从系列:微分方程和线性代数
马萨诸塞州理工学院吉尔伯特斯特朗(麻省理工学院)
∂热方程u/∂t=∂2u/∂x2从温度分布开始u在t= 0并跟随它t> 0,因为它很快变得光滑。
这是热方程视频。所以这是三个基本部分微分方程中的第二个。我们有拉普拉斯的等式,那是 - 时间不在那里。现在时间进入了热量方程。
我们有一个时间导数,和两个匹配的空间导数。这就是函数。我的解依赖于t和x,我希望我能把这两部分分开。这和我们解一般微分方程组的方法一模一样。我们提出了e ^ (t)这里是特征值,然后我们有了特征向量。这里,它是一个特征函数,因为它依赖于x,我们之前没有x,但现在我们有偏微分方程。X也是这里的一个坐标。所以我寻找这样的解。万博 尤文图斯和往常一样,我把它代入微分方程来发现是什么决定了S S (x)
时间导数得到。空间导数下移,有两个空间导数。这就是当我把e ^ (t S)特征值乘以特征函数代入方程时得到的。总是,我消掉了e ^ (t)这就是它的美妙之处,我得到了一个特征值方程,或者我再次寻找一个函数。函数的二阶导数是某个数,乘以函数。好的。我要找的函数S,是正弦函数。S等于,S (x)等于sin (K x) sin (x)某项的符号乘以x。
特征值是什么?对它求导两次,得到sin k x,这很好,这是一个特征函数。特征值出来了,是,当我求两个导数时,k提出来两次,带一个负号。所以是- k方,方。我找到了一堆特征向量,特征函数,特征值。
这是一个简单的组合,但是通解,通解u (t x)是?如果我知道几个解,我有一个线性方程,万博 尤文图斯我就取组合。我们总是这样。取这些基本解的组合,得到一个求和,k从1到∞。万博 尤文图斯在微分方程,偏微分方程,我这里需要一大笔,一些系数,我称之为B k,乘以这个解决方案,e的λλ是什么——- k的平方,π方t, S, S数k。我应该给这个本征函数的数字,k。
所以有,这是我的特征障碍和特征值。然后,这是这些解决方案的组合。万博 尤文图斯有一般解决方案。对于S k,我应该用正弦k pi x写成。这是对T的依赖。
让我们来看看这个。对t的依赖是快速衰减。如果K,随着K变大,这个和后面的项,衰减非常快。所以衰减最慢的一项,k = 1,有一个B1, e ^(-²t)它衰减得很快。
当我在谈论腐烂时,在这里发生了什么?我有一个酒吧,一个材料吧。杆的端部保持在温度零,它们被冷冻,热量在杆中。热量在杆中流动。它在哪里?它流出了目的。酒吧正在接近冻结。端部保持在冻结,然后在杆的内部,在开始时存在任何热量,将流出末端。
所以,你看,我有这些正弦函数。当x为0时,正弦为0,以便在一端冻结。当x为1时,我有k pi的正弦,即再次,0,所以它在另一端冻结。所以我在两端都会冻结它。温度脱离中心,所以让我绘制解决方案。
所以,我开始 - 这是我的酒吧从0到1,我将它保持冷冻。F用于冷冻,f用于在该端冻结。也许我,也许我开始用温暖的酒吧开始。所以你在0和x,我会说这是1.这种方式是x。所以我有一个普通的加热杆,我把它放在冰箱里。所以我绝缘侧面使得热量脱落两端,突出端x等于0,结束x等于1.且解决方案是,让我记住一般的解决方案看起来像什么,我必须找到什么这些数字。
好的。当然,这些数字当然,通过匹配初始条件,始终找到这些数字。这是初始的,这是初始图片。好的。所以我必须匹配它的 - 所以这是t等于0,我必须匹配b k的总和。这是k从1到无穷大。当t是时,当t为零时,这是1,我只有sk。K PI X的正弦,必须匹配1.以及从中匹配,我找到了BK的,然后是最终解决方案。t大于0使用这些BKS。我们再次面临傅里叶序列问题。
任何时候我需要找到这些系数,这是一个傅里叶正弦级数,这里只有正弦,没有余弦。我要找出这些系数,使它匹配1,初始条件。t > 0,解你,我们说过,这些Bk的总和,这来自于初始条件,来自这个——傅里叶系数,我们仍然要这样做视频傅里叶级数知道这些数字将出来,乘以e - k的平方,π的平方乘以sin (x kπ。
你可能会想,这是一个很混乱的解,因为它是一个无限和。但对于偏微分方程来说还不错。我们有数字,我们有一些依赖于时间并且迅速衰减的东西,还有一些依赖于x的东西,所以在时间1,如果我画个图,假设热量是,温度从1开始。但是随着时间的衰减,一段时间后,温度就会变成这样。它会在末端很低,中间很低。所以在t时刻,温度是这样的,然后很快,温度会下降到这里,稳态,当然,整个是在温度0。
因此,这就是热量方程的解决方案万博 尤文图斯。而这是找到我未采取的步骤,它是傅里叶串联的步骤 - 在我们的无限系列解决方案中找到系数。万博 尤文图斯再一次,我们有无限的解决方案。万博 尤文图斯我们在谈论部分微分方程。我们有一个整个函数来匹配,所以我们需要所有这些。傅里叶系列告诉我们如何做到这匹配,如何找到这些bk的。所以这是一个独立而重要的问题,傅里叶系列。谢谢你。
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