1.1:微分方程概述gydF4y2Ba线性方程包括gydF4y2Bady / dtgydF4y2Ba＝gydF4y2Bay, dy / dtgydF4y2Ba= -gydF4y2Bay, dy / dtgydF4y2Ba＝gydF4y2Ba2泰gydF4y2Ba．这个方程gydF4y2Bady / dtgydF4y2Ba＝gydF4y2BaygydF4y2Ba＊gydF4y2BaygydF4y2Ba是非线性的。gydF4y2Ba

1.2:你需要的微积分gydF4y2Ba总和规则，产品规则和链规则从衍生品产生新的衍生品gydF4y2BaxgydF4y2Ba^ngydF4y2Ba罪(gydF4y2BaxgydF4y2Ba） 和gydF4y2BaegydF4y2Ba^xgydF4y2Ba．微积分的基本定理表明整体反转了衍生物。gydF4y2Ba

1.4B：对指数输入的响应，exp（s * t）gydF4y2Ba具有指数输入，gydF4y2BaegydF4y2Ba^圣gydF4y2Ba，来自外面和指数增长，gydF4y2BaegydF4y2Ba^在gydF4y2Ba从内部看，解y(t)是两个指数的组合。gydF4y2Ba

1.4C：响应振荡输入，COS（W * T）gydF4y2Ba一个振荡输入cos(ωgydF4y2BatgydF4y2Ba)产生具有相同频率ω(和相移)的振荡输出。gydF4y2Ba

1.4d任意输入q(t)的解gydF4y2Ba要解决线性第一阶方程，乘以每个输入gydF4y2Ba问(s)gydF4y2Ba通过它的增长因素和综合这些产出gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

1.4e:阶跃函数和脉冲函数gydF4y2Ba单位阶跃函数从0跳到1。它的斜率是一个脉冲函数，除了跳跃处为无穷大外，处处为零。gydF4y2Ba

1.5:复指数响应，exp(i*w*t) = cos(w*t)+ isin (w*t)gydF4y2Ba对于线性方程，解gydF4y2Baf =gydF4y2Bacos(ωgydF4y2BatgydF4y2Ba)是解的实部gydF4y2BaF = E.gydF4y2Ba^{Iωt.gydF4y2Ba}．这个复解有大小gydF4y2BaGgydF4y2Ba（收益）。gydF4y2Ba

1.6:常数速率的积分因子，agydF4y2Ba积分因子gydF4y2BaegydF4y2Ba^{——gydF4y2Ba}乘以微分方程，y ' =ay+q，得到的导数gydF4y2BaegydF4y2Ba^{——gydF4y2Ba}可以集成了。gydF4y2Ba

1.6b:变化率积分因子a(t)gydF4y2Ba变化的利率的积分提供了增长解决方案(银行余额)的指数。gydF4y2Ba

1.7: Logistic方程gydF4y2Ba什么时候gydF4y2Ba-经过gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba减缓增长，使方程非线性，解接近稳态gydF4y2Bay (gydF4y2Ba∞gydF4y2Ba）= a / b。gydF4y2Ba

1.7c:稳态的稳定性和不稳定性gydF4y2Ba稳态解可以是稳定的，也可以万博 尤文图斯是不稳定的——一个简单的测试就可以决定。gydF4y2Ba

1.8:可分离变量方程gydF4y2Ba可分离方程可以通过两个单独的积分来求解，一个在gydF4y2BatgydF4y2Ba另一个在gydF4y2BaygydF4y2Ba．最简单的是gydF4y2Bady / dt = ygydF4y2Ba， 什么时候gydF4y2Bady / ygydF4y2Ba=gydF4y2BadtgydF4y2Ba．然后ln (gydF4y2BaygydF4y2Ba) =gydF4y2Bat + CgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

2.1:二阶方程gydF4y2Ba对于无阻尼无强迫的振动方程，所有解具有相同的固有频率。万博 尤文图斯gydF4y2Ba

2.1b:强迫谐波运动gydF4y2Ba迫使gydF4y2BafgydF4y2Ba= cos(ωgydF4y2BatgydF4y2Ba)，特解为gydF4y2BaYgydF4y2Ba* cos（ωgydF4y2BatgydF4y2Ba)．但如果强迫频率等于固有频率，则存在共振。gydF4y2Ba

2.3:非受迫阻尼运动gydF4y2Ba常系数微分方程的基本解是指数函数万博 尤文图斯gydF4y2BaegydF4y2Ba^圣gydF4y2Ba．指数gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba解一个简单的方程，例如gydF4y2Ba作为gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+ BS + C = 0gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

2.3c:脉冲响应和阶跃响应gydF4y2Ba脉冲响应gydF4y2BaggydF4y2Ba为当力为脉冲(脉冲函数)时的解。这也解决了一个非零初始条件的零方程(无力)。gydF4y2Ba

2.4:指数响应-可能的共振gydF4y2Ba当固有频率与强迫频率等指数内外匹配时，就会发生共振。gydF4y2Ba

2.4b:带阻尼的二阶方程gydF4y2Ba阻尼强迫方程有一个特解gydF4y2Bay = GgydF4y2Bacos(ωgydF4y2BaT -gydF4y2Baα)。阻尼比提供了对零解的洞察。万博 尤文图斯gydF4y2Ba

2.5:电气网络:电压和电流gydF4y2Ba电流在RLC回路周围的流动求解一个有系数的线性方程gydF4y2BalgydF4y2Ba（电感），gydF4y2BaRgydF4y2Ba(电阻),gydF4y2Ba1 / CgydF4y2Ba（gydF4y2BaCgydF4y2Ba=电容)。gydF4y2Ba

2.6待定系数法gydF4y2Ba具有常系数和特殊强迫项(的幂gydF4y2BatgydF4y2Ba，余弦/阳叶，指数），特定解决方案具有相同的形式。gydF4y2Ba

2.6b:待定系数法的一个例子gydF4y2Ba这种方法也是成功的力量和解决方案，例如万博 尤文图斯gydF4y2Ba(在gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba【答案】cgydF4y2Ba^圣gydF4y2Ba：替代路程以找到gydF4y2Baa, b, cgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

2.6c:参数的变化gydF4y2Ba把空的解决方案万博 尤文图斯gydF4y2BaygydF4y2Ba_1gydF4y2Ba和gydF4y2BaygydF4y2Ba_2gydF4y2Ba与系数gydF4y2BacgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba(t)gydF4y2Ba和gydF4y2BacgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba(t)gydF4y2Ba求任意的特解gydF4y2Baf (t)。gydF4y2Ba

2.7:拉普拉斯变换:一阶方程gydF4y2Ba将线性微分方程中的每一项变换成一个代数问题。然后你可以把代数解转换回ODE解，gydF4y2Bay (t)gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

2.7B：拉普拉斯变换：二阶方程gydF4y2Ba第二个衍生物转变为gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba^2gydF4y2BaYgydF4y2Ba代数问题涉及到传递函数gydF4y2Ba1 /（如gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+ b + C)。gydF4y2Ba

2.7c:拉普拉斯变换和卷积gydF4y2Ba当力是脉冲δ时gydF4y2Ba(t)gydF4y2Ba，脉冲响应为gydF4y2Bag (t)gydF4y2Ba．当力量是gydF4y2Baf (t)gydF4y2Ba，响应是“卷积”的gydF4y2BafgydF4y2Ba和gydF4y2Bag。gydF4y2Ba

3.1:解决方案图片万博 尤文图斯gydF4y2Ba的方向场gydF4y2Bady / dt = f（t，y）gydF4y2Ba有带坡度的箭头吗gydF4y2BafgydF4y2Ba每一点gydF4y2Bat、ygydF4y2Ba．具有相同斜率的箭头位于等斜线上。gydF4y2Ba

相平面图片:源，汇聚鞍gydF4y2Ba万博 尤文图斯二阶方程的解可以趋近于无穷或零。鞍点包含一个正的和一个负的指数或特征值。gydF4y2Ba

3.2B：阶段平面图片：螺旋和中心gydF4y2Ba虚拟振荡的虚构指数在相平面提供“中心”。点gydF4y2Ba（y，dy / dt）gydF4y2Ba永远绕着椭圆旅行。gydF4y2Ba

3.2c:两个一阶方程:稳定性gydF4y2Ba二阶方程给出了两个一阶方程gydF4y2BaygydF4y2Ba和gydF4y2Bady / dtgydF4y2Ba．这个矩阵变成了一个同伴矩阵。gydF4y2Ba

3.3：关键点的线性化gydF4y2Ba临界点是常数解gydF4y2BaYgydF4y2Ba微分方程gydF4y2Bay'= f（y）gydF4y2Ba．靠近那个gydF4y2BaYgydF4y2Ba…的标志gydF4y2Badf / dygydF4y2Ba决定稳定性或不稳定。gydF4y2Ba

3.3b:线性化y'=f(y,z)和z'=g(y,z)gydF4y2Ba对于两个方程，临界点有gydF4y2Baf (Y, Z)gydF4y2Ba= 0和gydF4y2Bag（y，z）gydF4y2Ba= 0。在这些常数解附近，两个线性化的方程使用了万博 尤文图斯偏导数的2 × 2矩阵gydF4y2BafgydF4y2Ba和gydF4y2BaggydF4y2Ba．gydF4y2Ba

3.3c:特征值与稳定性:2 × 2矩阵，AgydF4y2Ba两个方程gydF4y2Bay ' =唉gydF4y2Ba当痕迹时，稳定（解决方案万博 尤文图斯接近零）gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba是消极的，决定蛋白是阳性的。gydF4y2Ba

3.3D：三维翻滚盒gydF4y2Ba空气中的一个盒子可以在其最短和最长的轴上旋转。在中间轴周围它疯狂地翻滚。gydF4y2Ba

5.1:矩阵a的列空间gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba米gydF4y2Ba通过gydF4y2BangydF4y2Ba矩阵gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba有gydF4y2BangydF4y2Ba各列gydF4y2BaRgydF4y2Ba^米gydF4y2Ba．捕获这些列的所有组合AV给出了列空间 - 一个子空间gydF4y2BaRgydF4y2Ba^米gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

5.4:独立性、基础和维度gydF4y2Ba向量v1到vd是子空间的一组基如果它们的组合张成整个子空间并且是独立的:没有基向量是其他向量的组合。维数d =基向量的个数。gydF4y2Ba

5.5:线性代数的大图gydF4y2Ba一个矩阵产生4个子空间——列空间、行空间(相同维数)、垂直于所有行的向量空间(零空间)和垂直于所有列的向量空间。gydF4y2Ba

5.6：图形gydF4y2Ba一个图gydF4y2BangydF4y2Ba节点连接gydF4y2Ba米gydF4y2Ba边(其他边可能缺失)。这对于互联网、大脑、管道系统等等都是一个有用的模型。gydF4y2Ba

5.6b图的关联矩阵gydF4y2Ba发病率矩阵gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba每个边缘都有一行，包含-1和+1以显示两个节点（两列gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba）通过该边缘连接。gydF4y2Ba

6.1:特征值和特征向量gydF4y2Ba特征向量gydF4y2BaxgydF4y2Ba乘以矩阵时保持方向不变(gydF4y2Ba一个gydF4y2BaxgydF4y2Ba＝gydF4y2Baλ.gydF4y2BaxgydF4y2Ba)．一个gydF4y2BangydF4y2BaxgydF4y2BangydF4y2Ba矩阵gydF4y2BangydF4y2Ba特征值。gydF4y2Ba

6.2：对角化矩阵gydF4y2Ba一个矩阵可以对角化，如果它有gydF4y2BangydF4y2Ba独立的特征向量。对角矩阵Λis特征值矩阵。gydF4y2Ba

6.2b:幂、A^n和马尔可夫矩阵gydF4y2Ba整个思想gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba＝gydF4y2BaVgydF4y2Baλ.gydF4y2BaVgydF4y2Ba^1gydF4y2Ba同时斜向移动gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba^ngydF4y2Ba＝gydF4y2BaVgydF4y2Baλ.gydF4y2Ba^ngydF4y2BaVgydF4y2Ba^1gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

6.3:解线性方程组gydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2Ba/ dt =一个gydF4y2BaygydF4y2Ba包含解决方案万博 尤文图斯gydF4y2BaygydF4y2Ba= egydF4y2Ba^λtgydF4y2BaxgydF4y2Ba在哪里gydF4y2Baλ.gydF4y2Ba和gydF4y2BaxgydF4y2Ba特征值/特征向量对是什么gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

6.4：矩阵指数，exp（a * t）gydF4y2Ba解的最短形式使用矩阵指数gydF4y2BaygydF4y2Ba= egydF4y2Ba^在gydF4y2BaygydF4y2Ba（0）gydF4y2Ba．矩阵gydF4y2BaegydF4y2Ba^在gydF4y2Ba有特征值gydF4y2BaegydF4y2Ba^λtgydF4y2Ba特征向量gydF4y2Ba一个。gydF4y2Ba

6.4b:相似矩阵，A和B=M^(-1)*A*MgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba和gydF4y2BaBgydF4y2Ba”类似“如果吗gydF4y2BaBgydF4y2Ba＝gydF4y2Ba米gydF4y2Ba^{－1gydF4y2Ba}我gydF4y2Ba对于一些矩阵gydF4y2Ba米gydF4y2Ba．gydF4y2BaBgydF4y2Ba然后具有与之相同的特征值gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

6.5：对称矩阵，真古等值，正交特征向量gydF4y2Ba对称矩阵有gydF4y2BangydF4y2Ba垂直特征向量和gydF4y2BangydF4y2Ba真正的特征值。gydF4y2Ba

6.5b:二阶方程组，y " +Sy=0gydF4y2Ba一个振荡方程gydF4y2BadgydF4y2Ba^2gydF4y2Bay / dtgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+ Sy =gydF4y2Ba0的gydF4y2Ba2 ngydF4y2Ba万博 尤文图斯解(正弦和余弦)。万博 尤文图斯解使用的特征向量gydF4y2Ba年代。gydF4y2Ba

7.2正定矩阵，S=A'*AgydF4y2Ba正定的矩阵S具有正特征值，阳性枢轴，阳性决定簇和正能量V.gydF4y2Ba^TgydF4y2BaSv对于每个向量v, S = AgydF4y2Ba^TgydF4y2Ba如果A有独立的列向量A总是正定的。gydF4y2Ba

7.2b:奇异值分解，SVDgydF4y2Ba每个矩阵的SVD因素gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba进入正交矩阵gydF4y2BaUgydF4y2Ba乘以一个对角矩阵Σ(奇异值)乘以另一个正交矩阵VgydF4y2Ba^TgydF4y2Ba:旋转次数拉伸次数旋转次数。gydF4y2Ba

7.3:边界条件代替初始条件gydF4y2Ba二阶方程可以改变其初始条件gydF4y2Bay (0)gydF4y2Ba和gydF4y2Bady / dt (0)gydF4y2Ba边界条件gydF4y2Bay (0)gydF4y2Ba和gydF4y2Bay (1)gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

7.4:拉普拉斯方程gydF4y2Ba部分微分方程∂gydF4y2Ba^2gydF4y2Bau /gydF4y2Ba∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+gydF4y2Ba∂gydF4y2Ba^2gydF4y2Bau /gydF4y2Ba∂gydF4y2BaygydF4y2Ba^2gydF4y2Ba= 0gydF4y2Ba描述圆、方或任何平面区域内的温度分布。gydF4y2Ba

8.1:傅里叶级数gydF4y2Ba傅里叶级数分离周期函数gydF4y2Baf（x）gydF4y2Ba进入所有基本函数的组合（无限）COS（gydF4y2BaNX）gydF4y2Ba和罪恶(gydF4y2BaNX）gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

8.1b:傅里叶级数的例子gydF4y2Ba偶数函数只使用余弦函数(gydF4y2Baf（-x）= f（x）gydF4y2Ba)和奇函数只使用正弦函数。系数gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba_ngydF4y2Ba和gydF4y2BabgydF4y2Ba_ngydF4y2Ba来自于积分gydF4y2Baf（x）gydF4y2BaCos（gydF4y2BanxgydF4y2Ba） 和gydF4y2Baf（x）gydF4y2Basin (gydF4y2BanxgydF4y2Ba)．gydF4y2Ba

8.1C：Laplace等级的傅里叶系列解决方案gydF4y2Ba在圆内，解gydF4y2BaugydF4y2Ba（gydF4y2BargydF4y2Ba，θ）结合gydF4y2BargydF4y2Ba^ngydF4y2BaCos（gydF4y2BangydF4y2Baθ),gydF4y2BargydF4y2Ba^ngydF4y2Basin (gydF4y2BangydF4y2Baθ)。边界解结合傅里叶级数中的所有项来匹配边界条件。gydF4y2Ba

8.3:热方程gydF4y2Ba热方程∂gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BatgydF4y2Ba=∂gydF4y2Ba^2gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba从温度分布开始gydF4y2BaugydF4y2Ba在gydF4y2BatgydF4y2Ba= 0，后面跟着forgydF4y2BatgydF4y2Ba> 0因为它很快变得光滑。gydF4y2Ba

8.4:波动方程gydF4y2Ba波浪方程∂gydF4y2Ba^2gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BatgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba=∂gydF4y2Ba^2gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba展示如何沿着gydF4y2BaxgydF4y2Ba轴，从波的形状开始gydF4y2BaugydF4y2Ba(0)及其速度∂gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BatgydF4y2Ba(0)。gydF4y2Ba