微分方程与线性代数,2.1b:强迫调和运动
从这个系列中:微分方程与线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院
与强迫f= cos(ωt),特解为Y* cos(ωt).但如果强迫频率等于固有频率,就会产生共振。
这是关于二阶微分方程的第二个视频,常系数,但现在我们有了右手边。第一个是零的自由谐波运动,但是现在我在做这个运动,我在推动这个运动,但是频率是。这是我的强迫项。
所以我认为我有一个强迫频率,记住,对于这个,对于无解,有一个固有频率n,这很重要它们是否接近,它们是否分离得很好?这决定了你走过的桥是否振荡过大,最终会不会倒塌。
或者在极端情况下,它们相等吗?如果n等于那就叫做共振。让我把这个词放进去。共振。当等于n时,我们今天不打算处理,但你应该知道公式中总是有- n除以它。如果这是0,如果等于n我们的公式必须改变。
今天,这种情况不会发生。不。公式是什么?yp是什么?我在找一个特解。这是一个很好的函数,在实践中也很重要。所以我希望特解可以是cos t的倍数。
在这个问题中,这是可能的。因为如果我有一个余弦,我在右边有一个余弦,如果余弦到这里,它在左边,余弦的二阶导数是,同样,一个余弦,我将得到cos t项的匹配。然后我选择正确的数字大写Y。
当这里有一阶导数时我就不能这么做了,因为余弦函数的一阶导数会带来符号。我将得到余弦和正弦的混合然后我最好考虑到这种混合。但这里我不需要。
这是强迫函数。响应,这是强制响应。我想习惯用“响应”这个词来表示解决方案。这是输入,响应是输出。我把它代入方程,求出Y。
这里有m,二阶导数是Y,二阶导数会得到-的平方乘以cos。这里有kY = Y乘以cos等于cos。这里可以有一个常数,但整个过程不会比1更有趣,更困难。
我该怎么做?好的是这里我有所有的余弦,所以我将得到- m的平方和k,所以它是k - m的平方。我可以这么写吗?乘以y,把余弦消掉。这就是1。这边是1。
我消去了cos,所以我保留了kY。我保留了1,也保留了-的平方m。这就告诉了我Y。就像代入一个指数然后消掉指数一样。这里,我把cos消掉了因为每一项都是cos。
所以我知道y,所以我知道答案。所以最后的答案是Y(t) = Yn。我把Y放在前面加上Yn。我刚刚求出了特Y。Y是大写的ycos t,所以它是cos t乘以Y Y等于1除以这个。
这是y,下面是k - m的平方。对吧?这就是我们刚刚找到的特解。大写的Y,乘以常数,等于1除以这个常数。现在是c1cos nt和c2sin nt。
记住,n不同于。实际上,这里很漂亮。我可以用另一种方式来写,这样你就能看出这里的重要性。记住,n方是什么?记住n方等于k / m,对吧?是的。
k等于,我把m写在上面,k等于m n的平方。k等于m n的平方这里我减去m的平方。你会看到整个共振点,或者近似共振,当桥被强迫到一个接近共振频率的频率。
这个差,的平方,两个频率之间的差的平方在分母中,很小,然后影响很大。如果我们把它们放得太近,影响就太大了。所以我们会看到cos t除以这个,我称之为,频率响应是这个因子。1除以m n的平方减去平方。
这是关键的乘数,当强迫项是一个纯频率时,这个频率会爆炸。现在,当然,C1和C2是什么?我们从初始条件中求出。当t = 0时,代入t = 0,这就得到了C1的值。让t = 0来匹配Y '在0处的速度,这就得到了C2。你觉得可以吗?
看看这个解决方案的美妙之处。这是零部分。这是强制的部分,特殊的部分,余弦除以那个常数。还有一个方程,一个我想经常讨论的强迫项。这是一个脉冲函数。
我再加一个例子。二重撇加ky等于函数。δ函数。这叫做脉冲。我也想解这个方程。当强迫项在一秒发生时,在初始的一秒。在t = 0时,函数,我碰到弹簧。
所以弹簧或者钟摆在这里。实际上,我们让它静止。这是我的钟摆。我试着画一个钟摆。我不知道。这不是一个钟摆。但这已经足够好了。
这个方程说的是如果我用一个点源撞击它会发生什么?在t = 0时,我击中它,但我给它一个有限的速度。它在那一瞬间没有移动。这就是函数的用武之地让我把结果告诉你们然后我们会再看到它们。
那么我在做什么呢?我想解这个方程当强迫函数是一个函数。我把y称为脉冲响应。它是当强迫函数是脉冲时的解。y是脉冲响应。事实上,它是如此重要,我要给它一个单独的字母。现在,我能把y变成g吗?
所以g是g (t)是脉冲响应。如果我能解出这个方程。你可能会说,没那么容易。对于函数,它甚至不是一个真函数。这有点疯狂。这一切都发生在一秒钟之内。对不起,就在一瞬间。不是一秒钟,是一瞬间。
但我能解出来。我能解出它是因为这个原因。我可以把它看成是一个脉冲或者我有另一种选择,我可以把它看成是在没有力(mg ' ')的情况下解它。同样的问题,同样的解是0。
但我从休息开始。什么都没有发生。Y(0) = 0。它从初速度y '(0)开始。冲动开始时就像高尔夫球一样。那就去吧。这里有一个1 / m。我下次再讨论这个问题。
我现在要看的是我有这个有点神秘的方程或者这个完全正常的方程,甚至是一个从y(0) = 0开始的无方程。但是有一个初始速度这个初始速度是脉冲给系统的。我应该叫它g,这是g,我们会再次看到脉冲响应,但这次我们通过解这个方程来看。
我打算解这个方程上次我们解过了。还记得这个的解吗?当它从0开始时,没有余弦。但是当初速度是1 / m时,有一个符号。所以我要写下g (t)也就是sin (nt)
为什么它是固有频率?因为我解的是no。我在寻找一个无解。但是之前关于无解的视频得到了这个。万博 尤文图斯我只需要除以,得到1 / m作为初始速度。你会发现它可以解出no方程。
这就是钟摆或高尔夫球发生的情况。钟摆好多了。实际上,高尔夫球就是一个很差的例子。很抱歉。高尔夫球不会前后摆动。他们倾向于离开。
我在看钟摆,弹簧上下摆动。弹簧开始时,初始速度是1 / m之后什么都没有发生。这就是脉冲响应。对脉冲的反应。我为什么喜欢这样?首先,它很漂亮。简单的答案。
其次,每一个强迫函数,输出都来自于这个函数。我们会看到这一点。我们已经介绍了强迫函数,cos t,它的特解是cos t的倍数,现在,我们介绍了强迫函数,这个函数的响应是正弦函数。谢谢你!
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