微分方程和线性代数,7.2:正定矩阵,S =“*
从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特-斯特朗,麻省理工学院(MIT)
正定矩阵S有积极特征值,积极的轴心,积极的因素,正能量vT为每个向量v . S = SvT一个总是正定如果有独立的列。
好的。这是正定矩阵的一天。
我们的应用程序是对称矩阵的二阶方程,我们解决了这个方程。二阶导数,+ S * y = 0。
你也许还记得我们解决了它。我们寻找一个指数的解决方案。e Iωt,乘以一个向量x。我们替换,我们发现x是一个特征向量的年代,像往常一样。和λω的平方,是特征值。
但是我没有停止指出,如果我们想要λω的平方,我们需要知道λ大于或等于0。这是最好的最好的矩阵。对称、正定或半正定,这意味着特征值不仅是真实的,他们是真正的为对称矩阵。他们也积极的。正定矩阵——自动对称的,我只谈论对称矩阵,和积极的特征值。
好的。在这里。正定矩阵。所有的特征值都是积极的。半正定。这个词半允许λ等于0。矩阵奇异,但所有的特征值必须大于或等于0。
让我告诉你这些矩阵是从哪里来的。这些矩阵来自A '如果我采取任何矩阵A,可以是矩形。和转置一个广场。' A会是对称的。它将至少半正定。这是为什么呢?
这是值得记住的简单的步骤。有什么特殊的转置一个x x =λ?的好主意吗?两边同时乘以x转置。带着双方的内积x。然后我有x '左边,右边是x '。
我很好与方程2。当我的年代是一个' A,这是我的美国好。
但现在我看这个。这是一个x在产品本身。这是一个x²的长度。任何时候我转置y,我得到y²的长度。y是一个x,所以我得到x²的长度。在这里,y = x,所以我得到x的长度的平方。
你看到λ数量,在这个方程中,我有许多不能负的。积极的,肯定的。因为x不是0。所以λ从来不是负的。
一个x可以是0。如果我们在一个单一的情况下,x可以是0。在这种情况下,我只会学习λ= 0,我会在这半定的情况。
如果我想从半定定,然后我必须排除x = 0。因为这是一种可能性。如果我把0矩阵,0,作为、转置0矩阵。这将是对称的。所有的特征值是0。
是半正定吗?是的。是的。所有的特征值是0。当然,这不是我们真正思考。我们经常在这种良好的情况下,所有的特征值高于0。
好的。这就是意义。现在,下一份工作。我们如何认出一个正定矩阵吗?它必须是对称的。这很容易理解。
但是我们如何判断其特征值是正?不好玩,因为计算特征值是一个大的工作。对于一个大型矩阵,我们需要时间。我们不知道如何去做。现在有很好的方法,但这不是纸和笔,而不是我。
所以我们如何能告诉所有的特征值是积极的吗?我们只是想知道他们的迹象。我们不需要知道它们是什么。我们不知道我们需要的数量,我们想知道的是一个正数。
和有几个简洁的测试。我可以告诉你吗?我要有5个测试。五个相同的测试。这些测试中的任何一个就足以使矩阵正定。
有一个特定的年代,我将使用一个测试矩阵。这是一个对称矩阵s和我知道它是正定。但是我怎么知道呢?
好的。好。所以你能把五件事吗?他们连接所有线性代数。真的很漂亮。的特征值,是线性代数的一章。线性代数的轴心是另一个章。
你还记得枢轴点呢?当你取消。所以4是第一主。第一个主。主1号是4。
然后当我多个,我得到了第二个主。我看到这是积极的。所以那是什么?也许我拿走1又1/2。我乘以1又1/2,6,9。减去6 10。所以我得到1。
所以主2号是1。对吧?6 9离开6 10让我0,1。
好的。这个测试通过了主。注意到我并没有计算特征值。我只是做其他测试。
现在还有一个漂亮的测试。它涉及到决定因素。现在,我不得不说上。左上角。左上角因素大于0。
是什么意思一个左上角行列式?我看我的矩阵。这是一个1×1行列式。当然积极。行列式是4。
这是一个2×2的行列式。行列式是40 - 36,又碰巧4。所以矩阵的行列式是4。
但是我也需要的。我不能找到整个矩阵的行列式。这是这个测试的最后一部分,但是我得做所有其他人当我到达那里。
它通过测试。检查。它的工作原理。因此,测试通过。我做的比我需要做更多的工作,因为一个测试会做这份工作。
现在来了另一个。S是一个转置答:这就是我们看着一分钟前。如果S这种形式' A。
哦,我们说服自己什么?我们说这是确定半定。我需要一些条件,以避免x = 0。x = 0的可能性。
我只会带下来。你还记得我们开始这里,最终。如果x是0然后λ0。我们在半定的情况。所以我必须避免。
所以我不得不说当一个独立的列。我想我可能因素矩阵S A '我确定我可以。并获得独立的列。它会通过测试4。
我想继续测试5。实际上,在某种程度上,是定义,最好的定义,正定。所以如果我把5号,它的能量定义。所以我可以告诉你这是什么意思吗?
我的意思是,x ' Sx。如果我把我测试正定矩阵S,我右边乘以任何向量x, x,左边的x转置。好吧,我得到一个号码。S是一个矩阵。Sx是一个矢量。向量的内积。我得到一个数字。和这个数字应该积极的对所有的x。
哦,我必须做出一个例外。如果x是0,那么当然答案是0。所有x 0除外。
好的。所以这将是一个方法,另一个测试。这是在应用程序与能源有关。所以我称之为能量测试,或真正的能量定义,正定。x Sx转置。
我想申请测试。所以你会看到这是什么意思。现在我们看所有x这个特殊的例子。
但我不会扔掉这个板。你看到特征值,枢轴点,决定因素,转置,和精力。真的将所有的线性代数。
A '我们将会看到越来越多。在最小二乘。
如果我有一个通用矩阵a,甚至不是广场。它没有伟大的属性。但是当我计算一个' A,然后得到一个对称矩阵。现在我也知道半正定。和一点正定矩阵。好的。
顺便说一下,有五个半正定矩阵的测试吗?是的。有5个类似的测试。所有特征值大于或等于0。所有枢轴点大于或等于0。我可以沿着这就允许带来半定的疑似病例。我不会这样做。
让我带我的小矩阵s,示例矩阵。并应用能量测试。好的。所以我看着能量。
所以我在看x。x1, x2,矩阵乘以4,6,6,10,乘以(x1, x2)。这就是能量。这是我的x ' Sx。
x Sx转置。这是我们想要计算的吗?是的。x Sx转置。
现在,我可以计算吗?是的。这是一个矩阵乘法。任何神奇之处。但是当我做的,我将向您展示的捷径。
当我这样做,会出现4 x1,乘以那边的x1。我将得到一个4 x1的平方。然后我将有一个6 x2相乘,x1。所以有一个6 (x1, x2)。
现在从这个。这是第一个组件。现在我有6个10 x1和x2。乘以一个x2。嗯,这是另一个6 (x1, x2)。10,我们将用x2和x2。x2的平方。
我很快。但结果是容易看到。4、6、6、10出现在广场上。对角线4和10出现在广场上。和对角线6翻倍至12日(x1, x2),出现在交叉项。
好的。现在为什么——这是一个数量为每个x1和x2。假设x1是1和x2是1。然后我得到的号码是4 + 6 + 6,+ 10。这可能是26岁。它是正的。
如果x1是1——让我来试试这个。x1是1和x2是- 1。我还得到一个正能量吗?所以向量是1 - 1。所以我得到4。现在,因为,我有- 6和- 6和10,从x2的平方。这是14 - 12。这是2。它是正的。
我测试了两个向量。我测试了1,1向量和1 - 1的向量。但是你必须知道每一个向量x,这是积极的。我可以告诉你,所谓的配方。这不是我计划做什么。
但是我们现在理解的美是这种能量测试。意味着什么x变换Sx,写出来,问问总是正的。它总是积极吗?
好的。这是第五,5号、测试。但我认为这真的是定义。这意味着,我可以画一幅画吗?
这是x1。这是x2。现在我要去,这是我的函数。x ' A x。我的能量。
如果我图,我有一个x和一个y和z的函数。,x和y的函数。它有什么样的图?x1和x2 0时,它的存在。x1和x2远离0时,它会积极的。这图是这样的。这是一个碗。我有一个最小值。
微积分中衍生品的主要应用之一是找到最低的测试,并决定最小值或最大值。最小值或最大值。还记得二阶导数决定最小值或最大值。积极的二阶导数,最低。负二阶导数,最大值。它告诉你关于曲线的弯曲。
好吧,我们现在在二维空间中,两个变量的函数。这是多变量微积分。所以变成积极的二阶导数,变成正定矩阵。一个矩阵的二阶导数。这是整个优化的主题。最大化,最小化,在这里。
好的。这是新的一天。
我只是想告诉你一件事关于正定矩阵。我有一本书在邮件这可能是很有价值的。有点平装书,书名是常见问题在采访中对金融数学。
做一个量化。华尔街。致富。所以他们不会给你所有的钱。他们让你证明你知道吗。
所以他们问一些数学问题。第一个问题是,我很高兴看到这一点。第一个问题问,这个矩阵正定是什么时候?
好的。你能看到这个矩阵吗?1是对角线上。这些都是相关性。这是一个相关矩阵。这就是为什么在金融领域是很重要的。
可能是三个关联的债券,股票,外汇。所以每一个关联本身完全相关的1。但会有一个债券和股票之间的相关性在一起,但不是完美的结合在一起,通过一些。与一些b。债券和外汇股票和外汇,一些c。这就是矩阵的相关性。关键的一点是,它是正定的。
所以问题当你去华尔街申请这笔钱。如果你问什么是测试在这些数字,b, c,正定,适当的相关矩阵?我建议行列式测试。
行列式测试,如果我得到一个小矩阵,我就决定因素。所以,行列式是1。没有问题。
这个行列式,2×2的决定因素是什么?1 - a的平方。所以1 - a的平方是正的。我在做行列式测试。
3×3的决定因素是什么?1从对角线。我有一个acb acb。我认为我有两个acb来自三个方面。
现在,这些条款有加号。现在我有一个负号,最好不要太大。这是正定矩阵的全部意义。对角线是不允许被对角线。对角线应该是最大的数字。
好的。我看到一个方必须低于1。但是现在行列式测试是什么?我认为这是比我从这个方向,这是一个b方,和c的平方,一平方。噢,看这个。一个平方,平方,b和c的平方。这将是答案。
第一个测试。第二次测试。简单的测试仅仅是1,是积极的。所以,这就是他们所要找的。这将是测试,这些数字。所以abc不能太大或将失败。好。
所以正定矩阵有很多应用程序。这是最低。这是关联矩阵和金融。许多其他的地方。
我来降低5测试。特征值、轴心、决定因素、转置,和精力。我将就此止步。谢谢你!
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