1.1：微分方程概述GyD.F4y2Ba线性方程包括GyD.F4y2BaDY / DT.GyD.F4y2Ba=GyD.F4y2Bay，dy / dtGyD.F4y2Ba= -GyD.F4y2Bay，dy / dtGyD.F4y2Ba=GyD.F4y2Ba2号GyD.F4y2Ba．方程式GyD.F4y2BaDY / DT.GyD.F4y2Ba=GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba*GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba是非线性的。GyD.F4y2Ba

1.2：你需要的微积分GyD.F4y2Ba和定则、乘积定则和链式定则由的导数派生出新的导数GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba^NGyD.F4y2Ba，罪（GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba） 和GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba^XGyD.F4y2Ba．微积分基本定理说积分求导数的倒数。GyD.F4y2Ba

1.4b:指数输入的响应，exp(s*t)GyD.F4y2Ba具有指数输入，GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba^{英石GyD.F4y2Ba}，来自外面和指数增长，GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba^{在GyD.F4y2Ba}从内部，解决方案Y（t）是两种指数的组合。GyD.F4y2Ba

1.4C：响应振荡输入，COS（W * T）GyD.F4y2Ba振荡输入COS（ΩGyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba）产生具有相同频率ω（和相移）的振荡输出。GyD.F4y2Ba

1.4D：用于任何输入的解决方案，Q（T）GyD.F4y2Ba要解一个一阶线性方程，需要将每个输入相乘GyD.F4y2Baq（s）GyD.F4y2Ba通过其增长因素并整合这些产出GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

1.4E：步骤功能和DELTA功能GyD.F4y2Ba单位阶跃函数从0跳跃到1.它的斜率是Δ函数：零点除外，跳转无限。GyD.F4y2Ba

1.5：对复杂指数的响应，exp（i * w * t）= cos（w * t）+ i * sin（w * t）GyD.F4y2Ba用于线性方程，解决方案GyD.F4y2Baf =GyD.F4y2Bacos（ω.GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba）是解决方案的真实部分GyD.F4y2BaF = E.GyD.F4y2Ba^{我ωtGyD.F4y2Ba}．复杂的解决方案具有幅度GyD.F4y2BaGGyD.F4y2Ba（收益）。GyD.F4y2Ba

1.6：集成因子持续速率，aGyD.F4y2Ba整合因素GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba^{-在GyD.F4y2Ba}乘以差分方程，Y'= Ay + Q，给出衍生物GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba^{-在GyD.F4y2Ba}y：准备融合。GyD.F4y2Ba

1.6B：对不同速率的积分因子，a（t）GyD.F4y2Ba不同利率的积分为不断增长的解决方案（银行余额）提供了指数。GyD.F4y2Ba

1.7：物流方程GyD.F4y2Ba什么时候GyD.F4y2Ba——GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba减慢成长并使方程式非线性，解决方案接近稳定状态GyD.F4y2Bay（GyD.F4y2Ba∞GyD.F4y2Ba）= a / b。GyD.F4y2Ba

1.7C：稳定状态的稳定性和不稳定性GyD.F4y2Ba稳态解决方案可以是稳定或不万博 尤文图斯稳定的 - 一个简单的测试决定。GyD.F4y2Ba

1.8：可分离方程式GyD.F4y2Ba可分离等式可以通过两个单独的集成来解决，一个GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba另一个GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba．最简单的是GyD.F4y2Bady / dt = yGyD.F4y2Ba， 什么时候GyD.F4y2BaDY / Y.GyD.F4y2Ba等于GyD.F4y2BaDT.GyD.F4y2Ba．然后ln（GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba）=GyD.F4y2BaT + C.GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

2.1：二阶方程GyD.F4y2Ba对于没有阻尼的振荡方程，没有迫使，所有解决方案都具有相同的固有频率。万博 尤文图斯GyD.F4y2Ba

2.1B：强制谐波运动GyD.F4y2Ba迫使GyD.F4y2BaFGyD.F4y2Ba= cos（ωGyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba），特定的解决方案是GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba* cos（ωGyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba）。但如果强制频率等于自然频率存在共振。GyD.F4y2Ba

2.3：未经裁减的潮湿运动GyD.F4y2Ba在微分方程中的恒定系数，基本解决方案是指数万博 尤文图斯GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba^{英石GyD.F4y2Ba}．指数GyD.F4y2BaS.GyD.F4y2Ba解决简单的等式，如GyD.F4y2Ba作为GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba+ BS + C = 0GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

2.3C：脉冲响应和步骤响应GyD.F4y2Ba脉冲响应GyD.F4y2BaGGyD.F4y2Ba当力是脉冲（Δ函数）时是解决方案。这也解决了具有非零初始条件的空方程（无力）。GyD.F4y2Ba

2.4：指数响应 - 可能的共振GyD.F4y2Ba当自然频率与从内部和外部的强制频率相等的指数匹配时发生共振。GyD.F4y2Ba

2.4B：具有阻尼的二阶方程GyD.F4y2Ba阻尼强制方程具有特定的解决方案GyD.F4y2BaY = G.GyD.F4y2Bacos（ω.GyD.F4y2BaT -GyD.F4y2Baα）。阻尼比率为NULL解决方案提供了洞察力。万博 尤文图斯GyD.F4y2Ba

2.5：电气网络：电压和电流GyD.F4y2Ba流程周围的电流解决了具有系数的线性方程GyD.F4y2BaL.GyD.F4y2Ba(电感),GyD.F4y2BaR.GyD.F4y2Ba（抵抗），和GyD.F4y2Ba1 / C.GyD.F4y2Ba（GyD.F4y2BaCGyD.F4y2Ba=电容）。GyD.F4y2Ba

2.6：未确定系数的方法GyD.F4y2Ba具有恒定系数和特殊强制术语（权力GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba，余弦/阳叶，指数），特定解决方案具有相同的形式。GyD.F4y2Ba

2.6B：未确定系数的方法的一个例子GyD.F4y2Ba这种方法对于力和解也很成功万博 尤文图斯GyD.F4y2Ba（在GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba+ bt + c）eGyD.F4y2Ba^{英石GyD.F4y2Ba}：替代路程以找到GyD.F4y2BaA，B，CGyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

2.6C：参数的变化GyD.F4y2Ba组合空解决方案万博 尤文图斯GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba_1GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba_2GyD.F4y2Ba与系数GyD.F4y2BaCGyD.F4y2Ba_1GyD.F4y2Ba（t）GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaCGyD.F4y2Ba_2GyD.F4y2Ba（t）GyD.F4y2Ba找到任何特定的解决方案GyD.F4y2Baf（t）。GyD.F4y2Ba

2.7：拉普拉斯变换：第一阶方程GyD.F4y2Ba在线微分方程中将每个术语转换为创建代数问题。然后，您可以将代数解决方案转换回ODE解决方案，GyD.F4y2Bay（t）GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

2.7B：拉普拉斯变换：二阶方程GyD.F4y2Ba二阶导数变换为GyD.F4y2BaS.GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba代数问题涉及传递函数GyD.F4y2Ba1 /（如GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba+ BS + C）。GyD.F4y2Ba

2.7C：拉普拉斯变换和卷积GyD.F4y2Ba当力是脉冲δ时GyD.F4y2Ba（t）GyD.F4y2Ba，脉冲响应是GyD.F4y2Bag（t）GyD.F4y2Ba．当力量是GyD.F4y2Baf（t）GyD.F4y2Ba，响应是“卷积”GyD.F4y2BaFGyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaG。GyD.F4y2Ba

3.1：解决方案的图片万博 尤文图斯GyD.F4y2Ba方向场GyD.F4y2Bady / dt = f (t, y)GyD.F4y2Ba有一个斜坡的箭头GyD.F4y2BaFGyD.F4y2Ba在每一点GyD.F4y2BaT，Y.GyD.F4y2Ba．箭头沿着Isocline躺着。GyD.F4y2Ba

3.2：阶段平面图片：源，水槽马鞍GyD.F4y2Ba万博 尤文图斯二阶方程的解决方案可以接近无穷大或零。鞍点包含正面和负指数或特征值。GyD.F4y2Ba

3.2B：阶段平面图片：螺旋和中心GyD.F4y2Ba虚拟振荡的虚构指数在相平面提供“中心”。点GyD.F4y2Ba（y，dy / dt）GyD.F4y2Ba围绕着椭圆形身漫步。GyD.F4y2Ba

3.2C：两个第一阶方程：稳定性GyD.F4y2Ba二阶方程给出了两个第一阶方程GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaDY / DT.GyD.F4y2Ba．矩阵成为伴侣矩阵。GyD.F4y2Ba

3.3：关键点的线性化GyD.F4y2Ba临界点是一个恒定的解决方案GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba到微分方程GyD.F4y2Bay ' = f (y)GyD.F4y2Ba．附近,GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba，标志GyD.F4y2Badf / dy.GyD.F4y2Ba决定稳定还是不稳定。GyD.F4y2Ba

3.3b：y'= f（y，z）和z'= g（y，z）的线性化GyD.F4y2Ba有两个方程式，一个关键点GyD.F4y2Baf（y，z）GyD.F4y2Ba= 0且GyD.F4y2Bag（y，z）GyD.F4y2Ba= 0恒定的溶液附近，两个线性化方程使用2乘2的部万博 尤文图斯分衍生物GyD.F4y2BaFGyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaGGyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

3.3C：特征值和稳定性：2乘2矩阵，aGyD.F4y2Ba两个方程式GyD.F4y2Bay'= ayGyD.F4y2Ba当痕迹时，稳定（解决方案万博 尤文图斯接近零）GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba是消极的，决定蛋白是阳性的。GyD.F4y2Ba

3.3D：三维翻滚盒GyD.F4y2Ba空气中的一个盒子可以在其最短和最长的轴上旋转。在中间轴周围它疯狂地翻滚。GyD.F4y2Ba

5.1：矩阵的列空间，aGyD.F4y2Ba一个GyD.F4y2BamGyD.F4y2Ba经过GyD.F4y2BaNGyD.F4y2Ba矩阵GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba具有GyD.F4y2BaNGyD.F4y2Ba列中的列GyD.F4y2BaR.GyD.F4y2Ba^mGyD.F4y2Ba．捕获这些列的所有组合AV给出了列空间 - 一个子空间GyD.F4y2BaR.GyD.F4y2Ba^mGyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

5.4：独立，基础和维度GyD.F4y2Ba如果它们的组合跨越整个子空间并且是独立的，则V 1至V D是子空间的基础：没有基础载体是其他的基础。Dimension D =基础向量的数量。GyD.F4y2Ba

5.5：线性代数的大图片GyD.F4y2Ba矩阵生成四个子空间 - 列空间，行空间（相同的维度），垂直于所有行（Nullspace）的矢量空间，以及垂直于所有列的矢量空间。GyD.F4y2Ba

5.6：图形GyD.F4y2Ba图表有GyD.F4y2BaNGyD.F4y2Ba节点连接GyD.F4y2BamGyD.F4y2Ba边缘（其他边缘可能丢失）。这是互联网，大脑，管道系统等的有用模型。GyD.F4y2Ba

5.6B：图的发病矩阵GyD.F4y2Ba发病率矩阵GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba每个边缘都有一行，包含-1和+1以显示两个节点（两列GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba)由这条边连接。GyD.F4y2Ba

6.1：特征值和特征向量GyD.F4y2Ba特征向量GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba乘以矩阵时保持相同的方向（GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba=GyD.F4y2BaλGyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba）。一个GyD.F4y2BaNGyD.F4y2BaXGyD.F4y2BaNGyD.F4y2Ba矩阵有GyD.F4y2BaNGyD.F4y2Ba特征值。GyD.F4y2Ba

6.2：对角化矩阵GyD.F4y2Ba如果它具有矩阵可以是对角化的GyD.F4y2BaNGyD.F4y2Ba独立的特征向量。对角线矩阵λis的特征值矩阵。GyD.F4y2Ba

6.2B：权力，A ^ n和马尔可夫矩阵GyD.F4y2Ba对角化GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba=GyD.F4y2BaV.GyD.F4y2Baλ.GyD.F4y2BaV.GyD.F4y2Ba^-1GyD.F4y2Ba也是对角化GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba^NGyD.F4y2Ba=GyD.F4y2BaV.GyD.F4y2Baλ.GyD.F4y2Ba^NGyD.F4y2BaV.GyD.F4y2Ba^-1GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

6.3：求解线性系统GyD.F4y2BaD.GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba/ dt = aGyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba包含解决方案万博 尤文图斯GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba= E.GyD.F4y2Ba^{λt.GyD.F4y2Ba}XGyD.F4y2Ba在哪里GyD.F4y2BaλGyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba是一个特征值/特征向量对GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

6.4：矩阵指数，exp（a * t）GyD.F4y2Ba最短形式的解决方案使用矩阵指数GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba= E.GyD.F4y2Ba^{在GyD.F4y2Ba}yGyD.F4y2Ba（0）GyD.F4y2Ba．矩阵GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba^{在GyD.F4y2Ba}有特征值GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba^{λt.GyD.F4y2Ba}和特征向量的GyD.F4y2Ba一种。GyD.F4y2Ba

6.4b：类似的矩阵，a和b = m ^（ - 1）* a * mGyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaB.GyD.F4y2Ba如果是“类似”GyD.F4y2BaB.GyD.F4y2Ba=GyD.F4y2BamGyD.F4y2Ba^-1GyD.F4y2Ba是GyD.F4y2Ba对于一些矩阵GyD.F4y2BamGyD.F4y2Ba．GyD.F4y2BaB.GyD.F4y2Ba然后具有与之相同的特征值GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

6.5：对称矩阵，真古等值，正交特征向量GyD.F4y2Ba对称矩阵有GyD.F4y2BaNGyD.F4y2Ba垂直特征向量和GyD.F4y2BaNGyD.F4y2Ba真正的特征值。GyD.F4y2Ba

6.5B：二阶系统，y''+ sy = 0GyD.F4y2Ba振荡方程GyD.F4y2BaD.GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2BaY / DT.GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba+ sy =GyD.F4y2Ba0有GyD.F4y2Ba2NGyD.F4y2Ba万博 尤文图斯解决方案（田间和余弦）。万博 尤文图斯解决方案使用特征向量GyD.F4y2BaS.GyD.F4y2Ba

7.2：正定矩阵，s = a'aGyD.F4y2Ba一个正定矩阵S具有正的特征值、正的枢轴、正的行列式和正的能量vGyD.F4y2Ba^T.GyD.F4y2Ba每个载体的sv v。s = aGyD.F4y2Ba^T.GyD.F4y2Ba如果A有独立的列，A总是积极的。GyD.F4y2Ba

7.2B：奇异值分解，SVDGyD.F4y2Ba每个矩阵的SVD因素GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba进入正交矩阵GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba沿对角线矩阵σ（奇异值）倍增另一正交矩阵vGyD.F4y2Ba^T.GyD.F4y2Ba：旋转时间拉伸时间旋转。GyD.F4y2Ba

7.3：边界条件替换初始条件GyD.F4y2Ba二阶方程可以改变其初始条件GyD.F4y2Bay（0）GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaDY / DT（0）GyD.F4y2Ba边界条件GyD.F4y2Bay（0）GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaY（1）GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

7.4：拉普拉斯方程GyD.F4y2Ba∂GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2BaU /GyD.F4y2Ba∂GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba+GyD.F4y2Ba∂GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2BaU /GyD.F4y2Ba∂GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba= 0.GyD.F4y2Ba描述圆圈或正方形或任何平面区域内的温度分布。GyD.F4y2Ba

8.1：傅里叶系列GyD.F4y2Ba傅立叶系列分隔定期函数GyD.F4y2Baf（x）GyD.F4y2Ba进入所有基本函数的组合（无限）COS（GyD.F4y2BaNX）GyD.F4y2Ba和罪恶（GyD.F4y2BaNX）GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

8.1b：傅立叶系列的例子GyD.F4y2Ba甚至功能均仅使用余弦（GyD.F4y2Baf（-x）= f（x）GyD.F4y2Ba）奇数函数仅使用凸丝。系数GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba_NGyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaB.GyD.F4y2Ba_NGyD.F4y2Ba来自整体的GyD.F4y2Baf（x）GyD.F4y2BaCos（GyD.F4y2BaNX.GyD.F4y2Ba） 和GyD.F4y2Baf（x）GyD.F4y2Ba罪（GyD.F4y2BaNX.GyD.F4y2Ba）。GyD.F4y2Ba

8.1c:拉普拉斯方程的傅里叶级数解GyD.F4y2Ba在一个圆圈内，解决方案GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba（GyD.F4y2BaR.GyD.F4y2Baθ)结合GyD.F4y2BaR.GyD.F4y2Ba^NGyD.F4y2BaCos（GyD.F4y2BaNGyD.F4y2Baθ）和GyD.F4y2BaR.GyD.F4y2Ba^NGyD.F4y2Ba罪（GyD.F4y2BaNGyD.F4y2Baθ）。边界解决方案结合了傅立叶系列中的所有条目以匹配边界条件。GyD.F4y2Ba

8.3：热方程GyD.F4y2Ba热方程∂GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba/∂GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba=∂GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba/∂GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba从温度分布开始GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba在GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba= 0并跟随它GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba> 0，因为它很快变得平滑。GyD.F4y2Ba

8.4：波浪方程GyD.F4y2Ba波浪方程∂GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba/∂GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba=∂GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba/∂GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba展示如何沿着GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba轴，从波形开始GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba（0）及其速度∂GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba/∂GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba（0）。GyD.F4y2Ba