从系列中:微分方程与线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院(MIT)
将线性微分方程中的每一项变换成一个代数问题。然后你可以把代数解转换回ODE解,y (t).
好的。这是拉普拉斯变换的开始。这需要不止一个短视频。但这一节我将专注于一阶方程,它的步骤很简单,也很快。然后是二阶方程。从现在开始做拉普拉斯变换。
让我告诉你们,我用大写字母表示小f的拉普拉斯变换,一个t的函数。转换为大写F,是s的函数。你会看到s的作用。或者,如果这是我正在研究的解决方案,y of t,它的变换自然被称为s的大写y。这就是我们想要的-,我们想要找到y,我们知道f。好啊
我能举个例子吗?首先告诉你拉普拉斯变换是什么。假设函数是f (t)这是变换。乘以e ^ (- st)从0到∞积分。0到无穷大。非常重要的。函数从t = 0开始,一直到t =∞。
我积分,当我积分时,t消失了,但s还在。我有一个关于s的函数,我要举个例子。求拉普拉斯变换就是做积分。你不会惊讶于我们知道的好的函数是那些我们可以做积分和发现变换的函数,然后做一个漂亮的变换表。
我们知道的第一个函数是指数函数。对于这个函数,我要计算它的变换。那我该怎么做?我要从0到∞积分,你可能会说从0到∞很难,但这实际上是最好的函数,e ^ (at)这就是函数乘以e ^ (- st) dt。
好啊我可以做这个积分,因为它们合并成e到a减st,我可以把它们合并成e到a减st,我积分,所以我得到e到a减st除以a减s。这是它的积分。因为我这里的就是这个。为了积分指数,我只需要除以那里的指数。我把t替换为无穷大,t等于0。所以t等于无穷大,从0到无穷大。好啊
无限是美好的。这很简单。我只看比a大的s。s大于a意味着该指数正在减小为0。它在t等于无穷大时达到0。所以在t等于无穷大时,积分的上限以0结束。所以我只需要减去下限。看看有多好。现在我输入t等于0。那就变成1了。
它是一个下限,所以有一个负号。所以就是1除以,这个负号会翻转s - a,世界上最重要的拉普拉斯变换。记住,函数是at。这个变换是一个关于s的函数。原函数依赖于t和一个参数a。结果依赖于s和一个参数a。
工程师会说,这是指数。增长率为a。在变换中,这就是变换,记住。这是x的变换f。在变换中,我看到爆炸-,一个极点,叫做极点-,s等于a。1/0是一个极点。
我并不感到惊讶。所以答案是s等于a。当然可以。如果s等于a,那么这是1从0到无穷大的积分,它是无穷大的。因此,看到杆子出现,我并不感到惊讶。爆炸正好出现在指数a处。但这是一个很好的转变。好啊
我需要做另一件事——哦,不,我已经可以解这个方程了。让我从方程dy dt减去ay等于0开始。哦,我可以做拉普拉斯变换,0是0,足够安全了。y的拉普拉斯变换是大写y,但这是什么变换呢?哦,我得再为你做一次变换。
我希望这个导数的变换dy / dt,与y的变换有关,所以这个的变换就是从0到∞对这个函数积分,不管它是什么,乘以e ^ (- st) dt。这是变换。这个拉普拉斯变换。
现在我能对这个积分做什么呢?这一步可以追溯到微积分的开始。但这很容易被忘记。当你看到积分里面有一个导数,你会想,我可以用分部积分。我可以对这一项积分然后对这一项求导。这就是分部积分的作用。它把导数从这移到这,这没有问题。
你还记得当我这样做的时候,一个负号会出现吗?所以我有从0到无穷大的积分-,现在导数是从中导出的,这就是t的y。导数是在这上面的,所以这是负se到负stdt。好的你们还记得吗,在分部积分中,还有另一个术语,从y乘以e到负st?这是0和无穷远处的负st。好啊
我已经通过部件进行了集成。这是一个非常有用、强大的东西,而不仅仅是一个把戏。好啊现在,我能认出一些吗?那是负数,没问题。我得出-,这是一个常数。把它拿出来,s。现在,当我拿出那本书的时候,我还剩下什么?我有ye到负stdt的积分。这就是y的拉普拉斯变换。正是首府Y。
把等号放在这里。我会把0缩小一点,把它放一边。好啊s。所以整个术语有一个很好的形式。当你得到一个函数的导数时,你用它的拉普拉斯变换乘以s。这是规定。取函数的导数,将拉普拉斯变换乘以s。如果我们有两个导数,我们将乘以s两倍。容易的
这就是拉普拉斯变换起作用的原因。但现在,这是最后一个学期。无穷大时的y-,e到t的负st等于无穷大,0。算了吧。所以我只需要将y减去0乘以e,得到0的负st,也就是1。e到0的值是1。那么你看到初始条件进入转换了吗?就像,太棒了。
我们有y的变换,现在,所有这些都是变换。这是我们找到的dy / dt的变换。我为什么要这样呢?因为我打算对方程中的每一项进行变换。
使用拉普拉斯变换有两个步骤。一个是计算一些像这样的变换,还有一些像这样的规则。这就是准备步骤。这来自于只看这些积分。
为了使用它们,我要对每一项做拉普拉斯变换。我有一个方程。对每一项做拉普拉斯变换。我得到了另一个方程。所以这个的拉普拉斯变换是sY (s) - y (0)这是这部分的拉普拉斯变换。
现在这个的拉普拉斯变换是- a常数Y (x) 0的拉普拉斯变换是0。你知道我们做了什么吗?我取了一个微分方程,得到了一个代数方程。这就是拉普拉斯变换的意义,把微分方程——导数变成乘法,代数。
所以所有的术语都变成了那个。现在,这是第一步。变换每个术语。为每个s得到一道代数题。我们已经从微分方程中的时间t变成了拉普拉斯变换中的时间s。
现在解决这个问题。那么我该如何解决这个问题呢?我将把0的y放到右边。然后我有s的Y乘以s减去a。所以我将除以s减去a。这给了我s的Y。所以这很容易做到。这道代数题很容易解。微分方程更为严重。
好的。这道代数题很容易。我们完成了吗?得到了答案,但是我们在s变量中,在s定义域中。我要回到。现在这是一个拉普拉斯逆变换。这就是逆变换。求出y (t)等于多少?
我要怎么做逆变换?现在我有了答案的变换,我想要答案。我必须反转那个变换,从s中出来,回到t。y等于0是一个常数。拉普拉斯变换是线性的,没问题。从中得到y的0。现在我有1除以s减去a。
所以我问自己,什么是变换为1除以s减去a的函数?然后就是我想放进去的那个函数。变换为1除以s减去a的函数是什么?就是我们做的那个。这上面就是这个。1除以s减去a,从函数e到at。
所以1 / (s - a)当我变换回来,就是e ^ (at)我是金色的。你会发现,这是正确的答案,微分方程的正确解。初始值y(0)以指数e ^ (at)开始。没有问题。好的。
我能再举一个一阶方程的例子吗?现在我要把它放进f (t)我要把它放进源项。我要做同样的事情,但我要有一个f (t)我要取一个指数,e ^ (ct)这是右手边。
我能重复中心思想吗?取微分方程,变换每一项。我从一个时间方程开始,然后得到一个s方程。那么dy / dt - ay,它变换成。它变换成什么?sY (s) - y (0)来自那里。- aY (0) - aY (s) - aY (s)
在右边,我有e到ct的变换。我们越来越擅长这种转变。1除以s减去c,而不是c处的a。好啊这是我们的方程变换。现在是代数。我只是从中找出Y。我怎样才能从这个方程中得到Y?
把y(0)移到另一边。然后除以s - a,看一下。Y (s)等于。这里是1 / (s - c)这里是s - a。(S - a)然后y (0) / (S - a)
我把微分方程转化成了s方程。我只是做了简单的代数运算来解这个方程。我有两项。两届。看到这个术语了吗?这是我以前的。这就是我刚才说的。它的逆变换是这个。没有问题。这是零解它是从初始值出来的。
从e到ct的新术语,来自原力,就是这个。我必须做它的逆变换。我必须弄清楚什么函数具有这种变换。你可能会说,这是全新的。但是我们可以把它和我们知道的联系起来。
好的。这就得到了相同的逆变换,指数增长。但是这个能给你什么呢?这是一个关键问题。我们要做的是,求逆,求出哪个函数有这个变换?这个函数包括a ct,时间。变换变量s,会变成时间周期t。
这是个大问题。我该怎么做?注意,它有两个极点。它在s = a处爆炸,在s = c处爆炸,我要算出,实际上,很幸运,我想把这两个极点分开。因为如果我分开两个极点,我知道在s = a处爆炸和在s = c处爆炸该怎么做。
问题是,现在我同时有两个爆炸。我要把它们分开。这叫做部分分式。关于部分分式,我还要讲更多。现在,让我来做。这个表达式,我把这个拿走。因为它给出了我们知道的那一项。
这是这一个。是一个。我想把这两个极点分开。这又是代数运算。部分分式就是代数。没有微积分。这里没有导数。我想把它写成1 / (s - c)结果是。看。有一种方法可以记住答案。
(s - c) * (c - a)和1 / (s - a)现在是(a - c)你们看到了吗,在s = c处只有一个极点?这只是一个数字。它在s = a处有一个极点,这只是一个数字。事实上,这些数字恰恰相反。
那么现在,我们是金色的吗?我可以用一个极点进行逆变换。现在我得到了y的解-,这是一个常数,1除以c减去a。这个的逆变换是什么?这是c的简单极点。它来自于一个纯指数,e到ct。正当
现在这个,这个。好的。这里有一个- c,这是c - a的对边,所以如果我加上一个负号,我可以把它们都放在c - a上,看这个。看看这个。C - a在这两个式子中。这里有个加号。这个变换来自于这个函数。这里有个负号。所以这里要有个负号。
什么函数给了我这个变换?从e到at,对吗?这就是我们所知道的。一个简单指数e到at的难忘的变换。这是特别的解决办法。拉普拉斯变换,我们变换了微分方程。我们得到了一个代数方程。我们解了那个代数方程,然后我们必须向后看,找到什么函数有这个变换y。
为了看清楚,显然我们要用部分分式的思想把这两个极点分成一个极点,当s是c时,另一个极点,当s是a时,我们得到了两个简单的分数。每一个简单的分数都给出一个指数。最后的结果是这个。我不知道你还记不记得。这是一阶线性常系数方程的正确解,这个简单的方程,右边是e ^ (ct)
因此,我们的最终解是带有初始值的空解。这个函数来自右手边,来自力,e到ct。这就是拉普拉斯变换的工作原理。取每个项的拉普拉斯变换。求解s的y,并尽最大努力反转该变换。好啊在下一节关于拉普拉斯变换的讲座中会有更多的内容。非常感谢。
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