从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院(MIT)
振荡方程D.2y/dt2+ sy =0有2N万博 尤文图斯解决方案(田间和余弦)。万博 尤文图斯解决方案使用特征向量S.
好的。现在,我会有微分方程,方程组,所以会有矩阵和向量,使用对称矩阵。它们是二级反应。二阶导数,y是向量。S是对称矩阵。这是我们第一次准备最基本的物理方程,力学方程,振动弹簧,这么多的应用,旋转力矩。这在应用中非常重要。有限元,巨大的有限元代码,一直在解这样的方程。这里没有阻尼项,也没有强迫项,所以我要找的是零解来满足初始条件。万博 尤文图斯我没有强迫项。
好的。所以真正的中央方程总是如此。这是牛顿的法律,是这是什么 - 质量时间加速。所以M将是一个矩阵,通常是对角线矩阵,告诉我群众。记住,我在这里有n等式,所以我有n群众,因为你会看到。而且我有,让我们说,一堆连接这些群众的弹簧。然后,在乘以y本身的矩阵k,并且始终称为刚度矩阵。
所以,实际上,在应用程序中,第一项工作是处理问题并创建这些矩阵。我给你们举个例子,但假设我们已经得到了它们,我们如何解决它们呢?我们一直在寻找时间与向量x分离的解。我把它代入方程,得到M,二阶导数会使Iω下降两次。E到iωt x,对吗?加上,这个项,K乘以e到iωt x,应该是0。所以我只是用期望的形式来代替解。在这种形式下,指数因子可以抵消。我明白了,我有一个特征值问题。让我看看这个特征值问题。我要把它放到另一边。但万博 尤文图斯我的平方等于负一。我只剩下Kx了。好吧,让我把这个放在另一边,因为它有一个负号。然后当我把它放在那里,会是一个加号。
M²x,这是一个特征值问题。这是特征向量。这是特征值。哦,但是我们有两个矩阵。这有点新鲜。然而,这对MATLAB来说并不新鲜。用MATLAB命令来找到这些特征值,我把这些特征值叫做,那么现在是的平方,因为两个导数向下写了两次。但是我们有两个矩阵,所以MATLAB命令将我K和M .如果你定义矩阵K和M,你调用命令,它将产生的特征值和特征向量x,你可以说,广义特征值问题,两个矩阵特征值问题。它有一个K,像往常一样,然后它有一个M,但很多时候,M是恒等式的倍数,没有问题。
好的,这是我们遇到的特征值问题。这是解决它的命令。好的。这是第一步,是寻找这种特殊形式的解。万博 尤文图斯
现在让我们做一点点。我们期待多少解决方万博 尤文图斯案?我们有多少初始条件?所以我们最初,我们当然是0,当然是初始条件,位置。但是,我们还以二阶方程给出,我们还给出了初始速度,y·y·y为0,而那些是载体,因为那些告诉我们n群众的初始条件。所以我有0个来自y的n个数字。两个n,全部在一起,初始条件。我需要两个解决方案。万博 尤文图斯我将需要两个n个解决方案来匹配两个n初始条件并解万博 尤文图斯决 - 解决方程。
好的,所以他们看起来像什么?好的。在这里,我已经继续应用了。所以,再次,我认为群众是平等的。以下是群众,M,M和M.等等,我最终用3乘3个矩阵。我有三个未知数,n是3个问题。而且我有4个春天。这些都是春天 - 也许我让他们看起来有点突然。好的。它们在顶部连接到固定支撑件,底部到固定支撑件,它们彼此连接。万博1manbetx
你知道会发生什么吗?当我,也许我,在初始条件下,我把所有的质量拉下来?作为初始条件,我释放?然后它们会上上下下,就像弹簧一样。它们的位置就是微分方程的解。M y ' ' + Ky = 0。所以我不是,我只是开始动议,然后退出。所以我没有强迫,这不是强迫运动。它是纯振动,纯振动。正确的。
耦合,几个振子是一对,这是新的。我们都知道这个方程当y是一个标量时,只有一个方程。我们知道,这就引出了K / m的平方根,这是一个1 × 1的特征值问题,现在我们有一个3 × 3的特征值问题。质量矩阵很简单。这是刚度矩阵的样子,如果所有的弹簧都是一样的。我只是想看看问题中会出现什么样的矩阵。是时候写下解决方案了。万博 尤文图斯
好的,那么我们从解中记住了什么?我们记住了解是这样的。我有,但我有三个可万博 尤文图斯能的特征向量,因为我有3乘3的矩阵。这将给我三个解。但我想要六个,因为我有六个初始条件。让我把这六个解写下来。
Y、 解是,次常量乘以ωt的余弦,乘以第一个特征向量。另一个常数乘以ωt的正弦,乘以第二个特征向量,乘以第一个特征向量,对不起。第一个特征向量,我有三个特征向量,对于每一个,我得到两个解,一个是余弦,一个是正弦。频率是ω1,你要记住λ,λ是ω的平方。如果我在这里写ω1,它是λ1的平方根。这是λ1的平方根。万博 尤文图斯
到目前为止,我有两个解,来自第一万博 尤文图斯个特征向量的特征值,余弦和正弦。然后,我还有A2和B2,还有A3和B3。我只是简单地说,A2,B2和omega,使用omega 2和x2。然后他们将是A3和B3,使用omega 3和特征向量x3。
这很愚蠢。这就是我的意思代表。我不想用2的重写所有这些,然后用3次重写它。这就是解决方案的样子。
当我们匹配初始条件时,会发生什么?我说t等于0,对吗?当我说t等于0时,正弦消失了。所以A匹配y等于0。所以A匹配y等于0。当我看初始速度时,导数,余弦的导数是正弦,它是0。但正弦的导数是余弦它是1,所以我会看到B与y的素数0相匹配。
我想让总数变成6个。所以有三个,三个初始位置,三个A。有三个初始速度,因为有三个质量,有三个B。我找到了完全匹配的,一共有六个。六个常量,六个要匹配的数字。一切顺利。
好的。我想举个例子吗?确定。让我以一个特定的例子结束。举个例子,最好是2 × 2。我能做2 × 2的问题吗?我的问题是y ' ' + S,这里有K,这里有m除法,这里有2 2 - 1 - 1 y = 0。这是我的方程。
现在,我说的是,关于弹簧的问题,第一个质量m,一个弹簧,第二个质量m,和一个弹簧。两个质量,两个相等的质量,三个相等的弹簧。这是我的方程。
那么解决方案是什么呢?怎么解呢?我需要矩阵的特征值和特征向量。这是我的矩阵s,这是我的矩阵s,它是对称的,它有物理常数。弹簧的刚度除以质量,k / m,我们期望k / m总是出现。我们需要特征向量。它们是什么呢?它的特征值是1乘以k / m, 3乘以k / m,因为轨迹是4。2加2等于4。行列式是3。 4 minus 1 is 3. Those are the two eigenvalues. And these are the omega squareds, remember.
好啊这就是我从rest开始系统的方式。所以我把这些物体拉下来,或者我把它往上推,再把它往下拉,随便我喜欢什么。我抱了一会儿,然后放开了。我没有给他们一个初始速度。他们从休息开始,所以B是0。所以,0的y素数,0的y素数,从静止状态开始,是0。这将给我B的是0。
所以我的解决方案将是,我的一个余弦,所以特征值余弦,我将k的平方根拿出一个kf in t time的第一个特征向量 - 其中一个特征向量。这个的特征向量,可能是1,1.然后是另一个特征向量,并且它将具有欧米茄的平方根的余弦,我必须采取平方根,所以这是3,k的平方根m t, times its eigenvector, which I think is 1 minus 1. It's going to be perpendicular to that one.
我已经解决了这个问题。A1和A2由初始条件确定。
现在你们看到运动中发生了什么吗?这是本视频的最后一点。这个带有特征向量的运动,两个质量是同步的。他们一起成长,起起落落。这是问题的一个特征向量。它有一个特定的频率它们上下波动-根号k / m,我们的老朋友。但同时,对于两个质量,它们也可以相互抵消,就像这个运动。它来自这个特征向量,它发生在一个更高的频率。所以这些是,最终的解决方案是质量一起运动,振动较慢,质量相对运动,振动较快。两者的某种组合就是解。 And then if we had three masses, there would be three oscillations. One where all three are going together, one where the outside ones are opposite, and one where all three are, I see opposite signs.
这是一个美丽的主题。高度发展,非常重要的应用。但这是你所希望的最好的解决方案。
好的,这是一个二阶系统,解决了,很好。
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