好的。这是一阶微分方程的下一步。我们用的不是指数函数,而是振荡函数。指数,上节课讲过,增长或衰减,现在我们有一个振荡。在这个问题中,我们有交流电,而不是实指数,我们有振荡,振动,所有涉及圆周运动的应用,一圈又一圈,而不是指数运动。
好的。这就是重点。我还是在寻找特解。特解,如果特解是cos的某个倍数就好了。但这行不通。这使得这个问题比指数题难了一步。
我们需要把标志放进去。因为,如果我求cos,如果我只试这一部分,我可以匹配它。a乘以cos,就是cos。但是cos的导数是sin函数。所以符号会出现在这里我们必须让它们出现在溶液中。
好的。这是正确的假设。实际上,你们会看到,这个问题的答案有三种不同的写法。这是第一种最直接的方法,但从长远来看不是最好的。
好的。很简单,我要把它代入方程然后求出M和n,这是我的工作。找到这些数字。把它代入方程。
在左边,我要求导,我们会是,cos的导数是- m sin t,它的导数引出了这个因子。cos的导数是sin。
现在这个的导数引出了因子ncos t,它应该等于a乘以y,这是y,所以我乘以a mcos t,和an sin t,这是ay部分。现在我有了源项加上cos t,这对所有时间都成立。
现在我需要方程。我该怎么做?我要找两个东西,M和n,我要找两个方程。
所以我匹配cos项。匹配这个项,cos项,和源项。它们都乘以cos t,所以我想要n——我把这个放到另一边——减去m + n等于——这里只有一个cos,等于1。减去M加N等于1。
现在我要匹配sin项。在sin项中,我有- M sin t,我要把这个放到另一边,所以这是- an sin t,源中没有sin t。
这是我的两个方程。这是M和n的两个方程,我只要解出这两个方程就得到了我要找的特解。
这是两个方程,两个未知数。这是线性代数的基本问题。我倾向于把答案写下来,我提前准备好了。结果是- a /的平方加上a的平方。N的平方加上a的平方,上面是。
如果你检查这个方程,例如,乘以M会得到一个带负号的。然后a乘以N也有a。同样的平方加上a的平方,消去得到0。这个方程也解出来了。
一个更重要的问题解决了。我们找到了特解。我没有加入。我没有匹配初始条件。
在很多情况下,我们感兴趣的是这个特解。这里,我把解框起来,我们把它代入微分方程。我们发现了m,我们发现了n,我们得到了这个特解。
这就是持续的振荡。如果我们在听广播或者有交流电,这就是我们看到的,零解。没有源项的东西。
通常a是负的,这个消失了。这叫做暂态项。所以零解仍然是ae ^ at。但我对此不感兴趣,因为它会消失。你不会在一分钟后听到。这就是答案,这就是你的耳朵听到的。
好的。我们得到了答案的一种形式。这是一个很好的形式,但并不完美。我看不清楚,这可以很好地简化。当我们处理sin和cos的时候,这一步很重要。
我相信同样的yp t可以作为什么也用不同的方式——另一种形式,一种不同的,我应该说,另一种形式相同的t y。另一种形式将相同的t y。你看到我不喜欢的是有一个余弦和正弦因为这些阶段,它们结合成的东西,我想知道它们结合成什么。这真的很好。它们结合成一个单独的余弦,但不只是t,有一个滞后,一个相移。所涉及的角度通常称为相位。
这两个,正弦和余弦,结合起来得到一个带有振幅的相移,我可以叫它G,增益。通常它被称为大写R,因为你在这里看到的是极坐标。所以我想要匹配这个,它有G和极坐标,这是考虑它的正确方法。G和,大小和角度。我想把它和我已有的形式匹配起来。
这里我要用一点三角学的知识来记住这个等于,我有一个g,你们还记得cos (a - b)的公式吗?差值的余弦等于cos (t) cos()加上。这里是正的,因为这里是负的,sin (t) sin。我刚刚把它写成了两项形式,我这样做是为了和我已经有的两项形式相匹配。
我可以做这个匹配吗?cos t, M一定是gcos。N一定是gsin。
现在我有两个方程。M和N,我还记得它们是什么。我算出来了。
现在我要把mn形式转换成G形式,这就是我要做的。这在极坐标中很常见。我怎么知道G是多少,是多少?技巧是——当你看到余弦和正弦时一个基本的等式是——记住cos²+ sin²= 1。我要用它,必须用它。
两边同时平方。我有M的平方,我加上M的平方加上N的平方等于G的平方cos的平方。G的平方乘以cos的平方,当我平方这个时,还有sin的平方当我平方这个时。再次强调,这是1。这就是G的平方。
我学到了什么?G是这个的平方根。G是M方加N方的平方根。我总是自由地把我找到的M和N代入。
好的,那么呢?这是角度。所以我必须,再次,我在考虑三角函数。怎么得到呢?现在我想把G从这个公式中提出来,只关注。之前我得到了alpha和G。
现在要做的是取比值。如果我取这两个的比值,用一个除以另一个,G就消掉了。所以我用这个和那个的比值得到gsin除以gcos等于N除以m, G消掉了。
现在我有了一个方程。更确切地说,我有一个tan的方程。sin / cos = tan = N / M。
这叫做,你可以叫它正弦恒等式。sinusoid是什么?正弦函数是任何正弦和余弦的混合物,任何相同t的正弦和余弦的混合物。
正弦恒等式表示我可以把这个解改写成这个解。我发现整个过程的关键数字是增益,大小。这是我们调收音机时电台发出的声音。再次强调,这是持续的响应因为cos是永远振荡的。也会有一些来自初始条件的东西会消失。
我一开始就提到过cos输入有三种形式的答案,我已经给了你们两种。我已经给了你们M和N的形式。你可以说直角坐标,余弦和正弦。我已经给了你们极坐标形式,它是增益,幅值和相位。第三个是复数。我得单独做一节课,也许两节课。
复数,它们从何而来呢?这是一个完全真实的方程。如果我想我所做的这一切,都是完全真实的,但有一个链接,对复数的关键事实,欧拉公式将给我一个联系ωt余弦和正弦ωt e Iωt。所以在价格复数的引入,虚数,或j电气工程师,我们又回到了指数。我们又回到了指数。这是下节课的内容。
这是另一个很好的源函数的例子。也许我可以说,最好的源函数是什么?这是源函数,很好。指数级就更好了。常数是最好的。
我想要介绍的另一个是脉冲函数。函数是一个脉冲,瞬间发生的东西。这是一个有趣的,非常有趣的,非常重要的可能性。
好的。谢谢你!
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