从系列:微分方程与线性代数
马萨诸塞州理工学院吉尔伯特斯特朗(麻省理工学院)
部分微分方程∂2.u/∂x2.+∂2.u/∂Y2.= 0描述圆、方或任何平面区域内的温度分布。
今天我要讲的是三大偏微分方程中的第一个。这个叫做拉普拉斯方程,以拉普拉斯命名。你会看到偏导数。我没有时间了。这个方程是稳态的。我有x和y,在xy平面上。我对x和y都有二阶导数,所以我要求这个方程的解。万博 尤文图斯
当然我给了一些边界值。所以时间不在这里。边界值,边界位于XY平面中,也许是一个圆圈。想想XY飞机中的圆圈。在圈子上,我知道你的解决方案。
因此,给出了圆周围的边界值。我必须找到圆内的温度u。所以我知道边界上的温度。我让它平静下来,我想知道里面的温度。其美妙之处在于,它解决了基本的偏微分方程。
所以,让我们找到一些解决方案。它们可能万博 尤文图斯与边界值不匹配,但我们可以使用它们。所以u等常数肯定能解这个方程。U等于x,二阶导数为0。U等于y。这里有一个更好的,x平方减去y平方。所以x方向的二阶导数是2。y方向上的二阶导数为负2。所以我有2,减去2,它解决了这个方程。
或者,X中的第二衍生物是0. y的第二衍生物是0,那些是简单的解决方案。万博 尤文图斯但是那些只是一些解决方案,我们需要无限的序列,因为万博 尤文图斯我们将匹配边界条件。
那么这里有一个模式吗?这是0度,常数。这些是1度,线性的。这是二次的,二次的。所以我希望有两个立方的。然后我希望有两个四度的。这就是模式,这就是模式。让我找出,让我找出立方的。X立方,如果我从X立方开始,当然,第二个X导数可能是6x。所以我需要y的二阶导数为负6x。我想负3xy的平方就可以了。y中的二阶导数是负3x的2倍是负6x,从二阶导数中减去6x,它就起作用了。这符合模式,但模式是什么?
在这儿。棒极了。我用x + iy的不同次方得到了这些疯狂的多项式。这里的一次方,如果n是1,我有x + iy我取它的实部,就是x,我取它的实部。当n = 1时,实部是x。
当n = 2时呢?你能心算一下吗?我们有x²i²y²i²= - 1。有x²和- y²。看,当n = 2时,它的实部,x + iy²的实部,它的实部是x²- y²。虚部是2ixy。所以i的虚部是2xy。这是n = 2时的模式。
当n是3时,我取x加上iy的立方,这是从x的立方开始的。然后我想另一个实部应该是负3xy的平方。我想你应该检查一下。然后会有一个虚部。嗯,我想我可以像我想的那样算出假想的部分。可能是负号,可能是3yx平方减去y立方,类似的。这将是实部,当n为3时,这将是虚部。
奇妙地,奇妙地,它适用于所有的力量,指数n。所以我现在有了一个相当大的解决方案家族。一个列表,一个双列表,真的,每n的实部和虚部。所以我可以用这些来找到解u,我在寻找,圆圈内的温度。万博 尤文图斯
现在当然,我有一个线性方程。因此,如果我有几个解决方案,我可以组合它们万博 尤文图斯,我仍然有一个解决方案。x加7Y将是一个解决方案。加11x平方减去y平方,没问题。加上56次2xy。这些都是解决方案。万博 尤文图斯所以我要找到一个解决方案,我的最终解决方案你将是这个的结合,这是这个,这,这,这个,以及所有其他用于更高的n。这将是我的解决方案。我需要那个无限的家庭。请参阅部分微分方程,我们向上移动到无限的解决方案,而不是只有几个空解决方案。万博 尤文图斯
举个例子。让我举个例子。我们把这个区域设为一个圆。在这个圆中,我在寻找u (x, y)的解,实际上在圆中,使用极坐标是很自然的。不是x和y在xy平面不方便的圆里,它的方程包括x等于根号下1 - y的平方之类的,我要转换到极坐标r和。
你可能会说你记得我们有这些很好的解族。万博 尤文图斯它在极坐标下还适用吗?事实上,这样更好。所以u的解是实部和虚部。那么x + iy在r和中的值是多少?我们都知道x等于rcos加上ir sin。也就是r乘以Cos加上isin,一个令人难忘的复欧拉公式,e的i次方。
现在,我需要它的n次方。这个的n次方太棒了。n次方的实部和虚部是r ^ n e ^ in。这是x + iy ^ n。在极坐标中更好,因为我可以马上取实部和虚部。是r ^ n Cos n和r ^ n sin n。
这些是我的解决方案,我的解万博 尤文图斯决方案列表,拉普拉斯的公式。而且它的一些组合,我的最后一件事将是这些组合,一些组合。也许系数一个子n。我可以使用这些,我可以使用这些。所以也许是第n个r到第n个正弦。你可能想知道我在做什么,但我已经取得了什么,现在已经完成了,是找到拉普拉斯方程的一般解决方案。
而不是我们对普通微分方程,C1和C2的两个常数,这里我有这些家伙从达到无穷大。n达到无穷大。所以我有很多解决方案。万博 尤文图斯和任何组合工作,所以这是一般的解决方案。这是一般的解决方案。而且我必须匹配它 - 现在这是最后一步而不是简单,并不总是很简单 - 我必须把它与边界条件匹配。当然,这就是会告诉我常量。像往常一样,C1和C2来自匹配条件。
现在我不只有c1和c2,我有a的无限族,b的无限族。我还有很多东西需要匹配,因为在边界上,我必须匹配u0,这是给定的。所以可能会给我,假设给我u0等于上半部分的温度等于1。在下半部分,假设温度为-1。这是一个典型的问题。
我有一个圆形区域。上半部分保持在一个温度下,下半部分保持在不同的温度下。我达到平衡。大家都知道沿着这条线,由于对称性,温度可能是0。但一旦温度上升到一半,就没那么容易了。答案是u在中间,u (r)和里面由这个公式给出。同样地,ANs和bn通过匹配得到了边界上的正确答案。
嗯,那里有一个大理论,我如何匹配这些?那是一个傅立叶系列。那是一个傅立叶系列。因此,我正在找到傅里叶系列,A和B的系数,它与边界周围的功能匹配。我可以匹配任何功能,傅里叶系列是另一个完全独立的视频。
我们已经完成了一个圆的拉普拉斯方程。我们已经把这个问题简化为傅里叶级数问题。我们已经找到了通解。然后匹配一个特定的给定边值,这是傅里叶级数问题。所以我要把它放到傅里叶级数的视频中。谢谢你!
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