1.1:微分方程概述GYDF4y2Ba线性方程组包括GYDF4y2Bady / dtGYDF4y2Ba=GYDF4y2Bay, dy / dtGYDF4y2Ba= -GYDF4y2Bay, dy / dtGYDF4y2Ba=GYDF4y2Ba2泰GYDF4y2Ba．这个方程GYDF4y2Bady / dtGYDF4y2Ba=GYDF4y2BaYGYDF4y2Ba*GYDF4y2BaYGYDF4y2Ba是非线性的。GYDF4y2Ba

1.2:你需要的微积分GYDF4y2Ba求和法则，乘积法则和链式法则会从的导数得到新的导数GYDF4y2BaxGYDF4y2Ba^NGYDF4y2Ba，罪(GYDF4y2BaxGYDF4y2Ba),GYDF4y2BaEGYDF4y2Ba^xGYDF4y2Ba．微积分基本定理说，积分是导数的倒数。GYDF4y2Ba

1.4b:响应指数输入，exp(s*t)GYDF4y2Ba指数输入,GYDF4y2BaEGYDF4y2Ba^圣GYDF4y2Ba，从外部和指数增长，GYDF4y2BaEGYDF4y2Ba^在GYDF4y2Ba从内部看，解y(t)是两个指数的组合。GYDF4y2Ba

1.4c:输入振荡响应，cos(w*t)GYDF4y2Ba振荡输入cos（ω）GYDF4y2BaTGYDF4y2Ba)产生具有相同频率ω(和相移)的振荡输出。GYDF4y2Ba

1.4d任意输入q(t)的解GYDF4y2Ba解线性一阶方程，将每个输入相乘GYDF4y2Ba问(s)GYDF4y2Ba通过它的增长因素和综合这些产出GYDF4y2Ba．GYDF4y2Ba

1.4e:阶跃函数和脉冲函数GYDF4y2Ba单位步长函数从0跳到1。它的斜率是一个增量函数：除了跳跃处的无穷大之外，其他地方都是零。GYDF4y2Ba

1.5:复指数响应，exp(i*w*t) = cos(w*t)+ isin (w*t)GYDF4y2Ba对于线性方程，解GYDF4y2Baf =GYDF4y2Bacos(ωGYDF4y2BaTGYDF4y2Ba)是解决问题的真正部分吗GYDF4y2Baf = eGYDF4y2Ba^{我ωtGYDF4y2Ba}. 这个复杂的解决方案具有巨大的潜力GYDF4y2BaGGYDF4y2Ba(获得)。GYDF4y2Ba

1.6:常数速率的积分因子，aGYDF4y2Ba积分因子GYDF4y2BaEGYDF4y2Ba^{——GYDF4y2Ba}乘以微分方程，y ' =ay+q，得到的导数GYDF4y2BaEGYDF4y2Ba^{——GYDF4y2Ba}可以集成了。GYDF4y2Ba

1.6b:变化率积分因子a(t)GYDF4y2Ba变化的利率的积分提供了增长解决方案(银行余额)的指数。GYDF4y2Ba

1.7：逻辑斯蒂方程GYDF4y2Ba当GYDF4y2Ba——GYDF4y2Ba^2.GYDF4y2Ba减缓增长并使方程非线性，解接近稳定状态GYDF4y2Bay (GYDF4y2Ba∞GYDF4y2Ba) = a / b。GYDF4y2Ba

1.7c:稳态的稳定性和不稳定性GYDF4y2Ba稳态解可以是稳定的，也可以万博 尤文图斯是不稳定的——一个简单的测试就可以决定。GYDF4y2Ba

1.8:可分离变量方程GYDF4y2Ba可分离方程可以通过两个单独的积分来求解，一个在GYDF4y2BaTGYDF4y2Ba另一个在GYDF4y2BaYGYDF4y2Ba.最简单的是GYDF4y2Bady / dt = yGYDF4y2Ba,当GYDF4y2Bady / yGYDF4y2Ba=GYDF4y2BadtGYDF4y2Ba．然后ln (GYDF4y2BaYGYDF4y2Ba) =GYDF4y2Bat + CGYDF4y2Ba．GYDF4y2Ba

2.1：二阶方程GYDF4y2Ba对于无阻尼无强迫的振动方程，所有解具有相同的固有频率。万博 尤文图斯GYDF4y2Ba

2.1b:强迫谐波运动GYDF4y2Ba与强迫GYDF4y2BaFGYDF4y2Ba= cos(ωGYDF4y2BaTGYDF4y2Ba)，特解为GYDF4y2BaYGYDF4y2Ba* cos(ωGYDF4y2BaTGYDF4y2Ba)但如果强迫频率等于固有频率，则存在共振。GYDF4y2Ba

2.3：非受迫阻尼运动GYDF4y2Ba常系数微分方程的基本解是指数函数万博 尤文图斯GYDF4y2BaEGYDF4y2Ba^圣GYDF4y2Ba.指数GYDF4y2BasGYDF4y2Ba解一个简单的方程，例如GYDF4y2Ba像GYDF4y2Ba^2.GYDF4y2Ba+ b + C = 0GYDF4y2Ba．GYDF4y2Ba

2.3c:脉冲响应和阶跃响应GYDF4y2Ba脉冲响应GYDF4y2BaGGYDF4y2Ba为当力为脉冲(脉冲函数)时的解。这也解决了一个非零初始条件的零方程(无力)。GYDF4y2Ba

2.4:指数响应-可能的共振GYDF4y2Ba当固有频率与强迫频率等指数内外匹配时，就会发生共振。GYDF4y2Ba

2.4b:带阻尼的二阶方程GYDF4y2Ba阻尼强迫方程有一个特解GYDF4y2Bay = GGYDF4y2Bacos(ωGYDF4y2Bat -GYDF4y2Baα)。阻尼比提供了对零解的洞察。万博 尤文图斯GYDF4y2Ba

2.5:电气网络:电压和电流GYDF4y2Ba电流在RLC回路周围的流动求解一个有系数的线性方程GYDF4y2BaLGYDF4y2Ba(电感),GYDF4y2BaRGYDF4y2Ba(电阻),GYDF4y2Ba1 / CGYDF4y2Ba(GYDF4y2BaCGYDF4y2Ba=电容)。GYDF4y2Ba

2.6待定系数法GYDF4y2Ba具有常系数和特殊强迫项(的幂GYDF4y2BaTGYDF4y2Ba如余弦/正弦，指数)，特解也有同样的形式。GYDF4y2Ba

2.6b:待定系数法的一个例子GYDF4y2Ba该方法对力和解也同样适用万博 尤文图斯GYDF4y2Ba(在GYDF4y2Ba^2.GYDF4y2Ba【答案】cGYDF4y2Ba^圣GYDF4y2Ba:代入方程求GYDF4y2Baa、 b，cGYDF4y2Ba．GYDF4y2Ba

2.6c:参数的变化GYDF4y2Ba把空的解决方案万博 尤文图斯GYDF4y2BaYGYDF4y2Ba_1.GYDF4y2Ba和GYDF4y2BaYGYDF4y2Ba_2.GYDF4y2Ba与系数GYDF4y2BaCGYDF4y2Ba_1.GYDF4y2Ba（t）GYDF4y2Ba和GYDF4y2BaCGYDF4y2Ba_2.GYDF4y2Ba（t）GYDF4y2Ba求任意的特解GYDF4y2Baf (t)。GYDF4y2Ba

2.7:拉普拉斯变换:一阶方程GYDF4y2Ba将线性微分方程中的每一项变换成一个代数问题。然后你可以把代数解转换回ODE解，GYDF4y2Bay (t)GYDF4y2Ba．GYDF4y2Ba

2.7b:拉普拉斯变换:二阶方程GYDF4y2Ba二阶导数变换为GYDF4y2BasGYDF4y2Ba^2.GYDF4y2BaYGYDF4y2Ba代数问题涉及到传递函数GYDF4y2Ba1 / (GYDF4y2Ba^2.GYDF4y2Ba+ b + C)。GYDF4y2Ba

2.7c:拉普拉斯变换和卷积GYDF4y2Ba当力为脉冲δ时GYDF4y2Ba（t）GYDF4y2Ba，脉冲响应为GYDF4y2Bag (t)GYDF4y2Ba．当力是GYDF4y2Baf (t)GYDF4y2Ba，响应是“卷积”的GYDF4y2BaFGYDF4y2Ba和GYDF4y2BaGGYDF4y2Ba

3.1:解决方案图片万博 尤文图斯GYDF4y2Ba的方向场GYDF4y2Bady / dt = f (t, y)GYDF4y2Ba有带坡度的箭头吗GYDF4y2BaFGYDF4y2Ba每一点GYDF4y2Bat、 yGYDF4y2Ba. 具有相同坡度的箭头位于等参线上。GYDF4y2Ba

3.2：相平面图：源、汇鞍GYDF4y2Ba万博 尤文图斯二阶方程的解可以趋近于无穷或零。鞍点包含一个正的和一个负的指数或特征值。GYDF4y2Ba

3.2b:相平面图片:螺旋和中心GYDF4y2Ba具有纯振荡的虚指数在相平面上提供了一个“中心”。这一点GYDF4y2Ba(y, dy / dt)GYDF4y2Ba永远绕着椭圆旅行。GYDF4y2Ba

3.2c：两个一阶方程：稳定性GYDF4y2Ba一个二阶方程给出了两个一阶方程GYDF4y2BaYGYDF4y2Ba和GYDF4y2Bady / dtGYDF4y2Ba．这个矩阵变成了一个同伴矩阵。GYDF4y2Ba

3.3:临界点线性化GYDF4y2Ba临界点是常数解GYDF4y2BaYGYDF4y2Ba微分方程GYDF4y2Bay ' = f (y)GYDF4y2Ba．附近,GYDF4y2BaYGYDF4y2Ba…的标志GYDF4y2Badf / dyGYDF4y2Ba决定稳定还是不稳定。GYDF4y2Ba

3.3b:y'=f（y，z）和z'=g（y，z）的线性化GYDF4y2Ba对于两个方程，临界点有GYDF4y2Baf（Y，Z）GYDF4y2Ba=0和GYDF4y2Bag (Y, Z)GYDF4y2Ba= 0。在这些常数解附近，两个线性化的方程使用了万博 尤文图斯偏导数的2 × 2矩阵GYDF4y2BaFGYDF4y2Ba和GYDF4y2BaGGYDF4y2Ba．GYDF4y2Ba

3.3c：特征值和稳定性：2乘2矩阵，AGYDF4y2Ba两个方程GYDF4y2Bay'=AyGYDF4y2Ba是稳定(解接近零)时的迹万博 尤文图斯GYDF4y2BaA.GYDF4y2Ba是负的，而行列式是正的。GYDF4y2Ba

3d: 3d的翻滚盒GYDF4y2Ba一个在空中的盒子可以围绕它的最长和最短的轴旋转。它在中轴附近剧烈地翻滚。GYDF4y2Ba

5.1:矩阵a的列空间GYDF4y2Ba一GYDF4y2BaMGYDF4y2Ba通过GYDF4y2BaNGYDF4y2Ba矩阵GYDF4y2BaA.GYDF4y2Ba有GYDF4y2BaNGYDF4y2Ba各列GYDF4y2BaRGYDF4y2Ba^MGYDF4y2Ba．获取这些列的所有组合Av就得到列空间-的一个子空间GYDF4y2BaRGYDF4y2Ba^MGYDF4y2Ba．GYDF4y2Ba

5.4:独立性、基础和维度GYDF4y2Ba如果向量V1到VD的组合跨越整个子空间并且是独立的，则它们是子空间的基：没有基向量是其他向量的组合。维度d=基向量的数量。GYDF4y2Ba

5.5:线性代数的大图GYDF4y2Ba一个矩阵产生4个子空间——列空间、行空间(相同维数)、垂直于所有行的向量空间(零空间)和垂直于所有列的向量空间。GYDF4y2Ba

图5.6:GYDF4y2Ba一个图GYDF4y2BaNGYDF4y2Ba节点连接GYDF4y2BaMGYDF4y2Ba边(其他边可能缺失)。这对于互联网、大脑、管道系统等等都是一个有用的模型。GYDF4y2Ba

5.6b：图的关联矩阵GYDF4y2Ba的关联矩阵GYDF4y2BaA.GYDF4y2Ba每个边都有一行，包含-1和+1来显示两个节点(两列GYDF4y2BaA.GYDF4y2Ba)由这条边连接。GYDF4y2Ba

6.1:特征值和特征向量GYDF4y2Ba特征向量GYDF4y2BaxGYDF4y2Ba乘以矩阵时保持方向不变(GYDF4y2BaA.GYDF4y2BaxGYDF4y2Ba=GYDF4y2BaλGYDF4y2BaxGYDF4y2Ba）.一GYDF4y2BaNGYDF4y2BaxGYDF4y2BaNGYDF4y2Ba矩阵GYDF4y2BaNGYDF4y2Ba特征值。GYDF4y2Ba

6.2:对角化矩阵GYDF4y2Ba矩阵可以对角化，如果它有GYDF4y2BaNGYDF4y2Ba独立特征向量。对角矩阵∧为特征值矩阵。GYDF4y2Ba

6.2b:幂、A^n和马尔可夫矩阵GYDF4y2Ba整个思想GYDF4y2BaA.GYDF4y2Ba=GYDF4y2BavGYDF4y2BaΛGYDF4y2BavGYDF4y2Ba^1GYDF4y2Ba同时斜向移动GYDF4y2BaA.GYDF4y2Ba^NGYDF4y2Ba=GYDF4y2BavGYDF4y2BaΛGYDF4y2Ba^NGYDF4y2BavGYDF4y2Ba^1GYDF4y2Ba．GYDF4y2Ba

6.3：求解线性系统GYDF4y2BaDGYDF4y2BaYGYDF4y2Ba/ dt =一个GYDF4y2BaYGYDF4y2Ba包含解决方案万博 尤文图斯GYDF4y2BaYGYDF4y2Ba= eGYDF4y2Ba^λtGYDF4y2BaxGYDF4y2Ba在哪里GYDF4y2BaλGYDF4y2Ba和GYDF4y2BaxGYDF4y2Ba是的特征值/特征向量对GYDF4y2BaA.GYDF4y2Ba．GYDF4y2Ba

6.4:矩阵指数，exp(A*t)GYDF4y2Ba解的最短形式使用矩阵指数GYDF4y2BaYGYDF4y2Ba= eGYDF4y2Ba^在GYDF4y2BaYGYDF4y2Ba(0)GYDF4y2Ba．矩阵GYDF4y2BaEGYDF4y2Ba^在GYDF4y2Ba有特征值GYDF4y2BaEGYDF4y2Ba^λtGYDF4y2Ba特征向量GYDF4y2BaA.GYDF4y2Ba

6.4b：类似矩阵，A和B=M^（-1）*A*MGYDF4y2BaA.GYDF4y2Ba和GYDF4y2BaBGYDF4y2Ba是否“相似”如果GYDF4y2BaBGYDF4y2Ba=GYDF4y2BaMGYDF4y2Ba^{－1GYDF4y2Ba}是GYDF4y2Ba对于一些矩阵GYDF4y2BaMGYDF4y2Ba．GYDF4y2BaBGYDF4y2Ba然后有相同的特征值GYDF4y2BaA.GYDF4y2Ba．GYDF4y2Ba

对称矩阵，实特征值，正交特征向量GYDF4y2Ba对称矩阵都GYDF4y2BaNGYDF4y2Ba垂直特征向量和GYDF4y2BaNGYDF4y2Ba实特征值。GYDF4y2Ba

6.5b:二阶方程组，y " +Sy=0GYDF4y2Ba振动方程GYDF4y2BaDGYDF4y2Ba^2.GYDF4y2Bay / dtGYDF4y2Ba^2.GYDF4y2Ba+Sy=GYDF4y2Ba0有GYDF4y2Ba2 nGYDF4y2Ba万博 尤文图斯解（正弦和余弦）。解使用GYDF4y2Ba年代。GYDF4y2Ba

7.2：正定矩阵，S=A'*AGYDF4y2Ba一个正定矩阵S有正的特征值，正的支点，正的行列式，正的能量vGYDF4y2Ba^TGYDF4y2BaSv对于每个向量v, S = AGYDF4y2Ba^TGYDF4y2Ba如果A有独立的列，则A总是正定的。GYDF4y2Ba

7.2b：奇异值分解，奇异值分解GYDF4y2BaSVD分解每个矩阵GYDF4y2BaA.GYDF4y2Ba转化成一个正交矩阵GYDF4y2BaUGYDF4y2Ba乘以一个对角矩阵Σ(奇异值)乘以另一个正交矩阵VGYDF4y2Ba^TGYDF4y2Ba：旋转次数拉伸次数旋转。GYDF4y2Ba

7.3:边界条件代替初始条件GYDF4y2Ba二阶方程可以改变它的初始条件GYDF4y2Bay (0)GYDF4y2Ba和GYDF4y2Bady / dt (0)GYDF4y2Ba到边界条件GYDF4y2Bay (0)GYDF4y2Ba和GYDF4y2Bay (1)GYDF4y2Ba．GYDF4y2Ba

7.4:拉普拉斯方程GYDF4y2Ba∂GYDF4y2Ba^2.GYDF4y2Bau /GYDF4y2Ba∂GYDF4y2BaxGYDF4y2Ba^2.GYDF4y2Ba+GYDF4y2Ba∂GYDF4y2Ba^2.GYDF4y2Bau /GYDF4y2Ba∂GYDF4y2BaYGYDF4y2Ba^2.GYDF4y2Ba= 0GYDF4y2Ba描述圆、方或任何平面区域内的温度分布。GYDF4y2Ba

8.1:傅里叶级数GYDF4y2Ba傅里叶级数分离周期函数GYDF4y2BaF (x)GYDF4y2Ba为所有基函数cos(无穷)的组合GYDF4y2Banx)GYDF4y2Ba和罪恶(GYDF4y2Banx)GYDF4y2Ba．GYDF4y2Ba

8.1b：傅里叶级数示例GYDF4y2Ba偶数函数只使用余弦函数(GYDF4y2BaF (- x) = F (x)GYDF4y2Ba)和奇函数只使用正弦函数。系数GYDF4y2BaA.GYDF4y2Ba_NGYDF4y2Ba和GYDF4y2BaBGYDF4y2Ba_NGYDF4y2Ba来自于积分GYDF4y2BaF (x)GYDF4y2Bacos (GYDF4y2BanxGYDF4y2Ba),GYDF4y2BaF (x)GYDF4y2Basin (GYDF4y2BanxGYDF4y2Ba）.GYDF4y2Ba

8.1c:拉普拉斯方程的傅里叶级数解GYDF4y2Ba在圆内，解GYDF4y2BaUGYDF4y2Ba(GYDF4y2BaRGYDF4y2Baθ)结合GYDF4y2BaRGYDF4y2Ba^NGYDF4y2Bacos (GYDF4y2BaNGYDF4y2Baθ),GYDF4y2BaRGYDF4y2Ba^NGYDF4y2Basin (GYDF4y2BaNGYDF4y2Baθ). 边界解将傅里叶级数中的所有项组合起来，以匹配边界条件。GYDF4y2Ba

8.3:热方程GYDF4y2Ba热方程∂GYDF4y2BaUGYDF4y2Ba/∂GYDF4y2BaTGYDF4y2Ba=∂GYDF4y2Ba^2.GYDF4y2BaUGYDF4y2Ba/∂GYDF4y2BaxGYDF4y2Ba^2.GYDF4y2Ba从温度分布开始GYDF4y2BaUGYDF4y2Ba在GYDF4y2BaTGYDF4y2Ba=0，并跟随它一周GYDF4y2BaTGYDF4y2Ba> 0因为它很快变得光滑。GYDF4y2Ba

8.4:波动方程GYDF4y2Ba波动方程∂GYDF4y2Ba^2.GYDF4y2BaUGYDF4y2Ba/∂GYDF4y2BaTGYDF4y2Ba^2.GYDF4y2Ba=∂GYDF4y2Ba^2.GYDF4y2BaUGYDF4y2Ba/∂GYDF4y2BaxGYDF4y2Ba^2.GYDF4y2Ba展示了波浪是如何沿着GYDF4y2BaxGYDF4y2Ba轴，从波形开始GYDF4y2BaUGYDF4y2Ba(0)及其速度∂GYDF4y2BaUGYDF4y2Ba/∂GYDF4y2BaTGYDF4y2Ba(0).GYDF4y2Ba