好的,这是我关于拉普拉斯变换的第二集视频,这集是关于解二阶方程的。
让我回忆一下计划。这就是二阶方程。我先举这个例子,函数在右边。这是一个很重要的例子。实际上,我们有一个特殊的字母表示解。这是一个脉冲。解就是脉冲响应。我用了一个小g,所以我应该把这个y变成g,所以g是解,从0个初始条件开始,带一个。
计划是什么?我们要对每一项进行变换。我们要检验一下,函数的拉普拉斯变换是什么?你们还记得变换的定义吧。就是这个积分。取函数,不管它是什么,乘以e ^ (- st)然后积分。S从0到无穷。
很容易用函数积分。它是0,除了t = 0时的脉冲。t = 0时,这是1。所以答案是1。这就是脉冲的拉普拉斯变换。现在我要求脉冲响应的变换。
脉冲响应来自于这个方程。现在,变换每一项。g的变换叫做g函数的变换是1。导数,你们记得,有一个额外的因子,s。在第一个拉普拉斯变换视频中导数的变换是s乘以g (s)
二阶导数,另一个s,所以s²,乘以g (s)我们并不惊讶看到这个非常熟悉的二次方程,它的根是两个指数s1和s2,出现在这里。我们每次都见过这个,因为我们有常系数。我们总是看到这个量。现在我们看到,看,这个变换,大写g,除以这个。它就是传递函数。这就把传递函数和脉冲响应的拉普拉斯变换联系起来了,因为分母上有这个。
好,现在我要——我已经对方程做了变换。我得到了g的变换,即脉冲响应。现在我可以用拉普拉斯逆变换求G的脉冲响应了。我怎么求这个函数的拉普拉斯变换呢?
现在,它是1 /一个二次方程。部分分式的思想就是,把G (s)分开,这是最后一步。它是G (s)你记得这个多项式有两个根,s1和s2。我把它写成1 / (s - s1)和(s - s2)
这是二次公式的两个根,我们可以说,G (s)的两个极点,现在我想用部分分式。我想把它分成两个分数。结果是1 / (s - s1) - 1 / (s - s2)这里有一个因子可以使它正确。你可以查一下。当你把这些放在分母上,就得到这个。当你把它除以公分母,就得到分子,这个要消掉。好的。
现在我有了两个单极。我可以把已知的g (t)写在这里。记住,这个变换后的函数就是e ^ (s1 t)所有变换中最重要的一个是指数的变换,就是那个简单的极点。
现在我求拉普拉斯变换的倒数。得到e ^ (s1 t)减去这个变换后的函数,等于e ^ (s2 t)还有这个常数,s1 - s2。
我重新发现了脉冲响应。这是我的脉冲力方程的解。正是这个特殊的函数在常系数微分方程中起着如此重要的作用。因为你知道这是很关键的。这是临界传递函数,这是拉普拉斯逆变换。它的拉普拉斯变换就是这个。很好。这就是那个例子。
现在我只想取另一个函数而不是。好的。我可以一直取f (t)任意f (t)不过我还是举例子吧。现在我要做y' ' + b y' + cy,它们都是最重要的例子。我们能做的最好的是cos t,一个振荡问题,有一个振荡力,频率不同于固有频率,我们也有阻尼。
这就是标准的弹簧质量阻尼问题,或者说是RLC电路问题,当然是RLC电路,非常重要。你可能还记得解有点乱。解决方案有点混乱。这非常重要,但是——所以我要把它放到最后一步。但我可能不会迈出最后一步。我想让你们看到的是拉普拉斯逆变换的另一个例子。
那么我们需要什么呢?我们需要它的拉普拉斯变换。我打算对每一项做拉普拉斯变换。s²+ b + c,相乘。我在改变一切。这里我要把它的变换。好的。我怎么得到它呢?当然,这里可能有sin t。我真的很想同时得到它们。
我把它们都写下来。cos和sin是e ^ (i t)的实部和虚部,对吧?欧拉公式。E的I t次方是cos t,实部,加上I sin t,虚部。
但是现在我知道了e ^ (at) e ^ (I) t的变换,所以它变换成,我想求1除以的实部和虚部,你们还记得吧。还是那个简单的极,s - i的指数。
我要同时求出cos和sin,通过一次计算,求出它的实部和虚部,1 / (s + s - I)如何处理一个极点,如果你想求实部和虚部,你很乐意在分母上得到一个实数然后看到上面的实部和虚部。我不喜欢它在下面。
我要做的是,实部和虚部,我要乘以s - I。这是复数的关键技巧。它出现得够多了,所以学习它很好。我用它乘以它的共轭,s + I除以s + I。所以我乘以1。
但是你看,现在发生的是,实部和虚部——我得到了我想要的,s + I现在在分子上,我可以看到它。下面是什么呢?(S - I)乘以(S + I)非常重要的量。S的平方减去i的平方,加上i的平方,减去i的平方,就是加上1的平方加上的平方。好的。我们做到了。
我把cos和sin转化成了s除以这个,和除以这个。一次两个,两个变换。当然,和往常一样,我们能够做,识别,并处理一组特殊函数的变换,首先是指数函数,来自指数函数的正弦和余弦,函数。名单很短。这些是我们可以做的,幸运的是这些是我们需要做的。
好了,现在我可以代入右边了,结果是什么?结果是s来自cos,我现在不是在做sin,是cos。取实部。等于s除以(s²+²)你听懂了吗?左边,一切正常。我从0个初始条件开始,否则我就会看到这里的初始值。但我没有,因为它们是0。
在这里,我得到了右边的变换。好吗?然后我把它写下来。最后,我知道y (s)等于s除以这个非常重要的二次方程,然后是s²+²。
好的。好吧,你看,它确实变得更难了。我们从二次方程得到s的平方。我们有两个二次方程。下面有一个四次多项式。部分分式也可以。对于任何多项式,部分分式都可以化简,但是当你达到四次的时候,代数就会变得很糟糕。但实际上,这是可以做到的。我也不打算这么做。对我来说,这最终会给出这个例子的答案。 But we have other ways to get that solution. And I believe, for me at least, the other ways are simpler.
我知道解是cos t和sin t的组合,这就是我说的特解。我可以算出这些组合是什么,因为我知道正确的形式。这里,我要处理部分分式和四次,在下面。我要临阵退缩了。我不会完全退缩。我来告诉你这些碎片是什么样的。但我不会算出所有的数字。好的。
所以所有这些,我把它看成一个常数除以,它分解成s - s1 - s2。这是两个根,就像我们上面看到的。我有一个线性的,一个线性的,一个二次的。部分分式的意思是我可以分离出第一个线性项,第二个线性项,第三个二次项,我也可以因式分解,我可以把s²+²分解成这个乘以那个,但是它带来了虚数。所以我写上cs和d。四个数字有待确定,或者更确切地说尚未确定。因为我就讲到这里。
我发现这部分是零解,是零解因为它涉及到e ^ (s1 t)和e ^ (s2 t)这部分,当我求逆变换时,它一定是cos t和sin t的组合,所以这是某种组合,当我发现它是——的变换
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