好啊这里有一个或多或少是为了好玩的例子。因为你会看到我试着去做。你可以做得更好。我把这个问题称为翻滚积木。只有在这个例子中,在我的演示中,它将是一本翻滚的书。
我要拿一本书,一本神圣的书,扔到空中。我会用三种不同的方式来表达。问题是,旋转书是否稳定?让我告诉你们三种方法,然后给你们三个方程,来自欧拉。
所以那些是三方程。你看到他们不是线性的。那些是针对角动量的。所以方程背后有一点物理。但对于我们而言,那些是三方程。
所以第一次投掷会绕着很短的轴旋转,只有书的厚度,也许一英寸。所以当我把它扔出去的时候,就像我现在做的那样,你们会看到我是否能扔出去,我希望不要太紧张。它来了——它很稳定。那本书毫不动摇地回到了我的手中。
当然,我的神经会让它有点动摇,而且这种动摇会持续下去。它只会是中性稳定的。摆动并没有消失。但它不会演变成一场混战。好的。这是一个轴,短轴。
然后我把它也扔到长轴上,像这样翻转。我认为这也是稳定的。最后,在中间轴上,是中长轴。注意把书绑在一起的橡皮筋。这样书页就不会打开。而这个,我想我们会看到,是不稳定的。
同样地,扔足球,扔其他飞盘,不管你扔什么。任何3D物体都有这三个轴:短轴、中轴和长轴。方程告诉我们短轴和长轴应该有一个稳定的旋转。中间的轴是不稳定的。
那么,我们如何确定微分方程的不动点,不动点,这是临界点,是稳态-,我们必须找到这个稳态,然后对每个稳态进行线性化。我们在稳态下求导数。这给了我们一个稳定状态下的常数矩阵。然后确定特征值。
首先,找到关键点。其次,在关键点找到衍生品。第三,对于衍生物的矩阵,找到特征值并决定稳定。这是步骤的序列。好的。我们第一次通过三个矩阵完成了三个矩阵。也许是最后一次。好的。
在我开始之前,让我,在找到关键点之前 - 注意一些很好的财产。If I multiply this equation by x, this one by y, this one by z, and add, those will add to 0. When there's an x there, a y there, and a z there, I get a 1 minus 2 and a 1 they add to 0. So x times dx dt. y times dy dt. z time dz dt adds to 0.
这是一个重要的事实。这就是告诉我某事的衍生物是0.某种东西将是一个常数。所以我在这里看到整个业务的衍生物将是一半的衍生品。x平方,因为x平方的衍生物将有一半。衍生物将是x dx dt。和y平方和z平方是衍生物是0.该线的衍生物只是这条线。这是0.所以这是一个常数。
毫无疑问,这可能告诉我,总能量,动能,是恒定的。我把那本书扔到空中后,就不会碰它了。它在做它自己的事情。它不会改变能量因为它没有发生任何变化。它就在那里。还有其他的。这很好。这是一个常数。
现在有另一种方式。如果我将此乘以2x,并且我将此乘坐y y y y y,并添加那两个取消的那些。所以2x dx dt-- 2x次的第一个 - 和y次的第二个给0给0。再次,我看到一些东西是恒定的。某事物的衍生物,并且某些东西是x平方加1/2 y平方是恒定的。另一个好事实。另一个节约的数量。
当我在太空中飞行时,这个量x的平方加上1/2y的平方不变。这涉及到所有的xyz。当然,这是一个球体的方程。所以在能量空间,或者在xyz空间,我们的解是绕着一个球体转。我想这是一个椭圆的方程。在这个球体上有一个椭圆,它实际上停留在这个椭圆上。
事实上,还有另一个椭圆,因为我可以将这个乘以2z,这个逐个倍一一左右。然后那些会取消。减去2 xyz加2xyz。这样也告诉我,可能是z平方加1/2 y平方等于常数。这是另一个椭圆。z平方加1/2 y平方。你看到这个?如果我采取衍生物,我有2z次dz dt加上Y dy dt。添加给出0.衍生物是0.这是一个常数。
但是!但是,但是,但是!如果我用这个减去这个,取这两个的差。假设我用这个减去这个。1/ 2y²。这就告诉我们x²- z²是常数。哦,男孩!我还没解出我的三个方程。但我发现了很多关于解决方案的东西。解在球面上,以某种方式徘徊。 It also at the same time stays on that ellipse. And it stays on that ellipse. But this is not an ellipse, not an ellipse. That's the equation of a hyperbola. And that's why-- which, of course, goes off to infinity. And that's why the-- well, it goes off to infinity, but it has to stay on the sphere. It wanders. This will be responsible for the unstable motion.
教授 - 谁会比我好得多,他在1803年的巨大讲座,微分方程恰好。整个小时告诉你关于翻滚盒的一切。所以我要做演示并记下主要事实,了解稳定,讨论稳定。我已经准备好继续讨论稳定性。
这是我的三个方程。我们有三个方程,所以我们有一个三乘三的矩阵。首先我要找出临界点,这个运动的稳态。我怎么能把它扔出去,这样如果我把它扔得很好,它就和扔的一模一样了?答案是,绕着轴线。
如果我扔得很好,不紧张,它就会在我扔的时候旋转。x y z都是常数。现在,当我把它扔到这个轴上。这是我的右手边。YZ - 2XZ和XY。我用大写字母写因为这些是我的稳态。现在我要找的是什么都没发生的点。
如果方程右边这三个是0,我就不动了。Xyz将保持不变。你们能看到这三个方程的解吗?万博 尤文图斯它们是非常特殊的方程。我得到一个解,例如,解可以是1 0 0/万博 尤文图斯
如果三个中有两个,如果y和z是0。y = 0 z = 0 y和z = 0,得到0。所以这肯定是稳态。X = 1 y和z = 0和0。这个稳态是围绕一个轴旋转的。实际上,也可以是- 1。我找到了,两个y和z0的稳态。然后还有两个x和z0。这可能是,它会绕中轴旋转。然后是(0,0,1或- 1)它会绕着第三个轴旋转,长轴。
所以那些是我稳定的国家。而且我猜,想想它,0,0,0也是一个稳定状态。我想我发现了他们所有人。这些是XY的。这些是x,y,z稳态。好的。
一旦你知道了稳态,通常会很有趣,就像这里一样。现在不那么有趣的步骤是求出所有的导数,求出雅可比矩阵的导数。我有三个方程。三个未知数,xyz。三个右边。我要找到一个3 × 3矩阵的导数。这雅可比矩阵。雅可比矩阵的J,一阶导数矩阵。
那么矩阵的一阶导数是什么?我写一下雅可比矩阵。它以雅各比的名字命名。它是一阶导数矩阵。第一行是第一个函数关于x的导数,关于x的导数是0。对y的导数是z,对z的导数是y,这些都是偏导数。题目告诉我第一个未知的x移动了多少。题目告诉我第一个未知的x在临界点附近会发生什么。
好的。来自第二方程式的部分衍生物呢?这是部分衍生品将进入这一行。所以x有一个负二射。Y衍生物是0. Z衍生物是减去2x。和第三,Z衍生物在这里为0。x中的y衍生物。x衍生物是y。我发现了3乘以3矩阵,其中九个部分的第一衍生物。好的。
是矩阵在这些点的特征值决定了稳定性。我把它写下来。J在x y z临界点处的特征值这就是我需要的。这决定了稳定性。
取第一个临界点。矩阵是什么?我要算出这一点的矩阵是什么?取(1,0,0)1, 0, 0。如果x = 1,这是在x = 1处。Y和z是0。如果x = 1,那么这是- 2和1。其他的都是0。
所以决定不动点稳定性1,0,0的是矩阵的特征值。记住,这是围绕窄轴的掷骰。这是围绕短轴的投掷。好啊
那个矩阵的特征值呢?嗯,我在这里可以看到,真的是三乘三。但实际上,有了这些0,我的特征值是0。这里的特征值是0。然后我将得到矩阵部分的特征值,这是2乘2。这里λ等于0。还有两个特征值。
我看到了,我看到了什么?现在这是一个二乘二的问题。我看到跟踪是0。0加0。我的特征值是正负对,因为它们加起来等于0。它们相乘得到行列式。那个矩阵的行列式是2。那个矩阵的行列式是2。好啊
所以它有一个正的决定因素。这有利于稳定。但跟踪值仅为0。这不是很消极。这不是肯定的。就在0点。这将是一个中性稳定性的例子。特征值是-,从这里得到一个0的特征值。这个2乘2的特征值是-,有一个2乘以i的平方根和一个减去2乘以i的平方根。我认为这些是特征值。
我看到的是他们都是虚构的。这是一个纯粹的振荡。抖动不停地抖动。不会变得更糟。不会消失。这是中性的稳定性。因此,中立的稳定是我们希望再次看到的。对我想,如果我在长轴上翻转。好的你看到那漂亮的投球了吗?这是中性的稳定性。它回来了,没有做任何坏事。
我终于必须做到我们都强烈等待的轴,中轴。并且中间轴是当书开始翻滚时,这将是我是否可以抓住它的问题。我可以尝试吗?然后我可以找到 - 我对中立轴的期望是什么?我期待不稳定。我认为其实这将是一个马鞍点。但是会有一个积极的特征值。
会有一个正的特征值。它负责翻滚,你会看到疯狂的翻滚。它与这个双曲线上的点相连这个点离我现在要做的就是这个。这个是——我在它周围画个框——两个框。这是不稳定的,我要演示一下。
准备好了吗?好的。哎呦。好的。要用两只手才能抓住它。让我再试一次。重点是它开始翻滚,向四面八方扩散。就像一个足球,一个扔得很糟糕的足球。就像一个足球被扔到另一端。整个飞行过程都中断了,球变得一团糟。 Catching it is ridiculous. And I'm doing it with a book. Yes. You saw that by watching really closely. OK. Better if you do it.
我将以这一点的特征值结束。那么这一点的特征值,我能把矩阵擦掉吗?所以这是一个中性稳定的,是稳定语言的中心。这是一个中心,你可以绕着它转啊转啊转。但是现在我要让x z = 0 y = 1。我能把这个矩阵擦掉吗
如果x和z是0,y是1,那么这里得到1。我在上面得了1分。没有别的了。其他的都是0。好啊这是我的三乘三矩阵。它的特征值是什么?三乘三非常特殊的矩阵的特征值是什么?
这是一阶导数矩阵,雅可比矩阵,在这一点上,对应于中轴。好啊我又看到了一些0。我将把它简化为二乘二矩阵和这个矩阵。真的,我在xz中有一个二乘二矩阵,在y中有一个。那家伙呢?
你知道我们在看这个矩阵。有了这个矩阵,我可以告诉你特征值。我们可以看到轨迹是0。特征值加起来等于0。它们乘以行列式。行列式是- 1。所以这里的特征值是1和- 1。然后这个是0。
这是一个不稳定的特征值。这个特征值1是不稳定的。好的。因此数学表明了实验所示的结果:围绕该中轴扭转的不稳定旋转。谢谢你。
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