好的。这是一个关于对称矩阵和复矩阵的预备视频。我们会在二阶微分方程组中看到对称矩阵。
对称矩阵是最好的。它们有特殊的性质,我们想看看特征值和特征向量的特殊性质是什么?我想这节课的题目会告诉你们这些性质是什么。如果一个矩阵是对称的——我用大写S表示对称矩阵——第一点是特征值是实数,这不是自动的。但如果矩阵是对称的,它总是成立的。第二点,更特殊的一点特征向量是互相垂直的。不同特征值对应的不同特征向量是垂直的。这些都是很漂亮的属性。他们偿还。
这就是对称矩阵,这就是我刚才说的,实λ,正交x。
我们也可以看看反对称矩阵。转置就是减去这个矩阵。在这种情况下,我们没有实特征值。事实上,我们肯定有纯的虚特征值。I乘以虚轴上的某个数。
但是同样,特征向量是正交的。然而,它们也将是复杂的。当我们有反对称矩阵时,我们要考虑复数。没办法,就算这个矩阵是真的。
最后是正交矩阵族。这些矩阵的特征值大小是1,可能是复数。但是这个数的大小是1。再说一次,特征向量是正交的。这是特征值的实圆,虚圆和单位圆的大家庭。
好的。我想举个例子。我只举一个例子。
这是一个对称矩阵。有一个反对称矩阵。如果我转置它,它改变了符号。这是一个组合,不对称,也不反对称,但仍然是一个很好的矩阵。这是一个正交矩阵,正交列。这些列的长度是1。这就是为什么我把根号2写在这里。
这些是特殊的矩阵。我可以画一个复平面吗?这是实轴。这是虚轴。这是单位圆,不是很大的圆,但很接近。
当S转置等于S时,特征值在实轴上。当A转置等于负A时,特征值在虚轴上。当Q转置为恒等式时,特征值在单位圆上。在这种情况下,Q转置为Q逆。这里转置为矩阵。这里转置为负矩阵。你看特征值的美丽图片,它们在哪里。所有这些的特征向量都是正交的。让我来找到它们。
这里,对称矩阵的λ为2和4。轨迹为6。行列式为8。这是正确答案。λ等于2和4。x为1,2为负1。对于4,它为1和1。
正交的。正交特征向量,取它们的点积,你得到0和实特征值。
一个呢?反对称。方程I,当我做- A的行列式时,我得到²+ 1 = 0。这就得到²+ 1 = 0。就得到是i和- i,在虚轴上。我猜这个矩阵也是一个正交矩阵。这些特征值,i和- i,也在圆上。所以A也是q。
它的特征向量是什么?我认为特征向量是1 I和1 - I,哦。这些都是正交的。我要讲复向量的正交性。让我来完成这些例子。
那么这个的特征值呢?这很简单。你能把它和A联系起来吗?B就是A + 3乘以单位矩阵,把3放到对角线上。所以我期望这里是,如果这里是I和- I,我所做的就是加上3乘以单位矩阵,所以我只是加上3。移动3个单位。我有3 + I和3 - I,同样的特征向量。
这是一个复数。这个矩阵不是完全反对称的。它不是完全对称的。得到3 + i不在坐标轴上,也不在这个坐标轴上,也不在这个圆上。这里,3 + i和3 - i。
最后,这一个,正交矩阵。它的特征值是什么?让我们看看。我可以看到-,这里我加了1倍的恒等式,只是把恒等式加上了负1,1加上恒等式。所以我从矩阵中得到了1加I和1减I。现在我得到了2,平方根的平方根的除法对于2,这些数字λ-,你知道当你看到这个数字时,它在单位圆上。它在单位圆上的什么地方?1加i,1加i除以2的平方根。2的平方根把它带到那里。这里是1。这里是i。除以2的平方根。这把我们放在圆上。这是1加i除以2的平方根。这里是1加i,2的平方根上的1减i。复共轭。
当我说共轭复数时,意思是我把每个I变成a - I,我翻转实轴。我马上就想这么做。
那么,这些例子还有什么值得借鉴的地方吗?实特征值和实特征向量,没问题。在这里,想象的特征值。在这里,复杂的特征值。这里是圆上的复特征值。在循环。好的。我刚才说的关于特征值的位置的每一个事实-它有一个简短的证明,但也许我不会在这里给出证明。而是你想记住的事实。
我能再讲一下这些主要事实吗?实的,从对称的-虚的,从反对称的-量值1,从正交的。好的。
现在我觉得我在谈论复数,我真的应该说-,我应该注意它。复数。所以我把λ作为+ib。
这个数字的“大小”是什么意思?λ的大小是a加ib吗?再一次,我沿着a,向上b。这是λ,复数。我想知道它的长度。每个人都知道它的长度。谢天谢地,毕达哥拉斯活了,或者他的团队活了。它是a平方加b平方的平方根。
注意这是什么-,我如何从这个数中得到这个数?这很重要。如果我把a+ib乘以a+ib-,那么我有λ-,这是一个+ib-,乘以λ共轭-,这是一个-ib-,如果我把它们相乘,得到一个平方加b平方。所以我取平方根,这就是我所说的λ的“量值”。
所以一个数的大小就是正的长度。它可以被找到,用复数乘以它的共轭。得到a方+ b方,然后开根号。关于复数的基本事实。
好的。那么复向量呢?点积是什么?正确的x转置x是什么?它不是x转置x,假设x是向量1i,就像我们看到的特征向量一样。这个向量的长度是多少?这个向量的长度不是1的平方加上i的平方。1的平方加上I的平方等于1加上- 1等于0。
向量的长度是这个平方的大小加上这个平方的大小,平方根。现在我们开始。x平方的长度-,向量平方的长度-,将是向量。和往常一样,我可以从点积中找到它。但是我必须取它的共轭。如果我想要x的长度,我必须取-,我通常会取x transpose x,对吗?如果我有一个实向量x,那么我找到它的点积,毕达哥拉斯告诉我长度是平方的。
但如果是复数,我想要- I乘以I,我想要乘以。我想要一个正数。i乘以i等于+ 1。i乘以i等于+ 1。所以我必须这么做。
这就是“正交”的真正含义。"正交复向量"的意思是"正交向量"的意思是x的共轭转置y等于0。这就是我所说的正交特征向量当这些特征向量是复数时。我必须记住取共轭复数。我也对矩阵这样做。
如果我有一个对称矩阵,S转置S,我知道这是什么意思。但假设S是复数。假设S是复数。然后对于一个复矩阵,我将考虑S拔转置等于S。
每次转置,如果有复数,就应该取共轭复数。MATLAB会自动做到这一点。如果你问x '它会产生,不仅仅是它会把一列变成一行用这个转置,这个'。它会取共轭复数。
所以我们必须记住要一直这样做。是的。事实上,如果S是一个复矩阵,但它有那个属性——让我举个例子。这里是一个S,一个例子。1,2,i,和负i。所以我有一个复矩阵。如果我转置它并取复共轭,这就把我带回到S。这叫做“厄米矩阵”在其他可能的名字中。
埃尔米特是一位重要的数学家。他研究了这个复数的情况,他知道取共轭和转置。有时我会把它写成SH来纪念他。如果我想用一个符号来表示,SH,在工程学中,有时S带个星号告诉我,当你转置一个矩阵时,取共轭。
这就是主要的事实,让我把这些主要的事实再写下来正交特征向量和特征值的位置。
现在我准备解微分方程了。谢谢你!
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