从系列:gydF4y2Ba微分方程和线性代数gydF4y2Ba
马萨诸塞州理工学院吉尔伯特斯特朗(麻省理工学院)gydF4y2Ba
一个矩阵产生4个子空间——列空间、行空间(相同维数)、垂直于所有行的向量空间(零空间)和垂直于所有列的向量空间。gydF4y2Ba
我希望你能看到线性代数的大图片。在这套视频中,我们没有在做这组视频中,是线性代数的全部课程。这已经是Opencourseware 1806.现在我专注于微分方程,但你可以通过这种方式看到线性代数。gydF4y2Ba
这种方式意味着子空间。大图中有四个。之前的视频描述了列空间和零空间。现在,我们又有两个,就是四个。让我看看这个矩阵——它是针对子空间的——把它们放到大图中。gydF4y2Ba
我要看的第一个空间是行空间。行空间有这些行,有向量和向量,这两个向量,以及它们所有的组合。这是线性代数的关键思想,线性组合。所以1,2,3是三维空间中的一个向量。4 5 6是另一个。gydF4y2Ba
现在,如果我取它们所有的组合,你能想象如果我有两个向量,我把它们相加,我得到另一个在同一个平面上的向量吗?或者如果我减去它们,仍然在那个平面上。或者如果我用一个的5个和另一个的3个,我仍然在那个飞机上。我把所有的组合都填满了这个平面。行空间,我能试着画个图吗?gydF4y2Ba
这是一架飞机。这是行空间。我会刚刚换。并且在该平面上是矢量1,2,3和矢量4,5,6,这两排。飞机填补了我们的组合。好吧,我无法在这个麻省理工学院黑板上画一个无限的飞机。但你明白了。这是一架飞机。我们坐在三个方面。gydF4y2Ba
现在,还有更多。我们只有一个——一个平面,一个平面,像桌面,延伸到无穷远,但没有填满3D,因为我们有另一个方向。另一个方向是零空间。这是件好事。gydF4y2Ba
所以我想知道该矩阵的空白区域。我想解决这个空的空间,一个 - 我解决了AV等于所有0。所以这三列的一些组合将给我0列。让我把它写成0列。gydF4y2Ba
v可能是什么?哪一列,哪一列,哪一列的组合是0,0 ?现在,我知道有一些有趣的组合,因为我,只等于两个方程,三个未知数,v1 v2 v3。我要把这个乘以v1,这个乘以v2,这个乘以v3。所以我有三个未知数,但我只需要得到两个0,两个方程。gydF4y2Ba
如果我有三个未知数和两个方程,就会有很多解。万博 尤文图斯我能看到一个。你们看到了吗,如果我把这两个相加,就得到,这是一样的,等于2乘以。gydF4y2Ba
换句话说,我相信V等于 - 如果我拍摄第三个和第一个中的1个,如果我减去第二列中的2个 - 所以AV将给我第一个第三列的第一列1然后,第二列的减去2将给我0,0.所以这是我空的空间。我的空空格在此方向上朝着1,减去2,1的方向向上抬头。gydF4y2Ba
但是,当然,我通过将v乘以任意数得到更多的解。万博 尤文图斯10乘以这个向量仍然是0仍然在零空间。所以我有——零空间是一条由向量组成的直线。它是这个向量和这个向量的任意倍数。这是一条无限长的直线,是一维子空间,即零空间。gydF4y2Ba
所以图中的零空间,这是零空间。它不是很粗,因为它只是一条线。我把这条线叫做N (A)你看,我试图画一个三维空间。这条线是双向的。但它垂直于平面。这是最精彩的部分。这是美妙的。gydF4y2Ba
这条线,这个零空间,垂直于这个平面,这个行空间。你想知道为什么吗?你想亲眼看看吗?因为如果我取av,它将是,1 2 3,乘以v,它垂直于它。如何检验两个向量的垂直性?1 2 3点积。点积是1 * 1,减去2 * 2,等于4,加上3 * 1,等于3。1 - 4 + 3等于0。同理,4 - 10 + 6 = 0。gydF4y2Ba
这是一个直角。这是一个直角,在这两个子空间之间是90度。同样,在这个例子中,一个空间是二维的,一个平面。另一个空间是一维的,一条垂直线。我可以用我的手展示,但我不能在这个平坦的黑板上画。平面的方向是无穷远的,直线与平面垂直,相交于,0向量处。gydF4y2Ba
这就解出了Av = 0,它也是一个组合,一个0行的组合。这是整个图的一半,行空间和零空间。gydF4y2Ba
现在,我已经准备好另一半了,也就是另一半的另一边——大图的右手边首先包含了列空间。那么这个矩阵的列空间是什么?gydF4y2Ba
因此,矩阵的列空间,我们采取了这三列的所有组合。这将填补一个空间。现在,我有 - 所以我采取了向量1,4.我拿到了矢量2,5,也许在那里。然后我也要拿到矢量3,6.好吧,我有三列。所以我算了3,上升6.好。gydF4y2Ba
用这些向量的组合,你会得到什么?这是二维空间的图像因为这些列是二维的,1,4;2、5;3、6。当我取1 4和2 5的组合时,它们在不同的方向上。这些组合已经给出了整个二维空间,所以列空间就是整个空间,包括,因为我可以取0(1)加上0(另一个向量)gydF4y2Ba
第三列不能提供任何新内容。它位于列空间中。这是两者的结合。但前两个是独立的。它们的组合给出了整个平面。列空间就是整个平面。列空间。gydF4y2Ba
我们的第四个子空间没有多少空间。但第四个子空间,在这个例子中,很小。然后让我告诉你第四个子空间。所以我们知道A中的空白空间,我们知道A的列空间,A. null空格在这张照片中。列空间在该图片中。gydF4y2Ba
行空间的名字是什么?如果我转置矩阵,行空间变成列空间。把矩阵A转置的行变换为列。通过转置一个矩阵,它把这两行变成了两列。这就是我在这里得到的。gydF4y2Ba
行空间是——这是转置矩阵的列空间。我喜欢它。我不想为行空间引入一个新的字母。我喜欢只有列空间和零空间。我可以求A '现在,第四个是什么?gydF4y2Ba
只是因为美观,这里的一般原则。如果我有A的列空间和零空间,如果我有A转置的列空间,第四项必须是A转置的零空间。抱歉,我写得太小了。但是我把这个写大了一点。gydF4y2Ba
A转置的零空间,所有解这个方程的w。A转置w等于0。A转置的零空间就是解这个方程的所有w。这个方程是什么样的?哈!这个方程,A转置有两列。那么A转置,这是第一列的w1。1 2 3,当我转置。第二列的w2 = 0,0,0。gydF4y2Ba
现在我得到了,对于这个零空间,因为矩阵是2 × 3的,对于第四子空间,我有三个方程,只有两个未知数,w1和w2。事实上,唯一的解是w1 = 0 w2 = 0,万博 尤文图斯因为这是唯一的方法,这是这个向量和那个向量的唯一的组合使我得到0的方法就是对这个取0,对那个取0。gydF4y2Ba
看到了吗,在这个例子中,A转置的零空间就是,A转置的零空间,就是我所说的0子空间。这个子空间只有一个很小的向量,0向量。但是没关系。它遵循子空间的规则。它完成了4个子空间的图。gydF4y2Ba
在其他例子中,我们可以让所有的四个子空间都是非零的。但是这里有两个,一起,构成了整个N维空间。而在这里,我们有两个,它们一起构成了整个M维空间。这里,对于这个矩阵,M = 2,这样就完成了。在这种情况下,列空间就是R2。gydF4y2Ba
所有的二维空间都是列空间,这没有给左零空间留下任何空间,也就是A转置的零空间。你们看到那张照片了吗?让我们用一块干净的黑板再画一遍。gydF4y2Ba
所以我有行空间。让我绘制它可能会以这种方式,行空间。并且垂直于零空格。那是在 - 我们在这里的n尺寸,它们是垂直的,那些空间。gydF4y2Ba
然后,在这里,我有列空间。垂直于它的是左零空间。这里是M维空间。这就是我们的4个子空间。它们在N维空间中,有两个在M维空间中,相互垂直。我可以告诉你们它们的尺寸。gydF4y2Ba
因此,在该示例中,该行空间是二维。这是一架飞机。一般而言,维度等于 - 让我们说R.这是一个重要的数字,A的等级是一个钥匙。也许,我最好对矩阵的等级分开说话。但我会在这里完成这个想法。gydF4y2Ba
行空间的维数是独立行数。我称这个数字为r,美妙之处在于它的维度是相同的。维数也是r的秩,我能用一句话来表达这个美妙的事实吗?列空间和行空间有相同的维数。gydF4y2Ba
独立行数等于独立列数。这对于一个巨大的矩阵来说是个奇迹,比如57 × 212,可能有40行独立的行。然后有40个独立的列。然后零空间和左零空间有剩下的维数。零空间的维数是N - R因为,它们总共有维数是N。gydF4y2Ba
这个有M - R的维数,因为它们一起有M的维数,这是画出来的图。我再单独讲一讲维数的概念。谢谢你!gydF4y2Ba