好了,我要解释傅里叶级数,10分钟内讲不完。需要两到三节课才能看到足够的例子来真正运用这个想法。让我从我们要找的东西开始。我们有一个函数。我们想把它写成cos和sin的组合。这些是基函数,cos和sin。
an和b n是我们要找的系数。它告诉我们有多少cosnx在大函数f (x)中,注意cos从n = 0开始,因为cos0 = 1。求和中有a0。但这里没有b0,因为n = 0的正弦值是0,我们在这里什么也得不到。
我们要找的是an和b n。同时,我还想给你们看,系数cn的复数形式。现在n从负无穷到正无穷。这是更漂亮的形式因为cn的一个公式就可以了,而这里我需要一个单独的n和bn的公式。
好的。当函数是实数时,这是很自然的,但是最后,对于离散傅里叶变换,对于快速傅里叶变换,复变换会胜出。当然,大家都知道e ^ inx,根据欧拉公式,是cosnx和sinnx的组合。我可以用它们,或者用cos和sin。
好的。那么,如何找到这些数字呢?关键是正交性。这就是傅里叶级数的第一个中心思想,正交性的思想。这是什么意思呢?这意味着垂直。对于一个向量,和第二个向量,我们知道垂直的意思。它们之间的90度角。我们通过两个向量之间的点积,或者说是内积,随便你怎么命名,来检验它是否为0。
好的。这里我们有一些函数,比如余弦函数。这是一个余弦,这是另一个余弦。这是两个不同的基函数,比如,cos7x和cos12x,系数a7和a12告诉我们函数中有多少cos7x。
你看,我们把函数分成频率。我们研究的是纯振动,纯谐波。我们期望,可能是更低的平滑的谐波cosx, cos2x, cos3x,有大部分的能量。高次谐波,cos12x, cos100x,这些可能是快速交替的,它们包含噪声,高频。函数的快速变化将显示在高频中。
好的。那么这个积分的答案是什么,cos (7x)乘以cos (12x) dx,在-到的范围内?引入正交性,答案是0。这是关键的事实。这使得分离a7和a12并得到它们成为可能。我来演示一下怎么做。
我要用这个事实,它是90度角的函数形式。你看,这有点像点积。我想一下,点积应该是c1 d1 + c2 d2 = 0,如果我有向量c1 c2和向量d1 d2。这就是点积,如果向量是正交的,它就是0。这里,不是加法,而是积分,因为我有函数。这就是点积的意义,一个函数乘以另一个函数的积分结果是0。
好的。我现在就用这个。好的,我怎么用这个呢?我会看我想看的。这就是我的目标。方程两边同时乘以coskx。然后积分。妙就妙在,当我乘以coskx,然后积分,除了我想要的,其他的都是零。顺便说一下,所有的sin乘以coskx积分到0。所有的正弦正交于所有的余弦。 And all the cosines will be orthogonal to all the other cosines. So let me show you what I get.
f (x)乘以coskx,从-到积分。好吗?右边,这是我从π-π,大笔所有这些术语,0到无穷大,n因为nx,等等,包括正弦但我甚至不把它们,因为它们会被这种集成,乘以cos kx dx。我所做的就是让f (x)等于这个公式,两边乘以coskx,然后积分。
现在正交性得到了回报,因为这个乘以这个,当我积分时,结果是0,只有一个例外。当n = k时,我得到了积分。我得到的唯一项是ak coskx, 2倍dx。只有k = n在这个过程中存活。然后cos的平方的积分是,所以这就是ak乘以。听着,我发现ak是什么了。我已经发现了k的傅里叶余弦系数。除以。
我可以除以得到ak的公式吗?Ak等于1 /。从-到的积分∫coskxdx。这就是公式。这告诉我们系数。我只能用正交来消去除了一项以外的所有项。现在,如果我想要正弦系数bk,它会是相同的公式,只是它是一个正弦。
如果我想求复系数ck,结果会是相同的公式,这里可能是2,1 / 2,这就变成了e ^ (- ikx)对于复数,共轭e ^ (- ikx)就出现了。这实际上是函数和cos的点积,内积。
好的。我来举几个例子。也许我应该把刚才提到的sin公式写出来。bk等于1 /的积分,函数的积分,乘以sinkxdx。但有一个例外。A0的公式有点不同,变成了2。对此我很抱歉。当k = 0时或者是对1积分,从-到,得到2。a0等于1 / 2,积分f (x)乘以k = 0时的余弦,这是1 / dx。意思很简单。 That's the average of f of x.
好的。当k = 0时基函数是1。当k = 0时,cos的函数是1,我得到这个函数的积分乘以1除以2。
我们能举个例子吗?我想取一个函数。在这个视频中,我为什么不考虑一个简单,但很重要的函数,脉冲函数。我打算把这些公式用在函数上。
我来画一个函数的图。我只在-和之间移动,函数,我们知道,是0,它在脉冲处是无穷大,还是0。我画它的原因是,这是个偶函数。这个函数在x和- x之间是对称的。
在这种情况下,就没有sin了。正弦函数是奇函数。奇函数从-到的积分是0。奇的意思是当x与0相交时得到x大于0时的负结果。我想说的是,这是个偶函数,(x)和(- x)是一样的,只是余弦函数。好。sin系数会自动去掉0,当然,积分会显示出来。但我们在积分之前就知道了。
好了,我准备好了函数。我要写(x)我们记得函数是什么,cos的组合。好的。这是在-和之间的函数。好的。那么an的公式是什么?还记得a0的一个特殊公式吗,等于1/2乘以,从-到的积分,乘以基函数,也就是n = 0,基函数是1dx。
好的,我们知道答案。我们可以对函数积分。函数的积分的关键是,它总是1,如果叉乘x = 0。积分是1,得到1/2。
另一个系数呢?现在是1/。从-到积分整个函数乘以coskxdx。你知道我在干什么。我用公式求系数。我的公式是,取这个函数,不管它是什么——在这个例子中,它是函数——乘以cos,积分,然后除以因子。
好的。当然,我们可以做这个积分。因为当你对一个函数积分,乘以另一个函数,所有的作用都在x = 0处。x = 0时,这个函数是1。我不管其他地方是什么,它就是1。这和(x)乘以1的积分是一样的,得到了函数1的区间。积分是1,得到1/。好。
好的。现在,你想让我写出函数的级数吗?看起来有点不寻常。这告诉了我们一些非同寻常的事情。它告诉我们所有这些系数是相同的。所有的频率,所有的谐波,都在函数中等量分布。通常,我们会看到系数ak有很大的下降,但对于函数来说,它很奇异,在某一点都有一个很大的尖峰,系数没有下降也没有衰减,它们只是常数。
好的。所以我说函数是常数项,1/2,然后是1/乘以cos x, cos 2x,等等。好的。所有的频率都是一样的。我就讲到这里的一个例子。关键是正交性,系数的公式,还有这个例子。谢谢你!
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