从系列:GyD.F4y2Ba微分方程与线性代数GyD.F4y2Ba
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院GyD.F4y2Ba
一个阻尼强迫方程有一个特解GyD.F4y2Bay = GGyD.F4y2Bacos(ωGyD.F4y2Bat -GyD.F4y2Baα)。阻尼比提供了对零解的洞察。万博 尤文图斯GyD.F4y2Ba
我回到了一个例子,而不是最简单的例子,其二阶方程具有振荡迫使术语,余弦omega t。我们必须知道这个问题的答案。它有点乱,但该方法并不混乱。该方法很简单。GyD.F4y2Ba
我们从求矩形开始。我称它为矩形。它把带有振幅的余弦函数和带有振幅的正弦函数分开为两部分。如果我要找这个解,m和n是我要找的数,我要怎么做?GyD.F4y2Ba
这是一个未确定的系数,m和n的情况。并且确定它们的方式是将其替换为方程式并匹配余弦项并找到m和n。以及我们找到m和n的方式,我们需要两个数量的两个方程式,m和n。GyD.F4y2Ba
想象一下把这个代进去。我会得到一些余弦。所以一边的余弦值和另一边的余弦值是匹配的。从导数中,我得到一些sin它们应该是0因为右边没有sin t。GyD.F4y2Ba
我有两个方程,一个是正弦,一个是余弦。我来解这些。两个方程,两个未知数。我把答案写下来。GyD.F4y2Ba
M包含C -的平方。M来自余弦。我们从这一项和这一项得到余弦。除以一个数D,我把它写下来。GyD.F4y2Ba
并且n只是b omega除以同一个d。现在我会写下来d。这是c减去欧米茄平方的平方加b omega squared。这是来自M和N的两个方程出来的东西。GyD.F4y2Ba
我只是解了这些方程。这里的D是2 × 2行列式如果我们考虑两个方程背后的线性代数。就是这样。所以答案是A C B和D,这是所有A B C的混合物,这就是答案。GyD.F4y2Ba
只有我一直想要向您展示不同形式的解决方案。在这种情况下,更好的形式。因为最重要的物理量是幅度。你有多大?这是什么幅度?GyD.F4y2Ba
这是一个正弦曲线。我们记得每一个正弦函数都可以写成极坐标形式。y (t)等于G的振幅,也就是增益,乘以cos (t)有一个位移,一个滞后,一个角度。现在有两个数了。GyD.F4y2Ba
这是收益。这是相移α。这是一种有吸引力的形式,因为它只有一个术语。两个数字,g和alpha,置于我们可以看到振荡的大小的单个术语。GyD.F4y2Ba
结果是什么?我就不详细讲了。我把G写下来。G是,它来自这里,它是1除以√d, G是√(M²+ N²)GyD.F4y2Ba
根号下(M²+ N²)如果我把M的平方和N的平方,就得到D / D的平方。我得到了答案。这是收益。GyD.F4y2Ba
我再写一遍,增益。因为你做到了。再看一遍。和往常一样,tan等于N / M,也就是B / C - A的平方。我喜欢极坐标形式。GyD.F4y2Ba
我觉得我应该做一个例子。我没有在这个视频中做任何代数。但你知道代数来自哪里。它来自代替我们预期的解决方案的表格。当然,我们预期的形式是我们提供的形式,我们提供了欧米茄,驱动频率,与欧米茄N.不同GyD.F4y2Ba
嗯,没有。我想即使是N也没问题,因为我们有一个阻尼项。这就是答案。GyD.F4y2Ba
这样一个例子。为什么不举个例子呢?y ' ' + y ' + 2y = cos (t)这是个简单的例子。我取为1。这是。然后A = 1 B = 1 C = 2。GyD.F4y2Ba
我们可以计算所有东西。实际上,我认为M和N是1/2。顺便说一下,D = 1²+ 1²。这是2的平方根。对不起。D等于2。1²+ 1²。GyD.F4y2Ba
那么我知道什么呢?我知道矩形的形式吗?是的。矩形是1/2。cos和sin都是1/2。1/2 (cost + sint)这是矩形。GyD.F4y2Ba
两个简单的东西,但我必须把它们相加。在我看来,我不一定看到cos和sin是如何相加的。但是正弦恒等式,极坐标形式,给出了它。极坐标形式是什么?GyD.F4y2Ba
所以G,增益将是1的平方根。在最高点,余弦和正弦相同。它们都是1在2的平方根上。我有两个。所以我在2个余弦的平方根上获得1,而不是4的t减去4个是角度,相滞。GyD.F4y2Ba
当我把余弦和正弦相加,我得到一个正弦曲线是/(4)45度。这就是两种形式。在一个很好的例子中,我们得到了一个很好的答案。我们确实。是的。GyD.F4y2Ba
这就是我认为的最重要的应用的解当强制项是余弦时。所以它给出了振荡运动。它给出了一个相移。它给出了这些公式。GyD.F4y2Ba
我唯一要补充的是,我需要评论更好的符号。我在这些公式中使用了A B c,但它们的含义是质量,阻尼常数,弹簧常数。M B K。GyD.F4y2Ba
它是这些元素的组合。我想用这个更好的符号。或者我应该说工程符号而不是A B C,也就是质量,阻尼,弹簧常数。GyD.F4y2Ba
用有意义的字母就更好了。但是小但很重要的一点是A B C M B K的两种组合特别好。一个是我们已经看到的固有频率,C / A的平方根。GyD.F4y2Ba
k over M的平方根,使我们给我们一个重要的A和C的一个重要组合。并且另一个是阻尼比。它被称为zeta。并且阻尼比率在4ac的平方根上方。GyD.F4y2Ba
哈!你会说,这是怎么来的?或者我可以用这些字母,B除以√4mk。阻尼比,可以说,是正确的无量纲量。这个比值的维数就是数字。GyD.F4y2Ba
这两个量有相同的量纲。我们可以看到,因为在二次公式中,你们还记得二次公式中有√(b²- 4ac)吗?现在如果你看到一个式子里面有b ^ 2 - 4ac,你就知道它们必须有相同的单位。GyD.F4y2Ba
否则,减法就是犯罪。所以它们有相同的比例和相同的单位因此这个比例是无量纲的。我把它写下来。无量纲。GyD.F4y2Ba
所以结论。我可以把答案写成n和的形式。我在这里就不做了。那可以再等下次。GyD.F4y2Ba
但是既然我们已经找到了cos t最重要应用的解,既然我们找到了解,我们可以把答案写成n,固有频率,z,阻尼比的形式。谢谢你!GyD.F4y2Ba
1.1:微分方程概述GyD.F4y2Ba线性方程包括GyD.F4y2Bady / dtGyD.F4y2Ba=GyD.F4y2Bay, dy / dtGyD.F4y2Ba= -GyD.F4y2Bay, dy / dtGyD.F4y2Ba=GyD.F4y2Ba2泰GyD.F4y2Ba.这个方程GyD.F4y2Bady / dtGyD.F4y2Ba=GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba*GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba是非线性的。GyD.F4y2Ba
1.2:你需要的微积分GyD.F4y2Ba和定则、乘积定则和链式定则由的导数派生出新的导数GyD.F4y2BaXGyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba,罪(GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba),GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba.微积分基本定理说积分求导数的倒数。GyD.F4y2Ba
1.4b:指数输入的响应,exp(s*t)GyD.F4y2Ba指数输入,GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba圣GyD.F4y2Ba,从外部和指数增长,GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba在GyD.F4y2Ba从内部看,解y(t)是两个指数的组合。GyD.F4y2Ba
1.4c:振荡输入的响应,cos(w*t)GyD.F4y2Ba振荡输入COS(ΩGyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba)产生具有相同频率ω(和相移)的振荡输出。GyD.F4y2Ba
1.4d:任意输入q(t)的解GyD.F4y2Ba要解一个一阶线性方程,需要将每个输入相乘GyD.F4y2Ba问(s)GyD.F4y2Ba通过它的增长因子和整合这些产出GyD.F4y2Ba.GyD.F4y2Ba
1.4e阶跃函数和增量函数GyD.F4y2Ba单位阶跃函数从0跳跃到1.它的斜率是Δ函数:零点除外,跳转无限。GyD.F4y2Ba
复指数响应,exp(i*w*t) = cos(w*t)+i*sin(w*t)GyD.F4y2Ba对于线性方程,解GyD.F4y2Baf =GyD.F4y2Bacos(ωGyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba)是解决方案的真实部分GyD.F4y2Baf = eGyD.F4y2Ba我ωtGyD.F4y2Ba.复杂的解决方案具有幅度GyD.F4y2BaGGyD.F4y2Ba(获得)。GyD.F4y2Ba
积分因子为一个恒定速率,aGyD.F4y2Ba整合因素GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba——GyD.F4y2Ba乘以微分方程,y ' =ay+q,得到导数GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba——GyD.F4y2BaY:准备集成。GyD.F4y2Ba
1.6b:变化率积分因子,a(t)GyD.F4y2Ba变化利率的积分提供了增长的解决方案(银行余额)的指数。GyD.F4y2Ba
1.7:物流方程GyD.F4y2Ba当GyD.F4y2Ba——GyD.F4y2Ba2GyD.F4y2Ba减慢成长并使方程式非线性,解决方案接近稳定状态GyD.F4y2Bay (GyD.F4y2Ba∞GyD.F4y2Ba) = a / b。GyD.F4y2Ba
1.7c:稳态的稳定性和不稳定性GyD.F4y2Ba稳态解可以是稳定的或不稳定万博 尤文图斯的——一个简单的测试就可以决定。GyD.F4y2Ba
1.8:可分离变量方程GyD.F4y2Ba可分离变量方程可以通过两个单独的积分来求解,一个是inGyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba另一个在GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba.最简单的是GyD.F4y2Bady / dt = yGyD.F4y2Ba,当GyD.F4y2Bady / yGyD.F4y2Ba=GyD.F4y2BaDT.GyD.F4y2Ba.然后ln (GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba) =GyD.F4y2Bat + CGyD.F4y2Ba.GyD.F4y2Ba
2.1:二阶方程GyD.F4y2Ba对于无阻尼和无力的振动方程,所有解具有相同的固有频率。万博 尤文图斯GyD.F4y2Ba
2.1b:强制谐波运动GyD.F4y2Ba与强迫GyD.F4y2BaFGyD.F4y2Ba= cos(ωGyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba),特解是GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba* cos(ωGyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba).但如果强制频率等于自然频率存在共振。GyD.F4y2Ba
2.3:未经裁减的潮湿运动GyD.F4y2Ba常系数微分方程的基本解是指数函数万博 尤文图斯GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba圣GyD.F4y2Ba.指数GyD.F4y2BaS.GyD.F4y2Ba解决一个简单的方程,如GyD.F4y2Ba作为GyD.F4y2Ba2GyD.F4y2Ba+ b + C = 0GyD.F4y2Ba.GyD.F4y2Ba
2.3c:脉冲响应和阶跃响应GyD.F4y2Ba脉冲响应GyD.F4y2BaGGyD.F4y2Ba是当力是脉冲(脉冲函数)时的解。这也解决了一个零方程(没有力)与一个非零初始条件。GyD.F4y2Ba
2.4:指数响应-可能的共振GyD.F4y2Ba共振发生时,自然频率与强迫频率等指数从内部和外部。GyD.F4y2Ba
2.4b:二阶阻尼方程GyD.F4y2Ba一个阻尼强迫方程有一个特解GyD.F4y2Bay = GGyD.F4y2Bacos(ωGyD.F4y2Bat -GyD.F4y2Baα)。阻尼比提供了对零解的洞察。万博 尤文图斯GyD.F4y2Ba
2.5:电力网络:电压和电流GyD.F4y2Ba电流流动的RLC环路求解线性方程的系数GyD.F4y2BaL.GyD.F4y2Ba(电感),GyD.F4y2BaR.GyD.F4y2Ba(电阻),GyD.F4y2Ba1 / CGyD.F4y2Ba(GyD.F4y2BaCGyD.F4y2Ba=电容)。GyD.F4y2Ba
2.6待定系数法GyD.F4y2Ba常系数和特殊强迫项(幂GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba, cos /sin,指数),特解有同样的形式。GyD.F4y2Ba
2.6b:待定系数法的例子GyD.F4y2Ba这种方法对于力和解也很成功万博 尤文图斯GyD.F4y2Ba(在GyD.F4y2Ba2GyD.F4y2Ba+ bt +cGyD.F4y2Ba圣GyD.F4y2Ba:代入方程求GyD.F4y2BaA,B,CGyD.F4y2Ba.GyD.F4y2Ba
2.6c:参数的变化GyD.F4y2Ba把空的解决方案万博 尤文图斯GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba1GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba2GyD.F4y2Ba与系数GyD.F4y2BaCGyD.F4y2Ba1GyD.F4y2Ba(t)GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaCGyD.F4y2Ba2GyD.F4y2Ba(t)GyD.F4y2Ba求任意解的特解GyD.F4y2Baf (t)。GyD.F4y2Ba
2.7:拉普拉斯变换:一阶方程GyD.F4y2Ba变换线性微分方程中的每一项以产生一个代数问题。你可以把代数解转换回ODE解,GyD.F4y2Bay (t)GyD.F4y2Ba.GyD.F4y2Ba
2.7b:拉普拉斯变换:二阶方程GyD.F4y2Ba二阶导数变换为GyD.F4y2BaS.GyD.F4y2Ba2GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba代数问题涉及传递函数GyD.F4y2Ba1 / (GyD.F4y2Ba2GyD.F4y2Ba+ b + C)。GyD.F4y2Ba
2.7c:拉普拉斯变换和卷积GyD.F4y2Ba当力是脉冲δ时GyD.F4y2Ba(t)GyD.F4y2Ba,脉冲响应为GyD.F4y2Bag (t)GyD.F4y2Ba.当力是GyD.F4y2Baf (t)GyD.F4y2Ba,响应为“卷积”GyD.F4y2BaFGyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaG。GyD.F4y2Ba
3.1:解决方案图片万博 尤文图斯GyD.F4y2Ba的方向场GyD.F4y2Bady / dt = f (t, y)GyD.F4y2Ba有带斜率的箭头吗GyD.F4y2BaFGyD.F4y2Ba每一点GyD.F4y2BaT,Y.GyD.F4y2Ba.箭头沿着Isocline躺着。GyD.F4y2Ba
3.2:阶段平面图片:源,水槽马鞍GyD.F4y2Ba万博 尤文图斯二阶方程的解可以接近无穷或零。鞍点包含一个正指数和一个负指数或特征值。GyD.F4y2Ba
3.2b:相平面图片:螺旋和中心GyD.F4y2Ba具有纯振荡的虚指数在相平面上提供了一个“中心”。这一点GyD.F4y2Ba(y, dy / dt)GyD.F4y2Ba围绕着椭圆形身漫步。GyD.F4y2Ba
3.2C:两个第一阶方程:稳定性GyD.F4y2Ba二阶方程给出了两个第一阶方程GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba和GyD.F4y2Bady / dtGyD.F4y2Ba.这个矩阵变成了一个伴矩阵。GyD.F4y2Ba
3.3:临界点处的线性化GyD.F4y2Ba临界点是一个常数解GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba微分方程GyD.F4y2Bay ' = f (y)GyD.F4y2Ba.附近,GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba,标志GyD.F4y2Badf / dyGyD.F4y2Ba决定稳定还是不稳定。GyD.F4y2Ba
3.3b:y'= f(y,z)和z'= g(y,z)的线性化GyD.F4y2Ba对于两个方程,临界点有GyD.F4y2Baf(y,z)GyD.F4y2Ba= 0且GyD.F4y2Bag (Y, Z)GyD.F4y2Ba= 0。在这些常数解附近,两个线性化的方程使用了万博 尤文图斯偏导数的2 × 2矩阵GyD.F4y2BaFGyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaGGyD.F4y2Ba.GyD.F4y2Ba
3.3c:特征值与稳定性:2 × 2矩阵,AGyD.F4y2Ba两个方程式GyD.F4y2Bay'= ayGyD.F4y2Ba是否稳定(解趋近于零)时万博 尤文图斯的迹GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba是负的,行列式是正的。GyD.F4y2Ba
3d: 3-D的翻滚盒GyD.F4y2Ba空气中的盒子可以绕其最长和最短的轴旋转。它绕着中轴疯狂地翻滚。GyD.F4y2Ba
5.1:矩阵a的列空间GyD.F4y2Ba一个GyD.F4y2BamGyD.F4y2Ba经过GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba矩阵GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba有GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba各列GyD.F4y2BaR.GyD.F4y2BamGyD.F4y2Ba.获得这些列的所有组合Av得到列空间-的一个子空间GyD.F4y2BaR.GyD.F4y2BamGyD.F4y2Ba.GyD.F4y2Ba
5.4:独立性、基础和维度GyD.F4y2Ba如果它们的组合跨越整个子空间并且是独立的,则V 1至V D是子空间的基础:没有基础载体是其他的基础。Dimension D =基础向量的数量。GyD.F4y2Ba
5.5:线性代数的大图GyD.F4y2Ba一个矩阵产生四个子空间——列空间、行空间(同维)、垂直于所有行的向量空间(零空间)和垂直于所有列的向量空间。GyD.F4y2Ba
图5.6:GyD.F4y2Ba一个图GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba节点连接GyD.F4y2BamGyD.F4y2Ba边缘(其他边缘可能缺失)。这对于互联网、大脑、管道系统等都是一个有用的模型。GyD.F4y2Ba
5.6B:图的发病矩阵GyD.F4y2Ba的关联矩阵GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba每条边都有一行,包含-1和+1来表示两个节点(的两列GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba)由这条边连接。GyD.F4y2Ba
6.1:特征值和特征向量GyD.F4y2Ba特征向量GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba乘上矩阵(GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba=GyD.F4y2BaλGyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba).一个GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2BaXGyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba矩阵GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba特征值。GyD.F4y2Ba
6.2:对角化矩阵GyD.F4y2Ba如果它具有矩阵可以是对角化的GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba独立的特征向量。对角矩阵Λis特征值矩阵。GyD.F4y2Ba
6。2b:幂,A^n,和马尔可夫矩阵GyD.F4y2Ba整个思想GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba=GyD.F4y2BaV.GyD.F4y2BaΛGyD.F4y2BaV.GyD.F4y2Ba1GyD.F4y2Ba同时斜向移动GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba=GyD.F4y2BaV.GyD.F4y2BaΛGyD.F4y2BaN.GyD.F4y2BaV.GyD.F4y2Ba1GyD.F4y2Ba.GyD.F4y2Ba
6.3:求解线性系统GyD.F4y2BaD.GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba/ dt =一个GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba包含解决方案万博 尤文图斯GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba= eGyD.F4y2Baλt.GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba在哪里GyD.F4y2BaλGyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba是一个特征值/特征向量对GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba.GyD.F4y2Ba
6.4:矩阵指数,exp(A*t)GyD.F4y2Ba解的最短形式使用矩阵指数GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba= eGyD.F4y2Ba在GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba(0)GyD.F4y2Ba.矩阵GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Ba在GyD.F4y2Ba有特征值GyD.F4y2BaE.GyD.F4y2Baλt.GyD.F4y2Ba的特征向量GyD.F4y2Ba一种。GyD.F4y2Ba
6.4b:类似的矩阵,a和b = m ^( - 1)* a * mGyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaB.GyD.F4y2Ba如果是“类似”GyD.F4y2BaB.GyD.F4y2Ba=GyD.F4y2BamGyD.F4y2Ba-1GyD.F4y2Ba是GyD.F4y2Ba对于一些矩阵GyD.F4y2BamGyD.F4y2Ba.GyD.F4y2BaB.GyD.F4y2Ba有相同的特征值GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba.GyD.F4y2Ba
6.5:对称矩阵,实特征值,正交特征向量GyD.F4y2Ba对称矩阵都GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba垂直特征向量和GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba真正的特征值。GyD.F4y2Ba
6.5b:二阶方程组,y " +Sy=0GyD.F4y2Ba振荡方程GyD.F4y2BaD.GyD.F4y2Ba2GyD.F4y2Bay / dtGyD.F4y2Ba2GyD.F4y2Ba+ sy =GyD.F4y2Ba0有GyD.F4y2Ba2 nGyD.F4y2Ba万博 尤文图斯解决方案(田间和余弦)。万博 尤文图斯解决方案使用特征向量GyD.F4y2Ba年代。GyD.F4y2Ba
7.2:正定矩阵,s = a'aGyD.F4y2Ba一个正定矩阵S具有正的特征值、正的枢轴、正的行列式和正的能量vGyD.F4y2BaT.GyD.F4y2BaSv对于每个向量v S = AGyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba如果A有独立的列,A总是积极的。GyD.F4y2Ba
7.2B:奇异值分解,SVDGyD.F4y2BaSVD对每个矩阵进行因子化GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2Ba变成正交矩阵GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba乘以一个对角矩阵Σ(奇异值)乘以另一个正交矩阵VGyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba:旋转时间拉伸时间旋转。GyD.F4y2Ba
边界条件替换初始条件GyD.F4y2Ba二阶方程可以改变其初始条件GyD.F4y2Bay (0)GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2Bady / dt (0)GyD.F4y2Ba到边界条件GyD.F4y2Bay (0)GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2Bay (1)GyD.F4y2Ba.GyD.F4y2Ba
7.4:拉普拉斯方程GyD.F4y2Ba∂GyD.F4y2Ba2GyD.F4y2Bau /GyD.F4y2Ba∂GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba2GyD.F4y2Ba+GyD.F4y2Ba∂GyD.F4y2Ba2GyD.F4y2Bau /GyD.F4y2Ba∂GyD.F4y2BayGyD.F4y2Ba2GyD.F4y2Ba= 0GyD.F4y2Ba描述圆形、正方形或任何平面区域内的温度分布。GyD.F4y2Ba
8.1:傅里叶级数GyD.F4y2Ba傅里叶级数分离了一个周期函数GyD.F4y2BaF (x)GyD.F4y2Ba将所有基函数cos(GyD.F4y2Banx)GyD.F4y2Ba和罪恶(GyD.F4y2Banx)GyD.F4y2Ba.GyD.F4y2Ba
8.1b:傅立叶系列的例子GyD.F4y2Ba即使函数也只使用余弦(GyD.F4y2BaF (- x) = F (x)GyD.F4y2Ba)和奇函数只使用正弦。系数GyD.F4y2Ba一种GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2BaB.GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Ba从积分GyD.F4y2BaF (x)GyD.F4y2Bacos (GyD.F4y2BanxGyD.F4y2Ba),GyD.F4y2BaF (x)GyD.F4y2Basin (GyD.F4y2BanxGyD.F4y2Ba).GyD.F4y2Ba
8.1c:拉普拉斯方程的傅里叶级数解GyD.F4y2Ba在一个圆圈里,是解决方案GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba(GyD.F4y2BaR.GyD.F4y2Baθ)结合GyD.F4y2BaR.GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Bacos (GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Baθ),GyD.F4y2BaR.GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Basin (GyD.F4y2BaN.GyD.F4y2Baθ)。边界解决方案结合了傅立叶系列中的所有条目以匹配边界条件。GyD.F4y2Ba
8.3:热方程GyD.F4y2Ba∂热方程GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba/∂GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba=∂GyD.F4y2Ba2GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba/∂GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba2GyD.F4y2Ba从温度分布开始GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba在GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba= 0并跟随它GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba> 0,因为它很快变得光滑。GyD.F4y2Ba
8.4:波动方程GyD.F4y2Ba波动方程∂GyD.F4y2Ba2GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba/∂GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba2GyD.F4y2Ba=∂GyD.F4y2Ba2GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba/∂GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba2GyD.F4y2Ba显示了波浪如何沿着GyD.F4y2BaXGyD.F4y2Ba轴,从波形开始GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba(0)和速度∂GyD.F4y2Ba你GyD.F4y2Ba/∂GyD.F4y2BaT.GyD.F4y2Ba(0)。GyD.F4y2Ba
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