从系列:微分方程和线性代数
马萨诸塞州理工学院吉尔伯特斯特朗(麻省理工学院)
单位阶跃函数从0跳到1。它的斜率是一个函数:处处为零,除了跳跃处为无穷大。
这个视频讲的是两个简洁的函数,阶跃函数及其导数函数。如果我向你们介绍这些函数并且告诉你们它们是微分方程的很自然的输入。它们在现实生活中经常发生。所以我们需要理解如何计算这些公式并用它们计算。
第一个是阶跃函数,我把它命名为h它的发明者是一个叫Heaviside的工程师,从h开始,我把阶跃函数的公式写下来。当t为负时,H (t)等于0当t大于等于0时,H (t)等于1。好的。这就是阶跃函数。它只有两个值,并且有一个跳转。你也可以说是跳跃函数。跳跃函数,步进函数。好吧。
并注意我也绘制了移位的步骤功能。如果我从t跳0跳到0,到t minus t?如果我输入了一些固定的数字t作为变量,那么跳跃就会发生跳跃。因此,当这是0时,跳跃会发生跳跃。逐步函数跳跃,这是0的0.并且在t等于t时0。所以在虚线中跳跃。所以移位的步函数将移交。这是从T到T减去首都T改变的完全效果,只是为了通过Capital T. OK转移整个东西。因此,您将注意到您的眼睛在标准阶跃函数上,这在T等于0时跳跃。它跳过1.并采取衍生物。
这个阶跃函数的导数是什么?函数在这里是0,所以导数是0。函数在这里是常数,所以导数还是0。在这一点上,一切都发生了。这就是函数。函数在0点开始运动,在0点继续运动,但是在t点0点,整个东西爆炸了。导数是无穷大。这里斜率是无穷大。“无穷”这个词并不足以精确地告诉你到底发生了什么。
所以我们没有真的 - Delta函数的这个图表并不完全令人满意。这对于所有不感兴趣的无聊部分是完美的。但是在真理的时刻,当一个瞬间发生的事情时,我们需要多说。我们需要多说,而不仅仅是它的无限。并且再次,如果它转移,那么无限斜率会在T等于首都T.所以刚刚转移过。那就是那里的三角洲功能。所以这就是我会使用的。
如果这是我微分方程中的源术语,那将是什么意思?如果这是在不同时间反映输入的微分方程中的Q的Q,则该功能会说除了一个时刻,除了一个时刻,首都T.在那个时刻,您将在一瞬间放置1。并记住,否则T的Q是一个连续输入。每年每年投入1.00美元。这一刻在一瞬间为1.00美元。但当然,你看到这真的是我们所做的。所以,你看到这是我们需要在瞬间做事的函数。
就像我举的高尔夫球棒打高尔夫球的例子一样,还没到0点。但是它非常接近于0,所以两者是相连的。然后球就起飞了。所以一个简单的模型,一个可行的模型是用一个函数在0时间内发生。所以我想用函数。它们并不难使用。它们只是不太适合微积分因为阶跃函数的导数在跳跃时不太合理。
好的。但是你能做什么,正常正常的微积分是集成的。整合往往会使事情更顺畅。Delta函数 - 抱歉,阶梯函数是Delta函数的积分。正确的?我们正朝着相反的方向。我们采取衍生品,我们得到了疯狂。如果我们拍摄积分从达特拉 - 所以Delta的积分是阶梯函数。这真的是你如何知道三角洲功能。这是一个比这个箭头更重要的数学方式,它只是从Delta函数正在做的事情上发射。
函数的关键性质是知道它的积分是什么。函数的积分是总的存款除以,时间可以从负无穷处开始,也可以一直到正无穷。这就是总存款,总输入来自于这个源项(t)答案是什么?对的积分应该是阶跃函数。在无穷远处的阶跃函数是1。回到负无穷,它是0。你明白我在说什么吗?
这将是在T等于减去无限远距离和无限远之间进行评估的h,因为这些是集成的极限。我得到了什么?在Plus Infinity阶段函数是1.这是0.所以我得到1.每个人都赶到了那个关键事实,即Delta函数的总积分是1.再次,你只在一个时刻押金,但是存款是一美元。而且,加入所有存款只是1.00美元。
所以,这是Delta函数的积分。现在,使用Delta函数,我需要为您提供略有的概括。所以我所说,Delta职能真的是众所周知的 - 我们不喜欢采取他们的衍生品。delta函数的衍生物是一个真正的疯狂功能。它射击到无穷大,然后它射击减去无限,该箭头的斜率。但这是我们想要的积分。
所以现在让我从减号无限到Infinity我的delta函数时代任何其他功能,说f的t dt。这是我们需要计算的东西。什么是正确的积分?再次,Delta在T等于0的一瞬间做了一切0.在那一刻T等于0,当时T为0时,这是任何动作发生的唯一一个动作的地方,它是f的0。它是什么值它在那点t等于0.这是答案。f 0。
因此,如果T的F的常量函数1,那么我们就会回到那里的一体化。如果这只是1,我整合了T的Delta。我的功能是1,我得到1.但如果该函数是,假设函数是正弦的t。Time Sine T DT的三角洲的积分是什么?好吧,正如Delta函数随时打开的那一刻,正弦T恰好消失,所以T Sine T的三角形的积分为0为0.你有一个术语打开,但是其他术语关闭。所以没有完全发生过。
而te ^ (t)的积分,告诉我这个。te ^ (t) dt的积分是e ^ (t)一直在做各种事情。但是函数一直是0,除了t = 0。所以te ^ (t) dt的积分是1因为在t = 0的时刻,唯一重要的时刻是e ^ (t)函数是e ^(0)它就是1。
让我询问你另一个例子。减去无穷大的积分 - 达到无限的Infinity--让我使用转移的三角形e to t dt。你可以计算那个积分。再次,这个功能几乎一直是0。禁止冲动的唯一时间,冲动击中的那一刻等于首都T.在那一刻,这相当于E到首都T的e。这就是重要的。好的。
所以现在,让我在差分方程中使用Delta函数作为源术语。所以我们最后一次看到一个 - 我仍然称之为一个漂亮的功能,即使它根本没有合法的功能,那么Delta也是如此。但是让我解决方程式DT等于AY Plus,Carta函数在首都T上打开并让我从0开始。所以我没有初步存款到我的帐户。我根本没有押金,除了在一个瞬间的契约之上,在那一刻,我存入了1.00美元,因为三角洲 - 这是单位三角洲。如果我存入10美元,我会制作10个三角洲。
好的。所以我们知道解决方案是什么,押金在一次押金中,它是一个等于首都T.的解决方案是什么?y的t,我们有0到t等于t.没有发生任何事情。在首都t时刻t,1.00美元,它的增长。它的增长使得它在剩下的时间e上生长到t减去资本t.这对于大于或等于我可以说的t。当T和Capital T等于时,这是0的0.这是我们的1.00美元刚刚进入。
当T减去首都T是一年后,我们的美元值得e。当T减去资本T时,当它已经在那里一年时,1.00美元增加到 - 嗯,这是如果利率为100%,你可能会感受到。你很幸运能得到它。但是让我们假设你这样做。在100%的兴趣下,一年后,你可能会说,好吧,我的钱刚加倍,因为我的利息等于原来。所以我得到了两倍。但不是真的,因为这笔钱进来了 - 正在增长。正在加入兴趣,通过全年进行复合,以便在一年后,从1开始,您可以获得100%。
哦好的。我的公式在这里不正确,因为我有一个这里,它属于这里。所以让我解决这个问题。这是一个减去t.这是增长因素。这是从早期的时间首都T开始的时间t的增长因素,所以你看到我们能够写下差分方程的解决方案,即使它完全是新的或不同的或非标准输入。
阶跃函数输入 - 所以我们在这里找到了脉冲响应。这是工程中的一个非常非常重要的概念,脉冲响应,对冲动的反应。并且对于二阶微分方程,这将是 - 它真的是该主题的重要功能。所以这是对冲动的回应。这是我们一直在处理的标准一阶方程中的脉冲响应。
现在我们只需要记住还有一个线性步骤就是允许利率变化。这是一讲,下一讲。然后我们得到非线性方程。这就是接下来要讲的。但这是脉冲函数第一次,不是最后一次。谢谢你!
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