
但现在我不得不说,发生了什么事的冲动?在三角洲的功能。或在点载荷。
好 啊。嗯,那里发生了什么事?我需要两个方程式。我还有C和E要找。
所以我的第一个方程是在那个负载,酒吧是不会破裂。它只是将上述被拉伸和压缩之下。但它不会破裂。所以在负载情况下,这是X等于A.所以,现在我已经准备好了×等A.
好。会发生什么,在X等于?这是一样的。让我得出解决方案的图片,在这里。
这里为x。这是X。这里的年。这里为x等于0。这里为x等于1。
我看到一个线性函数。CX至点X等于A.在这里,我有一个线性函数回来0。你看到了吗?
这就是解决方案的图景。解的图表。它的左边界是0。在正确的边界处有0。在这两者之间,它是x减去E的Cx,我使它在x等于A时是连续的,棒不会分开。
这样这个解决方案就变成了那个解决方案。很好。这是另一个条件。
但我需要一个进一步的,最后一个,条件。并不知我必须使用delta函数。又是什么δ函数告诉我吗?我只是要去这里给你答案,而不是δ函数理论。
这个等式。所以你看我的解决办法是什么。这是一个与倾斜的变化虚线。这是一个斜坡。它有一个角落。所有这些词语形容这样的功能。
所以,我有一些斜坡往上走这里,有的slope--,让我告诉你。我会告诉你这些斜坡。我会告诉你那些斜坡在此。所以我要告诉你答案,然后我们会检查。
,因此C原来是1减去A.因此,在这个区域,我有1减去乘以x。在那个区域。
而在这个区域,下面,所以这是拉伸。它的容积意味着它伸展的事实。现在,这部分将是在压缩,与该负斜率。我认为在这个区域它的1个减去x次A,这将从那里来。
所以我的解决方案。由于δ函数,我需要两个部分的解决方案。德尔塔功能,负载点的左侧。而对于负载点的权利。
然后,我们可以检查,在负载,X等于答:这是1减去次答:这是1个减去次A.他们会面时。
现在是关于斜坡的第四个神秘条件。坡度下降了1。这里的斜率是1减A,这是1减A,这里的斜率。这里的斜率是-A,你看到的是-x乘以A,所以导数是-A。
所以这是1减去答:1下降了,留下我减去A.这就是解决方案的模样。
现在我要说一句话,为什么坡度下降了1。斜率下降了1,从1减A到减A,这必须来自于这个delta函数。
当然你还记得delta函数。关键是,如果积分delta函数,得到1。所以当我积分这个方程的时候,在右边,从三角形得到1。在左边,积分二阶导数,得到一阶导数。
伟大的。终点的一阶导数,减去起点的一阶导数,应该是1。这是1的落差。
我将在另一个视频中全面使用delta函数。我想控制住这个。我们看到的新概念是边界条件,在这个边值问题中我们看到一个delta函数方程。谢谢您。
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