微分方程与线性代数gydF4y2Ba

1.1:微分方程概述gydF4y2Ba线性方程包括gydF4y2Bady/dtgydF4y2Ba＝gydF4y2Bay、 dy/dtgydF4y2Ba= -gydF4y2Bay、 dy/dtgydF4y2Ba＝gydF4y2Ba2tygydF4y2Ba．这个方程gydF4y2Bady/dtgydF4y2Ba＝gydF4y2BaygydF4y2Ba*gydF4y2BaygydF4y2Ba是非线性的。gydF4y2Ba

1.2:你需要的微积分gydF4y2Ba求和法则，乘积法则和链式法则会从的导数得到新的导数gydF4y2BaxgydF4y2Ba^ngydF4y2Ba罪(gydF4y2BaxgydF4y2Ba),gydF4y2BaegydF4y2Ba^xgydF4y2Ba．微积分基本定理说，积分是导数的倒数。gydF4y2Ba

1.4b:响应指数输入，exp(s*t)gydF4y2Ba指数输入,gydF4y2BaegydF4y2Ba^圣gydF4y2Ba，从外部和指数增长，gydF4y2BaegydF4y2Ba^在gydF4y2Ba，从内部看，解y（t）是两个指数的组合。gydF4y2Ba

1.4c:输入振荡响应，cos(w*t)gydF4y2Ba一个振荡输入cos(ωgydF4y2BatgydF4y2Ba)产生具有相同频率ω(和相移)的振荡输出。gydF4y2Ba

1.4d任意输入q(t)的解gydF4y2Ba解线性一阶方程，将每个输入相乘gydF4y2Baq（s）gydF4y2Ba通过其增长因子，并整合这些产出gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

1.4e：阶跃函数和增量函数gydF4y2Ba单位阶跃函数从0跳到1。它的斜率是一个脉冲函数，除了跳跃处为无穷大外，处处为零。gydF4y2Ba

1.5：对复指数的响应，exp（i*w*t）=cos（w*t）+i*sin（w*t）gydF4y2Ba对于线性方程，解gydF4y2Baf =gydF4y2Bacos(ωgydF4y2BatgydF4y2Ba)是解的实部gydF4y2Baf = egydF4y2Ba^{我ωtgydF4y2Ba}．这个复解有大小gydF4y2BaGgydF4y2Ba(获得)。gydF4y2Ba

1.6：恒定速率的积分因子，agydF4y2Ba积分因子gydF4y2BaegydF4y2Ba^{——gydF4y2Ba}乘以微分方程，y ' =ay+q，得到的导数gydF4y2BaegydF4y2Ba^{——gydF4y2Ba}可以集成了。gydF4y2Ba

1.6b:变化率积分因子a(t)gydF4y2Ba变化的利率的积分提供了增长解决方案(银行余额)的指数。gydF4y2Ba

1.7: Logistic方程gydF4y2Ba当gydF4y2Ba——gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba减缓增长，使方程非线性，解接近稳态gydF4y2Bay (gydF4y2Ba∞gydF4y2Ba) = a / b。gydF4y2Ba

1.7c:稳态的稳定性和不稳定性gydF4y2Ba稳态解可以是稳定的，也可以万博 尤文图斯是不稳定的——一个简单的测试就可以决定。gydF4y2Ba

1.8:可分离变量方程gydF4y2Ba可分离方程可以通过两个单独的积分来求解，一个在gydF4y2BatgydF4y2Ba另一个在gydF4y2BaygydF4y2Ba．最简单的是gydF4y2Bady / dt = ygydF4y2Ba,当gydF4y2Bady / ygydF4y2Ba=gydF4y2BadtgydF4y2Ba．然后ln (gydF4y2BaygydF4y2Ba) =gydF4y2Bat + CgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

2.1:二阶方程gydF4y2Ba对于无阻尼、无强迫的振动方程，所有解具有相同的固有频率。万博 尤文图斯gydF4y2Ba

2.1b:强迫谐波运动gydF4y2Ba与强迫gydF4y2BafgydF4y2Ba= cos(ωgydF4y2BatgydF4y2Ba)，特解为gydF4y2BaYgydF4y2Ba* cos(ωgydF4y2BatgydF4y2Ba）.但如果强迫频率等于固有频率，则存在共振。gydF4y2Ba

2.3:非受迫阻尼运动gydF4y2Ba常系数微分方程的基本解是指数函数万博 尤文图斯gydF4y2BaegydF4y2Ba^圣gydF4y2Ba．指数gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba解一个简单的方程，例如gydF4y2Ba作为gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+ b + C = 0gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

2.3c：脉冲响应和阶跃响应gydF4y2Ba脉冲响应gydF4y2BaggydF4y2Ba是力为冲量时的解（δ函数）。这也解决了初始条件为非零的零方程（无力）。gydF4y2Ba

2.4:指数响应-可能的共振gydF4y2Ba共振发生时，自然频率匹配的强迫频率-等指数从内部和外部。gydF4y2Ba

2.4b：带阻尼的二阶方程gydF4y2Ba阻尼强迫方程有一个特殊的解gydF4y2Bay=GgydF4y2Bacos(ωgydF4y2Bat -gydF4y2Baα)。阻尼比提供了对零解的洞察。万博 尤文图斯gydF4y2Ba

2.5:电气网络:电压和电流gydF4y2Ba电流在RLC回路周围的流动求解一个有系数的线性方程gydF4y2BalgydF4y2Ba(电感),gydF4y2BaRgydF4y2Ba（抵抗）和gydF4y2Ba1/CgydF4y2Ba（gydF4y2BaCgydF4y2Ba=电容)。gydF4y2Ba

2.6待定系数法gydF4y2Ba具有常系数和特殊强迫项（的幂）gydF4y2BatgydF4y2Ba如余弦/正弦，指数)，特解也有同样的形式。gydF4y2Ba

2.6b:待定系数法的一个例子gydF4y2Ba该方法对力和解也同样适用万博 尤文图斯gydF4y2Ba（在gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+bt+c）egydF4y2Ba^圣gydF4y2Ba:代入方程求gydF4y2Baa, b, cgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

2.6c：参数的变化gydF4y2Ba组合空解万博 尤文图斯gydF4y2BaygydF4y2Ba_1gydF4y2Ba和gydF4y2BaygydF4y2Ba_2gydF4y2Ba与系数gydF4y2BacgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba(t)gydF4y2Ba和gydF4y2BacgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba(t)gydF4y2Ba求任意的特解gydF4y2Baf (t)。gydF4y2Ba

2.7:拉普拉斯变换:一阶方程gydF4y2Ba变换线性微分方程中的每一项以产生代数问题。然后可以将代数解转换回ODE解，gydF4y2Bay (t)gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

2.7b:拉普拉斯变换:二阶方程gydF4y2Ba二阶导数变换为gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba^2gydF4y2BaYgydF4y2Ba代数问题涉及到传递函数gydF4y2Ba1 / (gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+ b + C)。gydF4y2Ba

2.7c：拉普拉斯变换和卷积gydF4y2Ba当力是脉冲δ时gydF4y2Ba(t)gydF4y2Ba，脉冲响应为gydF4y2Bag (t)gydF4y2Ba．当力是gydF4y2Baf（t）gydF4y2Ba，响应是“卷积”的gydF4y2BafgydF4y2Ba和gydF4y2Bag。gydF4y2Ba

3.1:解决方案图片万博 尤文图斯gydF4y2Ba的方向字段gydF4y2Bady / dt = f (t, y)gydF4y2Ba有一个带坡度的箭头gydF4y2BafgydF4y2Ba在每一点上gydF4y2Bat、ygydF4y2Ba．具有相同斜率的箭头位于等斜线上。gydF4y2Ba

相平面图片:源，汇聚鞍gydF4y2Ba万博 尤文图斯二阶方程的解可以接近无穷大或零。鞍点既包含正指数，也包含负指数或特征值。gydF4y2Ba

3.2b:相平面图片:螺旋和中心gydF4y2Ba具有纯振荡的虚指数在相平面上提供了一个“中心”。这一点gydF4y2Ba(y, dy / dt)gydF4y2Ba永远绕着椭圆旅行。gydF4y2Ba

3.2c:两个一阶方程:稳定性gydF4y2Ba二阶方程给出了两个一阶方程gydF4y2BaygydF4y2Ba和gydF4y2Bady/dtgydF4y2Ba．这个矩阵变成了一个同伴矩阵。gydF4y2Ba

3.3:临界点线性化gydF4y2Ba临界点是一个常数解gydF4y2BaYgydF4y2Ba关于微分方程gydF4y2Bay ' = f (y)gydF4y2Ba．附近,gydF4y2BaYgydF4y2Ba…的标志gydF4y2Badf / dygydF4y2Ba决定稳定还是不稳定。gydF4y2Ba

3.3b:线性化y'=f(y,z)和z'=g(y,z)gydF4y2Ba对于两个方程，一个临界点gydF4y2Baf (Y, Z)gydF4y2Ba= 0和gydF4y2Bag (Y, Z)gydF4y2Ba= 0. 在这些常解附近，两个线性化方程使用了万博 尤文图斯gydF4y2BafgydF4y2Ba和gydF4y2BaggydF4y2Ba．gydF4y2Ba

3.3c:特征值与稳定性:2 × 2矩阵，AgydF4y2Ba两个方程gydF4y2Bay ' =唉gydF4y2Ba是稳定(解接近零)时的迹万博 尤文图斯gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba是负的，而行列式是正的。gydF4y2Ba

3d: 3d的翻滚盒gydF4y2Ba一个在空中的盒子可以围绕它的最长和最短的轴旋转。它在中轴附近剧烈地翻滚。gydF4y2Ba

5.1：矩阵的列空间，agydF4y2Ba一个gydF4y2Ba米gydF4y2Ba通过gydF4y2BangydF4y2Ba矩阵gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba有gydF4y2BangydF4y2Ba每列gydF4y2BaRgydF4y2Ba^米gydF4y2Ba．获取这些列的所有组合Av就得到列空间-的一个子空间gydF4y2BaRgydF4y2Ba^米gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

5.4:独立性、基础和维度gydF4y2Ba向量v1到vd是子空间的一组基如果它们的组合张成整个子空间并且是独立的:没有基向量是其他向量的组合。维数d =基向量的个数。gydF4y2Ba

5.5:线性代数的大图gydF4y2Ba一个矩阵产生4个子空间——列空间、行空间(相同维数)、垂直于所有行的向量空间(零空间)和垂直于所有列的向量空间。gydF4y2Ba

图5.6:gydF4y2Ba一个图表已经完成gydF4y2BangydF4y2Ba节点连接gydF4y2Ba米gydF4y2Ba边缘（其他边缘可能缺失）。这是一个对互联网、大脑、管道系统等非常有用的模型。gydF4y2Ba

5.6b图的关联矩阵gydF4y2Ba的关联矩阵gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba每个边都有一行，包含-1和+1来显示两个节点(两列gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba)由这条边连接。gydF4y2Ba

6.1：特征值和特征向量gydF4y2Ba特征向量gydF4y2BaxgydF4y2Ba与矩阵相乘时，保持同一方向(gydF4y2Ba一个gydF4y2BaxgydF4y2Ba＝gydF4y2BaλgydF4y2BaxgydF4y2Ba）.一个gydF4y2BangydF4y2BaxgydF4y2BangydF4y2Ba矩阵有gydF4y2BangydF4y2Ba特征值。gydF4y2Ba

6.2:对角化矩阵gydF4y2Ba一个矩阵可以对角化，如果它有gydF4y2BangydF4y2Ba独立的特征向量。对角矩阵Λis特征值矩阵。gydF4y2Ba

6.2b:幂、A^n和马尔可夫矩阵gydF4y2Ba整个思想gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba＝gydF4y2BaVgydF4y2BaΛgydF4y2BaVgydF4y2Ba^{–1gydF4y2Ba}同时斜向移动gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba^ngydF4y2Ba＝gydF4y2BaVgydF4y2BaΛgydF4y2Ba^ngydF4y2BaVgydF4y2Ba^{–1gydF4y2Ba}．gydF4y2Ba

6.3:解线性方程组gydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2Ba/ dt =一个gydF4y2BaygydF4y2Ba包含解决方案万博 尤文图斯gydF4y2BaygydF4y2Ba= egydF4y2Ba^λtgydF4y2BaxgydF4y2Ba哪里gydF4y2BaλgydF4y2Ba和gydF4y2BaxgydF4y2Ba特征值/特征向量对是什么gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

6.4:矩阵指数，exp(A*t)gydF4y2Ba解的最短形式使用指数矩阵gydF4y2BaygydF4y2Ba= egydF4y2Ba^在gydF4y2BaygydF4y2Ba(0）gydF4y2Ba．矩阵gydF4y2BaegydF4y2Ba^在gydF4y2Ba有特征值gydF4y2BaegydF4y2Ba^λtgydF4y2Ba和的特征向量gydF4y2Ba一个。gydF4y2Ba

6.4b:相似矩阵，A和B=M^(-1)*A*MgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba和gydF4y2BaBgydF4y2Ba”类似“如果吗gydF4y2BaBgydF4y2Ba＝gydF4y2Ba米gydF4y2Ba^{－1gydF4y2Ba}我gydF4y2Ba对于某些矩阵gydF4y2Ba米gydF4y2Ba．gydF4y2BaBgydF4y2Ba然后有相同的特征值gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

对称矩阵，实特征值，正交特征向量gydF4y2Ba对称矩阵都gydF4y2BangydF4y2Ba垂直特征向量和gydF4y2BangydF4y2Ba真正的特征值。gydF4y2Ba

6.5b:二阶方程组，y " +Sy=0gydF4y2Ba一个振荡方程gydF4y2BadgydF4y2Ba^2gydF4y2Bay / dtgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+ Sy =gydF4y2Ba0的gydF4y2Ba2ngydF4y2Ba万博 尤文图斯解(正弦和余弦)。万博 尤文图斯解使用的特征向量gydF4y2BasgydF4y2Ba

7.2正定矩阵，S=A'*AgydF4y2Ba一个正定矩阵S有正的特征值，正的支点，正的行列式，正的能量vgydF4y2Ba^TgydF4y2Ba每个向量的Sv v.S=AgydF4y2Ba^TgydF4y2Ba如果A有独立的列向量A总是正定的。gydF4y2Ba

7.2b:奇异值分解，SVDgydF4y2BaSVD分解每个矩阵gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba转化成一个正交矩阵gydF4y2BaUgydF4y2Ba乘以一个对角矩阵Σ(奇异值)乘以另一个正交矩阵VgydF4y2Ba^TgydF4y2Ba:旋转次数拉伸次数旋转次数。gydF4y2Ba

7.3：边界条件替换初始条件gydF4y2Ba二阶方程可以改变它的初始条件gydF4y2Bay (0)gydF4y2Ba和gydF4y2Bady / dt (0)gydF4y2Ba到边界条件gydF4y2Bay (0)gydF4y2Ba和gydF4y2Bay (1)gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

7.4：拉普拉斯方程gydF4y2Ba∂gydF4y2Ba^2gydF4y2Bau/gydF4y2Ba∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+gydF4y2Ba∂gydF4y2Ba^2gydF4y2Bau/gydF4y2Ba∂gydF4y2BaygydF4y2Ba^2gydF4y2Ba= 0gydF4y2Ba描述圆、方或任何平面区域内的温度分布。gydF4y2Ba

8.1：傅里叶级数gydF4y2Ba傅里叶级数分离周期函数gydF4y2BaF (x)gydF4y2Ba为所有基函数cos(无穷)的组合gydF4y2Banx)gydF4y2Ba和罪恶(gydF4y2Banx)gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

8.1b:傅里叶级数的例子gydF4y2Ba偶数函数只使用余弦函数(gydF4y2BaF (- x) = F (x)gydF4y2Ba)和奇函数只使用正弦函数。系数gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba_ngydF4y2Ba和gydF4y2BabgydF4y2Ba_ngydF4y2Ba来自于积分gydF4y2BaF (x)gydF4y2Bacos (gydF4y2BanxgydF4y2Ba),gydF4y2BaF (x)gydF4y2Ba罪(gydF4y2BanxgydF4y2Ba）.gydF4y2Ba

8.1c:拉普拉斯方程的傅里叶级数解gydF4y2Ba在一个圆内，解决方案gydF4y2BaugydF4y2Ba（gydF4y2BargydF4y2Baθ)结合gydF4y2BargydF4y2Ba^ngydF4y2Bacos (gydF4y2BangydF4y2Baθ） 及gydF4y2BargydF4y2Ba^ngydF4y2Ba罪(gydF4y2BangydF4y2Baθ)。边界解结合傅里叶级数中的所有项来匹配边界条件。gydF4y2Ba

8.3：热方程式gydF4y2Ba热方程∂gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BatgydF4y2Ba=∂gydF4y2Ba^2gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba从温度分布开始gydF4y2BaugydF4y2Ba在gydF4y2BatgydF4y2Ba= 0，后面跟着forgydF4y2BatgydF4y2Ba>0，因为它很快变得平滑。gydF4y2Ba

8.4：波动方程gydF4y2Ba波动方程∂gydF4y2Ba^2gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BatgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba=∂gydF4y2Ba^2gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba展示了波浪是如何沿着gydF4y2BaxgydF4y2Ba轴，从波的形状开始gydF4y2BaugydF4y2Ba（0）及其速度∂gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BatgydF4y2Ba(0)。gydF4y2Ba