从系列中:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院
偶函数只使用余弦(F(-x) = F(x))和奇函数只使用正弦函数。系数一个n而且bn来自于的积分F (x)cos (nx),F (x)sin (nx).
这个视频将给你们更多关于傅里叶级数的例子。我从一个奇函数开始。奇函数的意思是,在0的左边,我得到的是0右边的负数。F (- x) = - F (x) sin函数是奇数。余弦函数是偶的,这里没有余弦。所有包含余弦的积分系数AN都是0。我们会得到B系数,sin函数。
所以你看,我选择了一个简单的奇函数,- 1或1,如果我继续,它会得到一个方波。它会以方波的形式下降,上升,下降,上升。我将把它表示成正弦函数的组合,平滑波。这是上次关于系数bk的公式,只不过现在我只对1 / 2积分,对区间的0到部分积分,所以我把它翻倍。这是一个奇函数,这是一个奇函数。把它们相乘,得到偶函数。从-到0的积分和从0到的积分是一样的。我只取0到,然后乘以2。
函数在0到上是1。这里的方波是+ 1,对sinkxdx积分。我们可以做到的。等于- coskx除以k,对吧?这是2 /因子的积分。现在我要代入和0代入积分的极限,然后得到答案。我得到了什么?得到2 /。
对于k = 1,我想我得到。k = 1,分母是1,分子是2。是的,当k = 0时,我得到。当k = 1时,得到2。当k = 2时,这是4 /,这是第一个系数。系数b1是4 /。系数b2,如果k等于2,下面有一个2。上面是0因为cos(2)等于cos (0)减去什么也没有,所以是0。
现在k等于3。所以k = 3会写到这里。当k = 3时,结果是,它们没有抵消,而是增强了。又得到2。如果你做这些很好。当k = 4时,又得到0。看到规律了吗?
积分的规律是k是1 2 3 4 5。这部分给出的是2或0或2或0。如果你查一下,你就知道了。
对于这个函数,它也比函数好。它不是很平滑。它有跳跃。这是一个跳跃函数,一个阶跃函数。我看到了一些衰减,一些缓慢的衰减,在傅里叶系数中。这个因子k在增长,所以这些数趋于0,但不是很快。不是很快。因为我的函数不是很平滑。
现在你看,如果我用这些数,我说的是方波,这个函数,从- 1到1的函数,等于,我们看一下。我也可以用4 /乘以1。这是1 sinx0 sin2x然后是4 / sin3x,但这个是3 0 sin4x, sin5x除以5,等等。
这是一个很好的例子。结果是方波中只有奇数频率1 3 5它们乘以4除以除以频率,这就是衰减。
这是一个奇函数。为什么不对这个函数积分呢?如果我想得到一个偶函数来给你们一个偶的例子,我只需要对方波积分。当我对方波积分时,它是偶数。也许积分从0开始,然后上升到1。这里的积分是负的,所以是向下的。
这个函数叫什么呢?类似于一个重复的斜坡函数。这是一个向下然后向上,向下然后向上的斜坡。当然,从-到,这就是我要找的。我在-和之间寻找。我看到这个函数是偶的。这到底是什么意思?这意味着在- x处的函数等于在x处的值。
这意味着傅里叶级数是余弦。偶函数只有余弦项。当然,既然我已经积分了,我也可以只对这个级数积分。这就是这个斜率,这个重复的斜率函数,等于4 /。我可以很耐心地算出cos系数a。但是我为什么要这样做呢?
sin x的积分是负的sin x的积分是负的cosx,我把负号写在这里,cosx除以1。那么这个的积分是什么呢?sin3x的积分是acos3x除以3。还有一个3,还有一个负号,我已经得到了。我认为是cos (3x / 3)²,因为这里有一个3从积分中得到另一个3。类似的,对sin5x积分得到cos5x + 5。然后我已经有了一个5,所以5的平方。好了。
(笑声)
大一微积分里有个东西我完全忘了,常数项。有一个常数项,即a0的平均值。我只找到了a1 2 3 4 5。我还没找到a0,这是它的平均值。我不知道,这个函数的平均值是多少?它从0到,看起来很。我画的不好,大概是一半。我想它的平均值大概是/ 2,对吧?希望这是对的。
我把常数项写进来。斜率是,我想我有一个常数项是/ 2。这是平均值。它会从公式中得到,你现在看到了什么?这是我想让你们看的另一个例子。你会看到一个更快的下降。1 9 25 49等等。随着k的平方下降。
它比这个掉得快的原因是它更光滑。这个函数有角。这个函数有跳跃。跳跃函数比斜坡函数更粗糙,噪音更大。越平滑的函数衰减越快。光滑——让我把这些词写下来——光滑函数与更快的衰减有关。傅里叶系数下降得更快。
这意味着傅里叶级数更有用。傅里叶级数对于平滑的函数非常有用因为这样你只需要保留一些项。对于有跳跃的函数或脉冲函数,你必须保留很多项傅里叶级数的计算要困难得多。
这是第二个例子。让我想想,我还能说什么?我们学了一些关于积分和求导的知识让我用两个基本规则来结束。两条基本规则。
这是求导法则。df / dx的傅里叶级数是什么?第二个是移位规则。f (x - 1)的傅里叶级数是什么?当我把x变成(x - d)时,所做的就是把图移动d的距离,这应该对它的傅里叶系数有好处。
我从。哦,我没有给你们任何复杂情况的练习。这是个好时机。假设开始是f (x)等于ck的和,复系数e的ikx次方,复指数。你会记得这个和是从负无穷到正无穷。
我有一个傅里叶级数。我假设我知道系数我想说,如果我求导会发生什么?只需要求导。你会得到导数的和减去一个因子ik。这就是规则。很简单,但很重要。这就是为什么傅里叶级数如此伟大因为你有了正交性然后你就有了关于导数的简单规则。它只带来一个因子ik所以导数确保函数噪声更大系数更大。
如果用f (x - d)把x换成x - d,就得到ck e ^ ikx e ^ - ikd的和,对吧?我用x - d代替x,这里我看到移位函数的傅里叶系数,所以ck是f的傅里叶系数,当我移位f时,它乘以这个系数乘以相变。大小保持不变,因为这是一个数字,每个人都知道它的大小是1,只是有一个相移。这两个规则说明了为什么可以在微分方程和差分方程中使用傅里叶级数。谢谢你!
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