使用符号工具箱时解释特征值和特征向量

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弗雷德里克·Scheie 2022年5月13日

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//www.tianjin-qmedu.com/matlabcentral/answers/1718850-interpreting-eigenvalues-and-eigenvectors-when-using-symbolic-toolbox

评论道: 克里斯汀Tobler 2022年5月19日

答:接受克里斯汀Tobler

当使用符号数学工具箱(象征性的“d”在这种情况下)我有时最终结果(使用不同的随机矩阵),我得到更多的返回比特征值特征向量,对我来说没有意义。可能,因为返回的特征值都是在同一个维度作为输入矩阵第一个特征值,在这种情况下0将被忽略。我。e我们得到三个特征值(1 - (d *(3 + 15 ^(1/2) * 1我))/ 6日(d *(15 - 3 + ^(1/2) * 1我))/ 6)以下三个特征向量对应的例子吗?

提前感谢任何输入!

顺便说一句,我注意到,如果我改变了符号' d '一个标量e。g d = 0.5 4特征向量和特征值。

                          函数[eig_mat eig_val M] = pagerank_function (linkMatrix d)
                         
                          n =大小(linkMatrix, 1)
                         
                          M = * (d, linkMatrix) + *((一维)/ n (n))
                         
                          % D对角矩阵特征值,特征向量mtx U
                         
                          [U, D] = eig ((M))
                         
                          extract_ev =诊断接头(D)
                         
                          % x =圆(U, 2);
                         
                          eig_mat =简化(U)
                         
                          eig_val =简化(extract_ev)
                         
                          结束

我输入矩阵如下:

                          D125 = [0, 1/3, 1/3, 1/3;
                         
                          0,0,1,0;
                         
                          1,0,0,0;
                         
                          0,0,1,0);

和运行功能使用;

                          
                          d =符号(' d ');
                         
                          [eig_mat eig_val M] = pagerank_function (D125 d);
                         
                          %乳胶代码
                         
                          latex_evtable =乳胶(信谊([eig_mat]))
                         
                          latex_etable =乳胶(信谊([eig_val]))
                         
                          latex_matrix =乳胶(信谊(M))
                         
                          Mtx_maker =乳胶(信谊(D125))

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克里斯汀Tobler 2022年5月16日

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我得到两个4特征值和特征向量在运行您的代码:

linkMatrix = [0, 1/3, 1/3, 1/3;

0,0,1,0;

1,0,0,0;

0,0,1,0);

d =符号(' d ');

n =大小(linkMatrix, 1)

n = 4

M = * (d, linkMatrix) + *((一维)/ n (n))

M =

% D对角矩阵特征值,特征向量mtx U

[U, D] = eig ((M))

U =

D =

extract_ev =诊断接头(D)

extract_ev =

% x =圆(U, 2);

eig_mat =简化(U)

eig_mat =

eig_val =简化(extract_ev)

eig_val =

你能描述一下更多你看到什么输出?

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克里斯汀Tobler 2022年5月16日

你认为,符号计算和数值计算之间的区别是。让我们看看一个简单的矩阵有两个特征值,都有代数多重性2:

                                   一个= blkdiag ([2 1;0 2),3、3)
                                  
                                      一个=
                                      4×4
                                     
                                       2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3

两个特征值的几何重数是不同的几何重数虽然-特征值2 1,而特征值3几何重数2。我们可以看到这个数值计算零(A -λ*我)

                                   零(A - 2 *眼(4))
                                  
                                      ans =
                                      4×1
                                     
                                       1 0 0 0

                                   零(A - 3 *眼(4))
                                  
                                      ans =
                                      4×2
                                     
                                       0 0 0 0 0 1 1 0

符号工具箱只返回这三个特征向量,并返回基于代数特征值的多重性,所以两个数组可以有不同的大小。显示哪个特征值映射到哪个组特征向量,第三个输出给这个映射:

(U D p) = eig(信谊(,“f”))%将到一个符号变量(没有未知)

U =

D =

p = 1×3

1 3 4

d =诊断接头(d);

d (p)%这个向量指定特征值表示在每一列的U

ans =

然而,当我们使用non-symbolic eig使用数值计算,其中包括舍入。不是对角化的矩阵的概念(一些几何重数小于其等价的代数重数),总有一个微小的改变将使其对角化的矩阵。例如:

Amod =一个;

Amod(2, 1) =每股收益;

(U D p) = eig(信谊(Amod,“f”))

U =

D =

p = 1×4

1 2 3 4

因此在数值计算中,每一个矩阵视为对角化的,我们不是讨论特征值条件数表示矩阵的“接近不是对角化的”——类似于正则条件告诉我们如何“接近奇异矩阵:

                                   [U, D] = eig (A)
                                  
                                      U =
                                      4×4
                                     
                                       1.0000 - -1.0000 1.0000 0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000

                                      D =
                                      4×4
                                     
                                       2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3

                                   condeig (A)
                                  
                                      ans =
                                      4×1
                                     
                                       1.0 e + 15 * 2.2518 2.2518 0.0000 0.0000

您还可以看到,前两列U本质上是相同的,这意味着你非常接近奇异,和反相,那将是一个糟糕的主意。

克里斯汀Tobler 2022年5月19日

是的,那是它的要点。基本上,EIG数值计算是基于一系列的正交相似变换应用于矩阵a(重新=问* *问”)。正交的转换是非常重要的,因为这意味着舍入误差保持最低的数量相比,重新做= X * *发票(X)与非正交矩阵。尽管舍入很小,它仍然存在,意味着我们不能有意义的区分两个完全相同的特征值和两个特征值非常接近对方。

如果您有兴趣更多的细节,你可以看一下舒尔分解 ,这是一个中间步骤在数值计算矩阵的特征值分解。它分解一个= U * T * ' 其中T是上三角(如果你使用“复杂”标志)和U是正交的。特征向量计算从T在第二步。

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