好吗?最后,一个非线性方程。增长,但是增长被竞争阻断了,减缓了我的竞争。
我给你们看一下方程。在某种程度上,这是我能想到的最简单的非线性方程。我们有dy/dt = ay。这将带来指数级增长。这种增长将永远持续下去。然后,当y变大,如果我们把y看成人口,当出生率高于死亡率时,增长是指数级的,然后增长。我们做到了——这就是正在发生的事情。
但我们的世界人口不会永远呈指数增长。这是一个简单的术语,一个简单的模型不是很准确,但这是一个正确的起点。对于竞争,当你有很多人的时候,用y乘以y得到了所有y个人与他们自己的互动次数。这些相互作用,竞争减缓了增长,所以系数是负的。
我们想解那个非线性方程并从中学习。它叫做逻辑方程。这是一个很著名的例子。它有一个巧妙的技巧,可以让你很容易地解决它。
让我给你演示一下那个技巧。技巧是让z,引入一个新的z作为1/y。然后,如果我写出z的方程,它就会是线性的。所以你看,我总是希望,在这里成功了,回到一个简单的线性方程。这个设备恰好可以解决这个问题。
最后,我们需要一种更系统的方法来解决其他问题,比如在收获过程中会有常数项,改变方程。让我选这个。
那么z的方程是什么呢,dz/dt。它的导数,y ^(- 1)等于- 1 y ^ (- 2) dy/dt,对吧?y ^(- 1)的导数是- 1 y ^(- 2)乘以dy/dt的导数。现在dy/dt等于ay - by²。
我得到了什么?我有一个,带一个负号,ay / y²。这是z,所以这是- az,减去减去(a + b) y²/ y²是个常数。
现在看一下z的方程。再好不过了。Dz /dt等于- az加上一个常数。我们知道这个方程的解。所以我可以写出这个方程的解。我会的。然后取y = 1 /这个解。我可以直接把y写在前面。我把答案写成y,也就是1/z。z是这个方程的解。 And let me see. So I'm going to have an exponential, but it's going to be-- the exponential e to the minus at is going to show up in z.
他们会更多地出现在那里。它会出现在z中,然后当我用1/z得到y时,指数会进入分母。这才是新的。这才是新的。让我把整件事都弄清楚。我有一个a,否则,这些是常数d, b在那里。我只需要告诉你d是多少。
D包含初值y (0)在时刻0,从y(0)开始。我们将开始成长。我们会成长。但是由于减速项让我们后退了。最后,它不能永远增长因为这一项比这一项大。
如果y一直增加,它就不可能发生。所以它只有在这条线为正时才会增加,只有在这条线以下这条线为正时才会增加。这就是曲线的作用。它向上,但它不能穿过这条线因为在这条线以上,对于大Y,在这条线以上这个负项意味着斜率是负的。
如果我从一个大数字开始,我就得往下。但我能把它画出来吗?但我认为世界人口是在这两条线之间。所以它从-∞开始。不管怎样。它一直到时间0。这是t = 0,初始总体。当然,t = 0可以是2000年。
我们可以随意移动时间轴。t = 0可能是2000年。我们的人口仍在增加,但不会永远持续下去。它会减慢,接近极限a/b,接近a/b。
所以a/b对于这个方程来说是特殊的。让我想想这部分。我们给这条曲线起了个名字。它通常被称为逻辑曲线。没关系。但是我喜欢S曲线这个名字。这是一条S曲线。在某种程度上,或者是s型曲线。在某种程度上,它看起来有点像一个S,一个非常拉长的S,所以——你知道为什么了——看这里。
当t→∞时,这个变成0。当t变大时,这个指数消失了。在极限处有a或b。当t等于负无穷时,回到开始的时候,当t等于负无穷时,这是个巨大的数。这是,我要除以一个巨大的数字。这是0。所以回到负无穷时,它从0开始。
这两种可能性,y = 0和y = a/b,是这个方程的关键。我要花几分钟来看看这些是怎么来的。这些都是稳态。让我用这个词来表达我的意思。
稳态,临界点,dy/dt方程。我再写一遍逻辑方程。稳态是指y的导数为0。什么也不会发生。它只是坐在那里。如果这是0,稳态,我用大写Y表示稳态。这些只是数字。它们是ay - by²= 0的数。
如果我从y开始,y是稳态,那就是0。导数是0。我呆在那里。有两种可能。如果我开始——这给了我两种可能,对吧?这个方程的解是什么?万博 尤文图斯
显然y = 0是一个解。或者y等于,我看一下。如果这个等于那个,我可以消去y y等于a/b,就是图上的两个。如果从0开始,就一直是0。没有人口。什么也不会发生。但如果我移开一点,如果我有两个人,我们就会成长。我们在一段时间内呈指数增长,但随后平方项进入,使我们减速。
然后慢下来,得到a/b。如果从a/b开始,就会一直是a/b。所以S曲线是一个很好的解的图像。这是稳态的解,没有方向。在人口、竞争和合作平衡的稳态下,有一个解,什么都不发生。
否则,只要有S曲线,它们就不会相交。取决于我们在哪里,取决于初始值,我们会越过这些曲线。它们都达到了承载能力,也就是限制人口数量,a/b。
关于这个方程,最后一个重要的信息是,作为一个稳态方程的例子,这个稳态被称为不稳定状态因为如果我们从y = 0附近开始,就会起飞。y = 0附近开始,就开始增长。我们离开稳态。这个稳态之所以叫稳定是因为如果离a/b很近,就会越来越接近a/b。
我来举个例子。这将是一个普遍问题的例子。dy/dt是y的函数,它的右边依赖于y,这将是我们下个视频,为了理解这些方程dy/dt等于f (y)注意它们不是线性的。
但是我们可以解出稳态。当f (y) = 0时为稳态。然后,什么都没有发生。但是稳态稳定吗?还是不稳定?这对所有应用程序都是至关重要的。我们达成了可以接受的协议了吗?还是我们要面对一些不可能的事情?这是下个视频。谢谢你!
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