从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院(MIT)
两个方程y ' =唉是稳定(解接近零)时的迹万博 尤文图斯一个是负的,而行列式是正的。
这是一个很好的时间来做2 × 2矩阵,它们的特征值,和它们的稳定性。两个特征值是最容易做的,最容易理解的。很好地把2 × 2的情况从后面的n × n特征值问题中分离出来。
当然,让我记住特征值和特征向量的基本法则。我们在找一个向量x,和一个数字,特征值,所以Ax是x,换句话说,当我乘以a,这个特殊的向量x不会改变方向。
它只是改变了一个因子长度,可以是正的。它可以是零。可能是负面的。可以是复数。不过,这是一个数字。这就是关键方程。
让我走向它的解决方案。所以我想把它移到左手边。所以我只是以这种方式写下相同的等式。现在我看到了矢量给我0的矩阵时间。
什么时候可以呢?这个矩阵不可能可逆。如果它是可逆的,唯一的解就是x = 0。没有好。所以这个矩阵一定是奇异的。
它一定是0。现在我们有了特征值的方程。是我们移动矩阵的多少使行列式为0。移位乘以单位矩阵从对角线上减去它。
我可以从简单的2 × 2矩阵开始吗,就是我们刚遇到的那种,叫做同伴矩阵。当我们有一个二阶方程时我们遇到了这个矩阵。我从方程y ' ' + By ' + Cy = 0开始。
我从一个二阶方程开始。然后引入y '作为第二个未知数。现在我有一个未知向量y和y '。然后,当我写下这个方程——我就不重复了——它引出了一个2 × 2矩阵。
两个方程,两个未知数y和y '。这是一个我们感兴趣的2 × 2矩阵。但我们真正感兴趣的是所有2乘2的矩阵。我把它作为矩阵A,我的同伴矩阵。
我只是想通过步骤来找到它的特征值。这个矩阵的特征值是什么?我们只要取这个矩阵,从对角线上减去,然后取行列式。当我求一个2 × 2矩阵的行列式时,它就是这个乘以这个,就是-乘以-是²。
这就得到了B。行列式的另一部分是这个乘积,- c,但是它有一个负号,所以它是+ c,这就是我的方程关于一个同伴矩阵的特征值。你会发现这和指数s的方程是完全一样的。
对于矩阵的情况和对于单个二阶方程的s s1 s2是一样的。所以这个方程的解是e ^ st当矩阵的特征万博 尤文图斯值等于s时,就是s1和s2。
但是现在我转到一般的2 × 2矩阵。它的特征值是什么?这个方程的两个特征值是什么样子的?这是它的一个特例。
这里,我有一个一般矩阵,a b c d,我从对角线减去。求行列式。这就得到了两个特征值。让我们做它。
乘以-等于²。然后有- d和- a,所以有a + d。然后是不涉及的部分。不涉及的部分就是det (a, b, c, d)它就是ad和- bc。
所以有一个广告和减去BC,所有这些都是0.这是二次方程,二级。两个由两个矩阵有两个特征值,这方面的两个根。我只是想了解越来越多的关于根部,Lambda 1 Lambda 2的连接到矩阵A,B,C,D。
如果我知道2 × 2矩阵,这就告诉我特征值。这是一个二次方程,有两个根。如果我把这个分解,它会分解成- 1乘以- 2。当然,如果数字不错,我就能看到1和2是什么。
在这种情况下,我找到特征值。如果数字不是很好,那么1和2来自二次公式,b±根号下b方减4ac。二次公式会解出这个方程,会告诉我这两个数。
如果我这样乘,我看到的是²。我看到-乘以1和2。然后我看到+ 1乘以= 0。这里,我写了两个的方程。这里,当我知道两个时,我已经写出了方程。
我为什么要这么做?我想让这个和这个匹配,看看这个数,不管是什么,和那个数是一样的。在这里,-的系数。这是第一步,1 + 2等于a + d。
把这两个方程匹配一下。这就像二次方程的一般事实。根的和是的负系数。常数项还是常数项。所以1乘以2等于ad - bc。
这些是关于一个2 × 2矩阵的事实,特征值的和。这是特征值的和-我用s-u-m来表示我在看这个和- a + d a + d是对角线上的数字。这有点特别。
当我把对角线数相加,我得到一个矩阵的迹。我要介绍一个词,trace。Trace是对角线上的加法。这是+ d。
这个是特征值的乘积1乘以2。这就是乘积。它等于a的行列式,我只是把2 × 2矩阵的行列式巧妙地连接起来。
如果我写下一些矩阵,我们可以马上看到它们。我写一个矩阵。假设我写下这个矩阵。哦,让它们是0 1,好吧,0 4,啊,让我改进一下。
2 4 4 9。2 4 4 2就更简单了。对不起。我看这个矩阵。我立刻看到这个矩阵的两个特征值加起来是4。2加2等于4。我做了追踪。
这个矩阵的两个特征值乘以这个行列式,就是2乘以2等于4减去16减去12。所以这个矩阵的和是4。这个矩阵的行列式是4 - 16 = - 12。
也许我能算出两个加4乘12的数。我想,实际上,它们是6和- 2。我认为这里的特征值是6和- 2因为它们加起来是4,轨迹,它们乘以6乘以- 2是- 12。这是决定因素。
2乘2矩阵,你有很好的机会看到到底发生了什么。现在,我今天这个视频的兴趣是利用所有这些,利用特征值,来决定稳定性。稳定性意味着微分方程的解趋于0。万博 尤文图斯
我们记得它的解是e ^ (st)它和e 万博 尤文图斯^ (t)是一样的s和都来自于同一个方程在二阶方程简化为同伴矩阵的情况下。我感兴趣的是特征值什么时候是负的。
什么时候特征值是负的?或者如果它们是复数,什么时候它们的实部是负的。我们能记住trace,求和,乘积,行列式吗。并回答稳定性问题。
所以我准备好稳定了。稳定性是指1 -和2 -。这是真实情况。或者在复数情况下,等于某个实部加上某个虚部。然后实部是负的。
实部,也就是a,应该是0。这就是我们的要求。如果特征值是复数,我们得到一对它们实部应该是0所以e ^ (- a) e ^ (at)趋于0。关于这些负的关键在于e ^ t趋于0。
这是稳定。我的问题是,决定特征值的矩阵的检验是什么?我们能看看这个矩阵吗,也许我们不需要找到那些特征值。也许我们可以利用这个事实。
同样,事实是1 + 2是轨迹1乘以2是行列式。我们可以从矩阵中读出这些数字。这是一个二次方程。
但如果我们只想知道特征值是否为负?它们的实部是负的吗?我们可以从这些数字中得到信息而不需要从二次方程中找到特征值。这不难做到,但我们没必要这么做。
假设我们有两个负的特征值。当然,这意味着追踪结果是负的。因为轨迹是特征值的和。如果这些都是负的,trace就是负的。这样我们就可以马上检查追踪了。
行列式呢?如果这是负的,这也是负的,那么相乘会得到一个正数。所以行列式应该是正的。trace小于0。行列式大于0。这就是稳定性测试。
这是稳定性测试。稳定。2 × 2矩阵A, B, C, D,如果它的迹是负的而它的行列式是正的,是稳定的。这是测试。
实际上,如果是复数,它也是成立的因为1 + 2,1是a + i。2是-。和就是2a。我们想让它是负的。
再一次,微量阴性。即使根是实数或者是复数,都是负的。这仍然告诉我们根的和是负的行列式也成立。
如果a + i乘以a- i,在这种情况下,1乘以2,如果我把这些数相乘,我得到a的平方加上的平方。加上。所以这是正的。我们很好。
所以我的结论是,这是对稳定性的测试。我可以把它应用到一些矩阵中。我写了几个矩阵。我能看看这个测试吗-你能看看这个测试吗-然后用它来看看。
举个例子。比如- 2 - 1 3和4。这样好吗?轨迹是- 3。这很好。行列式是2 - 12 - 10。这是不好的。这是不好的。
这是不稳定的。它的行列式是负的。不稳定的。我把x写在这里。不稳定的。
让我拿一个稳定的。稳定1,我想要- 5和1。没关系。痕迹是阴性的。- 4。现在我想让行列式为正。
所以我最好写6和- 7。只是选择数字。现在行列式是- 5 + 42。一个大的正数。通过行列式检验。这没问题。它是稳定的。
如果这是矩阵A,那么dy / dt = Ay y ' = Ay的解就万博 尤文图斯是微分方程。跟踪特征向量的两万博 尤文图斯个解是负的。是负的,因为轨迹是负的,而行列式是正的。通过稳定性测试,解将趋于负无穷。万博 尤文图斯
这是二乘二。谢谢你!
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