从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院(MIT)
当力是脉冲δ时(t),脉冲响应为g (t).当力是f (t),响应是“卷积”的f和g。
好的。这是关于拉普拉斯变换的又一件事,引入了一个新词,卷积。所以我们要用新的语言,新的方法,找到旧的公式。但这个公式大家都很熟悉。这个问题是我们的基本问题,二阶,线性,常系数,带有强迫项。
我们知道拉普拉斯。我取零边界条件。所以拉普拉斯变换就是(s²y, sy)这就是这个方程的变换。没有问题。
现在我要除以这个。我把它移动1,我叫它G,所以G等于1 / (s²+ b + c)这就是传递函数的名字。然后这是强迫项的变换。
好的。在除法之后,我们得到了y (s)的一个很好的公式。这是一个产品。我们想要的解的变换是这个变换乘以那个变换。这是脉冲响应的变换。这是右边的变换。现在我有一个拉普拉斯变换的问题。
假设变换是一个关于s的函数乘以另一个关于s的函数,它的逆变换是什么?逆变换是什么?什么函数y (t)给出G乘以F?我要回答这个问题。答案是g和f,它们给出了这个。但我不只是把它们相乘。能给出正确答案的新运算叫做卷积。我用个星号。
现在我要讲卷积是什么意思。这是一个普遍的问题。如果我有两个函数相乘,然后我想要逆变换,然后我取两个独立的逆变换,小g和小f,然后对它们进行卷积,做卷积。我来告诉你们什么是卷积。
卷积是——这是卷积的公式。它是一个函数从0到t的积分——也许我最好用大写的t,更好——乘以另一个函数,积分。这就是卷积。
那么我在这里得到了什么呢?还是原来的公式。我们在一开始描述的公式是输入f,剩余时间的增长因子g,通过积分把所有这些放在一起。把所有的投入和它们的增长因素放在一起。将它们整合到一起。这是y,这是一个熟悉的公式,只有一个新词。但是你们可以看到,我可以直接得到答案,一旦我知道了卷积公式,我知道这个函数的变换是。我再说一遍。其变换为GF。
如果把变换相乘,就是卷积函数。从另一个角度来看,如果我将函数相乘,我将对它们的变换进行卷积。所以卷积增加了我们在拉普拉斯变换上可以处理的函数的数量。因为它告诉我们如何处理乘积,G f,或者它告诉我们如何处理G f。s manbetx 845
我快讲完了,因为我不打算检查。我可以。但这不是正确的地方。这本书做得很准确。我不打算检验这个表述是否正确这个变换就是这个。但这是事实。但我打算举个例子。
第二阶段有点麻烦。我举一个一阶的例子。举个例子,方程dy / dt - ay。这是我们通常的一阶微分方程。把e ^ (ct)写在右边。好的。我这样做是因为我可以用变换来检查所有的东西。
我从0开始对这两个向量进行变换。所以它的变换是sy (s) - a y (s)等于,我知道f (s)我知道它的变换是1 / (s - c)所以这就是,s - a提出来了。y (s)等于1 / (s - a)和(s - c)
再一次,这是最简单的微分方程带有一个强迫项,我可以用它作为例子。现在我要找的是y (t)我要找的是y (t)我要用卷积的语言。
这是e ^ (at)的变换。这个变换是。我把它看成是e ^ (at)的变换,和e ^ (st)的变换,所以有一个因子。还有另一个因素。
根据卷积公式,我可以写出逆变换,我想把y (t)作为积分。我只是复制卷积。但我知道它的函数。这是从0到t的积分,得到什么?g (t - t) 1 / (s - a)的逆变换是什么?它是e ^ (at - t) 1 / (s - c)的逆变换是什么?e的cT / dT次方。
我已经用了,我只是把我知道的代入了卷积公式。这应该是正确答案。我可以做这个积分。得到什么?我很确定得到e的。下面会有一个。我要把这些指数组合起来。得到c - a,很完美。
E的ct次方,减去E的at次方。这是正确答案。这不仅是卷积公式告诉我的,也是我所知道的。这个例子很好地说明了。我没有使用部分分式。通常我会把它分成部分分式,然后我就能认出答案的这两部分。
这次我没有那样做。我用的不是部分分式,而是卷积公式,我用的是积分,或者说差不多。我们能做到。我们得到了答案。
好的。这个视频的重点是简单介绍卷积的概念,也就是我们需要的量,我们需要的函数,当变换是两个变换的乘积时。好的。谢谢你!
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