微分方程和线性代数,8.4:波方程
从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特-斯特朗,麻省理工学院(MIT)
波动方程∂2u/∂t2=∂2u/∂x2展示了波沿着x轴,从一波又一波的形状u∂(0)和它的速度u/∂t(0)。
好的。这个视频是关于第三大三个偏微分方程。拉普拉斯方程是一号。这叫做一个椭圆方程。热方程是二号。这叫做一个抛物线方程。现在我们到达波动方程。这是3号,它被称为双曲型方程。所以这三个椭圆方程提醒我们,抛物线,双曲线。
他们有不同的类型的解决方案。万博 尤文图斯拉普拉斯方程,你解决它在一个圆形或在一些封闭的地区。热方程和波动方程,时间进入,你前进。热方程是一阶,du / dt。波动方程,全面的波动方程,二阶。代表二阶导数,d第二u dt平方。和它匹配的二阶导数空间速度系数c的平方。
我在一维空间。如果我是在三维空间中,我们真的有声波和光波的最重要的事情在生活中,然后会有uxx uyy和uzz,二阶导数在所有方向的空间。但这是1 d足够好。
所以有什么不同之处,首先,在热方程和波动方程?所以我说热与波方程。最大的不同是什么?热,信号传播无限快。根据波动方程,与有限的信号传播速度,速度是这一数字c和c的速度。
所以声波,幸运的是,波来我们,或者当我和你说话,我的声音是旅行的麦克风声音的速度,速度c。实际上,另一个好处是它后,它的流逝,流逝的,不只是呆在那里把未来的声音。它的旅行。它死了。
然而,热。所以让我试着给一个例子。假设初始条件是δ函数。如果u =δ函数,一个点源,很正常。点热源,非常热,或一个点声源,我的声音。所以,在t = 0。然后热方程,有一个著名的解决热方程。
记住,du / dt等于uxx热方程的一阶导数。和解决方案,从δ函数?哦,我知道它是什么吗?我认为有1 /——有一个根号4πt。有一个e - 4 x²/ t。我想也许这就是它。也许就是这样。
我看到什么?我看到大阻尼。我看到直接的旅行。一旦时间是一点超出0,然后为每一个x我们得到一个答案,但这是一个非常,非常小的答案。e - x²下降为0非常快。这是一个非常小的答案。很少立即变得很热,很快整个海洋。但在理论上,一点点。
而对于波动方程,它需要时间来穿越海洋。我们有一个海啸。我们有一个波。它在那里。它到达另一边。实际上,在——这是非常重要的。的速度,波告诉人们关于海啸的到来,你可以这样做,你不能做热方程。
所以对于波动方程,出来的δ函数1 d ?去正确的浪潮,一波去了。这是发生了什么。这些波是δ函数的1/2。所以δ函数的解决方案是1/2的旅行。我看到,让我写下旅行的另一半,δx + ct。
这是一个很酷的解决方案。这意味着1 d的声音,这声音,一半需要朝一个方向走,在另一个方向。和发生在每一个方向都是高峰的声音。你什么都没有听到,那么在一个特定的时间,取决于你的立场x,有一个特定的时间当你得到0,你听到信号。然后就随着时间的过去,你的过去。所以你会得到一个很大的冲击,你速速c。
如果你看看这个表达式x - ct,它告诉你,波的速度在dx dt波是c。这是一个非常特殊的初始条件的对比——一个巨大的水墙,了一声巨响,一个大爆炸。好的。
我想解决波动方程,进一步研究其他初始条件。当然,初始条件的复数,因为波方程是二阶。所以我给你在t = 0 x和du / dt。我考虑到的水墙的初始分布,我们说,和它的速度,正常的事情。
当我有一个二阶方程,给出一个初始条件和初始速度。当然,因为它是一个偏微分方程,我给那些对每一个x。所以我们有功能而不是两个数字,这就是一个傅里叶级数可以进来。
所以我们可以解决,通过傅里叶级数,如果我们在一个有限的——就像小提琴的弦。你把小提琴弦波开始来回的字符串。他们解决了波动方程。你听到的音乐,美妙的音乐,如果这是一个很好的声音。或者我们可以解决它在一个无限的线没有边界,在本质上是无限的海洋或波在空间。光波在空间中求解波动方程没有边界,据我们所知。
好的。所以,我该怎么办?我写在自由空间解决方案,然后我写一个小提琴弦。所以在空间,这里的一维空间。这是负无穷小于x小于无穷。
然后波动方程的解是什么样子?它看起来像一些+ x + ct的函数的函数。嗯,这就是我们这里的形式δ函数时。在这里,一般来说,他们没有δ函数。我选择函数,函数g t = 0时,我很好。所以在t = 0,所以我设置t = 0。在t = 0时,u (0 x将f (x + g (x),很好。
但只有一个条件,我有找到f和g。所以我也在开始使用du / dt。时间导数是什么?在x - c f ',这将是一个的时间导数+ c g ' x。没什么大不了的。我给两个函数。我有两个函数来找到答案,而且我有两个方程。我可以解决这些f和g,它给出了一个公式称为达朗贝尔公式,一起把这个人的名字命名的。
我宁愿去小提琴,一个有限的字符串。好的。现在我有一个有限的字符串,在结束我持有u = 0。好的。和我的解决方案仍然是功能取决于x - ct波。我的解决方案仍然是波。
的解决方案,我将写下来自一个非常,非常重要的方法称为分离变量。我想单独的x从t。我需要给你一个完整的视频分离变量。这是我们最好的工具解决大量的方程。万博 尤文图斯
让我跳的形式解决方案。我想象的小提琴弦处于静止状态。所以开始——我想象,假设在我们的特定的问题,这是0,初速度。这是摘。起始位置是——用手指你搬掉0。好的。
解决方案是什么样子,u 万博 尤文图斯(x t和?好的。他们将一笔整洁,特别方便,分离的解决方案,意义分离t x。我认为我们会分开cos nct。万博 尤文图斯我要有一个和。哦,我们会有一个系数,当然,子,或b或c,甚至d。如何——d an d新信。我想,我在这里完成。我分离,从我认为这可能是nx的正弦。好的。
如果我们只看一点,那就是这个视频。这是x = 0。说,这是x =π。这是为了方便。假设我们的小提琴弦长度π,然后,我想,这就是解决方案的样子。它从t = 0。在t = 0,余弦是1。所以在t = 0,这是一个初始条件,我们必须匹配。这就告诉我们d将dn正弦nx的总和。这告诉我们d。 And then we have our answer.
因此,初始条件——记住,开始休息。初始速度是0,这就是为什么我没有任何sin t是因为我从初始速度为0。我只有在t方向余弦。但是我只有正弦在x方向上,因为小提琴弦在两端,它完美的正弦函数相匹配。
这是分离变量t x。分开,我真的要做一个适当的解释,这样的解决方案非常重要的方法。万博 尤文图斯谢谢你!
你也可以从下面的列表中选择一个网站:
表现最好的网站怎么走吗
选择中国网站(中文或英文)最佳站点的性能。其他MathWorks国家网站不优化的访问你的位置。