1.1：微分方程概述GyD.F4y2Ba线性方程包括GyD.F4y2BaDY / DT.GyD.F4y2Ba=GyD.F4y2Bay，dy / dtGyD.F4y2Ba= -GyD.F4y2Bay，dy / dtGyD.F4y2Ba=GyD.F4y2Ba2号GyD.F4y2Ba．方程式GyD.F4y2BaDY / DT.GyD.F4y2Ba=GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba*GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba是非线性的。GyD.F4y2Ba

1.2：你需要的微积分GyD.F4y2Ba求和法则，乘积法则和链式法则会从的导数得到新的导数GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba^N.GyD.F4y2Ba，罪（GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba),GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba^XGyD.F4y2Ba．微积分的基本定理表明整体反转了衍生物。GyD.F4y2Ba

1.4B：对指数输入的响应，exp（s * t）GyD.F4y2Ba指数输入,GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba^{英石GyD.F4y2Ba}，从外部和指数增长，GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba^{在GyD.F4y2Ba}从内部，解决方案Y（t）是两种指数的组合。GyD.F4y2Ba

1.4c:输入振荡响应，cos(w*t)GyD.F4y2Ba振荡输入COS（ΩGyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba）产生具有相同频率ω（和相移）的振荡输出。GyD.F4y2Ba

1.4D：用于任何输入的解决方案，Q（T）GyD.F4y2Ba要解决线性第一阶方程，乘以每个输入GyD.F4y2Baq（s）GyD.F4y2Ba通过其增长因素并整合这些产出GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

1.4E：步骤功能和DELTA功能GyD.F4y2Ba单位阶跃函数从0跳跃到1.它的斜率是Δ函数：零点除外，跳转无限。GyD.F4y2Ba

1.5：对复杂指数的响应，exp（i * w * t）= cos（w * t）+ i * sin（w * t）GyD.F4y2Ba用于线性方程，解决方案GyD.F4y2Baf =GyD.F4y2Bacos（ω.GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba）是解决方案的真实部分GyD.F4y2Baf = eGyD.F4y2Ba^{Iωt.GyD.F4y2Ba}．复杂的解决方案具有幅度GyD.F4y2BaGGyD.F4y2Ba(获得)。GyD.F4y2Ba

1.6：集成因子持续速率，aGyD.F4y2Ba整合因素GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba^{-在GyD.F4y2Ba}乘以差分方程，Y'= Ay + Q，给出衍生物GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba^{-在GyD.F4y2Ba}y：准备融合。GyD.F4y2Ba

1.6B：对不同速率的积分因子，a（t）GyD.F4y2Ba不同利率的积分为不断增长的解决方案（银行余额）提供了指数。GyD.F4y2Ba

1.7：物流方程GyD.F4y2Ba当GyD.F4y2Ba-经过GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba减慢成长并使方程式非线性，解决方案接近稳定状态GyD.F4y2Bay (GyD.F4y2Ba∞GyD.F4y2Ba) = a / b。GyD.F4y2Ba

1.7C：稳定状态的稳定性和不稳定性GyD.F4y2Ba稳态解决方案可以是稳定或不万博 尤文图斯稳定的 - 一个简单的测试决定。GyD.F4y2Ba

1.8：可分离方程式GyD.F4y2Ba可分离等式可以通过两个单独的集成来解决，一个GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba另一个GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba．最简单的是GyD.F4y2Bady / dt = yGyD.F4y2Ba,当GyD.F4y2BaDY / Y.GyD.F4y2Ba等于GyD.F4y2BaDT.GyD.F4y2Ba．然后ln（GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba）=GyD.F4y2BaT + C.GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

2.1：二阶方程GyD.F4y2Ba对于没有阻尼的振荡方程，没有迫使，所有解决方案都具有相同的固有频率。万博 尤文图斯GyD.F4y2Ba

2.1B：强制谐波运动GyD.F4y2Ba与强迫GyD.F4y2BaFGyD.F4y2Ba= cos（ωGyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba），特定的解决方案是GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba* cos(ωGyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba）.但如果强制频率等于自然频率存在共振。GyD.F4y2Ba

2.3：未经裁减的潮湿运动GyD.F4y2Ba在微分方程中的恒定系数，基本解决方案是指数万博 尤文图斯GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba^{英石GyD.F4y2Ba}．指数GyD.F4y2BaS.GyD.F4y2Ba解决简单的等式，如GyD.F4y2Ba作为GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba+ b + C = 0GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

2.3C：脉冲响应和步骤响应GyD.F4y2Ba脉冲响应GyD.F4y2BaGGyD.F4y2Ba当力是脉冲（Δ函数）时是解决方案。这也解决了具有非零初始条件的空方程（无力）。GyD.F4y2Ba

2.4：指数响应 - 可能的共振GyD.F4y2Ba当自然频率与从内部和外部的强制频率相等的指数匹配时发生共振。GyD.F4y2Ba

2.4B：具有阻尼的二阶方程GyD.F4y2Ba阻尼强制方程具有特定的解决方案GyD.F4y2BaY = G.GyD.F4y2Bacos（ω.GyD.F4y2Bat -GyD.F4y2Baα）。阻尼比率为NULL解决方案提供了洞察力。万博 尤文图斯GyD.F4y2Ba

2.5：电气网络：电压和电流GyD.F4y2Ba流程周围的电流解决了具有系数的线性方程GyD.F4y2BaL.GyD.F4y2Ba(电感),GyD.F4y2BaR.GyD.F4y2Ba（抵抗），和GyD.F4y2Ba1 / C.GyD.F4y2Ba（GyD.F4y2BaCGyD.F4y2Ba=电容）。GyD.F4y2Ba

2.6：未确定系数的方法GyD.F4y2Ba具有恒定系数和特殊强制术语（权力GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba如余弦/正弦，指数)，特解也有同样的形式。GyD.F4y2Ba

2.6B：未确定系数的方法的一个例子GyD.F4y2Ba这种方法也是成功的力量和解决方案，例如万博 尤文图斯GyD.F4y2Ba（在GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba+ bt + c）eGyD.F4y2Ba^{英石GyD.F4y2Ba}:代入方程求GyD.F4y2BaA，B，CGyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

2.6C：参数的变化GyD.F4y2Ba组合空解决方案万博 尤文图斯GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba_1GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba_2GyD.F4y2Ba与系数GyD.F4y2BaCGyD.F4y2Ba_1GyD.F4y2Ba（t）GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaCGyD.F4y2Ba_2GyD.F4y2Ba（t）GyD.F4y2Ba找到任何特定的解决方案GyD.F4y2Baf（t）。GyD.F4y2Ba

2.7：拉普拉斯变换：第一阶方程GyD.F4y2Ba在线微分方程中将每个术语转换为创建代数问题。然后，您可以将代数解决方案转换回ODE解决方案，GyD.F4y2Bay（t）GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

2.7b:拉普拉斯变换:二阶方程GyD.F4y2Ba第二个衍生物转变为GyD.F4y2BaS.GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba代数问题涉及传递函数GyD.F4y2Ba1 / (GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba+ b + C)。GyD.F4y2Ba

2.7C：拉普拉斯变换和卷积GyD.F4y2Ba当力是脉冲δ时GyD.F4y2Ba（t）GyD.F4y2Ba，脉冲响应是GyD.F4y2Bag (t)GyD.F4y2Ba．当力是GyD.F4y2Baf（t）GyD.F4y2Ba，响应是“卷积”GyD.F4y2BaFGyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaG。GyD.F4y2Ba

3.1：解决方案的图片万博 尤文图斯GyD.F4y2Ba方向场GyD.F4y2Bady / dt = f（t，y）GyD.F4y2Ba有一个斜坡的箭头GyD.F4y2BaFGyD.F4y2Ba在每一点GyD.F4y2BaT，Y.GyD.F4y2Ba．箭头沿着Isocline躺着。GyD.F4y2Ba

3.2：阶段平面图片：源，水槽马鞍GyD.F4y2Ba万博 尤文图斯二阶方程的解决方案可以接近无穷大或零。鞍点包含正面和负指数或特征值。GyD.F4y2Ba

3.2b:相平面图片:螺旋和中心GyD.F4y2Ba具有纯振荡的虚指数在相平面上提供了一个“中心”。这一点GyD.F4y2Ba(y, dy / dt)GyD.F4y2Ba围绕着椭圆形身漫步。GyD.F4y2Ba

3.2C：两个第一阶方程：稳定性GyD.F4y2Ba二阶方程给出了两个第一阶方程GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaDY / DT.GyD.F4y2Ba．矩阵成为伴侣矩阵。GyD.F4y2Ba

3.3:临界点线性化GyD.F4y2Ba临界点是一个恒定的解决方案GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba到微分方程GyD.F4y2Bay'= f（y）GyD.F4y2Ba．附近,GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba，标志GyD.F4y2Badf / dy.GyD.F4y2Ba决定稳定性或不稳定。GyD.F4y2Ba

3.3b：y'= f（y，z）和z'= g（y，z）的线性化GyD.F4y2Ba有两个方程式，一个关键点GyD.F4y2Baf（y，z）GyD.F4y2Ba= 0且GyD.F4y2Bag (Y, Z)GyD.F4y2Ba= 0恒定的溶液附近，两个线性化方程使用2乘2的部万博 尤文图斯分衍生物GyD.F4y2BaFGyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaGGyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

3.3C：特征值和稳定性：2乘2矩阵，aGyD.F4y2Ba两个方程式GyD.F4y2Bay'= ayGyD.F4y2Ba是稳定(解接近零)时的迹万博 尤文图斯GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba是负的，而行列式是正的。GyD.F4y2Ba

3d: 3d的翻滚盒GyD.F4y2Ba一个在空中的盒子可以围绕它的最长和最短的轴旋转。它在中轴附近剧烈地翻滚。GyD.F4y2Ba

5.1：矩阵的列空间，aGyD.F4y2Ba一个GyD.F4y2BamGyD.F4y2Ba经过GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba矩阵GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba拥有GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba列中的列GyD.F4y2BaR.GyD.F4y2Ba^mGyD.F4y2Ba．获取这些列的所有组合Av就得到列空间-的一个子空间GyD.F4y2BaR.GyD.F4y2Ba^mGyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

5.4：独立，基础和维度GyD.F4y2Ba如果它们的组合跨越整个子空间并且是独立的，则V 1至V D是子空间的基础：没有基础载体是其他的基础。Dimension D =基础向量的数量。GyD.F4y2Ba

5.5：线性代数的大图片GyD.F4y2Ba一个矩阵产生4个子空间——列空间、行空间(相同维数)、垂直于所有行的向量空间(零空间)和垂直于所有列的向量空间。GyD.F4y2Ba

图5.6:GyD.F4y2Ba图表有GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba节点连接GyD.F4y2BamGyD.F4y2Ba边缘（其他边缘可能丢失）。这是互联网，大脑，管道系统等的有用模型。GyD.F4y2Ba

5.6B：图的发病矩阵GyD.F4y2Ba的关联矩阵GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba每个边都有一行，包含-1和+1来显示两个节点(两列GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba）通过该边缘连接。GyD.F4y2Ba

6.1：特征值和特征向量GyD.F4y2Ba特征向量GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba乘以矩阵时保持相同的方向（GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba=GyD.F4y2Baλ.GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba）.一个GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2BaXGyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba矩阵有GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba特征值。GyD.F4y2Ba

6.2:对角化矩阵GyD.F4y2Ba如果它具有矩阵可以是对角化的GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba独立的特征向量。对角线矩阵λis的特征值矩阵。GyD.F4y2Ba

6.2B：权力，A ^ n和马尔可夫矩阵GyD.F4y2Ba对角化GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba=GyD.F4y2BaV.GyD.F4y2BaΛGyD.F4y2BaV.GyD.F4y2Ba^-1GyD.F4y2Ba也是对角化GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba^N.GyD.F4y2Ba=GyD.F4y2BaV.GyD.F4y2BaΛGyD.F4y2Ba^N.GyD.F4y2BaV.GyD.F4y2Ba^-1GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

6.3：求解线性系统GyD.F4y2BaD.GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba/ dt = aGyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba包含解决方案万博 尤文图斯GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba= E.GyD.F4y2Ba^{λt.GyD.F4y2Ba}XGyD.F4y2Ba在哪里GyD.F4y2Baλ.GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba是一个特征值/特征向量对GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

6.4:矩阵指数，exp(A*t)GyD.F4y2Ba最短形式的解决方案使用矩阵指数GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba= E.GyD.F4y2Ba^{在GyD.F4y2Ba}yGyD.F4y2Ba（0）GyD.F4y2Ba．矩阵GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba^{在GyD.F4y2Ba}有特征值GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba^{λt.GyD.F4y2Ba}和特征向量的GyD.F4y2Ba一种。GyD.F4y2Ba

6.4b：类似的矩阵，a和b = m ^（ - 1）* a * mGyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaB.GyD.F4y2Ba如果是“类似”GyD.F4y2BaB.GyD.F4y2Ba=GyD.F4y2BamGyD.F4y2Ba^-1GyD.F4y2Ba是GyD.F4y2Ba对于一些矩阵GyD.F4y2BamGyD.F4y2Ba．GyD.F4y2BaB.GyD.F4y2Ba然后有相同的特征值GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

对称矩阵，实特征值，正交特征向量GyD.F4y2Ba对称矩阵都GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba垂直特征向量和GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba真正的特征值。GyD.F4y2Ba

6.5b:二阶方程组，y " +Sy=0GyD.F4y2Ba振荡方程GyD.F4y2BaD.GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2BaY / DT.GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba+ sy =GyD.F4y2Ba0有GyD.F4y2Ba2n.GyD.F4y2Ba万博 尤文图斯解决方案（田间和余弦）。万博 尤文图斯解决方案使用特征向量GyD.F4y2BaS.GyD.F4y2Ba

7.2：正定矩阵，s = a'aGyD.F4y2Ba正定的矩阵S具有正特征值，阳性枢轴，阳性决定簇和正能量V.GyD.F4y2Ba^T.GyD.F4y2Ba每个载体的sv v。s = aGyD.F4y2Ba^T.GyD.F4y2Ba如果A有独立的列，A总是积极的。GyD.F4y2Ba

7.2B：奇异值分解，SVDGyD.F4y2BaSVD分解每个矩阵GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba转化成一个正交矩阵GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba沿对角线矩阵σ（奇异值）倍增另一正交矩阵vGyD.F4y2Ba^T.GyD.F4y2Ba：旋转时间拉伸时间旋转。GyD.F4y2Ba

7.3：边界条件替换初始条件GyD.F4y2Ba二阶方程可以改变它的初始条件GyD.F4y2Bay（0）GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaDY / DT（0）GyD.F4y2Ba到边界条件GyD.F4y2Bay（0）GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaY（1）GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

7.4：拉普拉斯方程GyD.F4y2Ba部分微分方程∂GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2BaU /GyD.F4y2Ba∂GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba+GyD.F4y2Ba∂GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2BaU /GyD.F4y2Ba∂GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba= 0.GyD.F4y2Ba描述圆圈或正方形或任何平面区域内的温度分布。GyD.F4y2Ba

8.1：傅里叶系列GyD.F4y2Ba傅立叶系列分隔定期函数GyD.F4y2BaF (x)GyD.F4y2Ba为所有基函数cos(无穷)的组合GyD.F4y2Banx)GyD.F4y2Ba和罪恶（GyD.F4y2Banx)GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

8.1b：傅立叶系列的例子GyD.F4y2Ba甚至功能均仅使用余弦（GyD.F4y2BaF (- x) = F (x)GyD.F4y2Ba）奇数函数仅使用凸丝。系数GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba_N.GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaB.GyD.F4y2Ba_N.GyD.F4y2Ba来自整体的GyD.F4y2BaF (x)GyD.F4y2Bacos (GyD.F4y2BaNX.GyD.F4y2Ba),GyD.F4y2BaF (x)GyD.F4y2Ba罪（GyD.F4y2BaNX.GyD.F4y2Ba）.GyD.F4y2Ba

8.1c:拉普拉斯方程的傅里叶级数解GyD.F4y2Ba在一个圆圈内，解决方案GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba（GyD.F4y2BaR.GyD.F4y2Ba，θ）结合GyD.F4y2BaR.GyD.F4y2Ba^N.GyD.F4y2Bacos (GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Baθ）和GyD.F4y2BaR.GyD.F4y2Ba^N.GyD.F4y2Ba罪（GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Baθ）。边界解决方案结合了傅立叶系列中的所有条目以匹配边界条件。GyD.F4y2Ba

8.3：热方程GyD.F4y2Ba热方程∂GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba/∂GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba=∂GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba/∂GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba从温度分布开始GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba在GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba= 0并跟随它GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba> 0，因为它很快变得平滑。GyD.F4y2Ba

8.4：波浪方程GyD.F4y2Ba波动方程∂GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba/∂GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba=∂GyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba/∂GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba^2GyD.F4y2Ba展示了波浪是如何沿着GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba轴，从波形开始GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba（0）及其速度∂GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba/∂GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba（0）。GyD.F4y2Ba