来自系列:微分方程和线性代数
马萨诸塞州理工学院吉尔伯特斯特朗(麻省理工学院)
要解一个一阶线性方程,需要将每个输入相乘q(s)通过其增长因素并整合这些产出。
好的。最后,我将用一个适用于任何源项的公式来解这个一阶线性微分方程。我们已经解出了一些特殊的源项。但是现在我们需要这个方程的解的公式,周期。我们想要理解这个公式。现在,把公式写下来,然后我们看看为什么它是对的。然后,当然,我们可以把它代入方程并确认它是正确的。
这个公式是——这是一个大的公式,对于一阶线性方程。那么y (t)首先我们得到的是。我把这看作是余额。银行里的钱是它以这个速度增长的原因,因为增加了利息。它以这个速度增长是因为新的存款增加了。哦,也许我应该说,关于这些存款,我不是指一年一次,一个月一次,或者一分钟一次。存款不断。我们这里讨论的是微分方程。时间在流逝——时钟永远在流逝。至少从理论上讲,你每时每刻都在以每秒这么多的速率沉积。
好的。所以首先,y为0,这是一个终身存款中的一次以启动帐户。正如我们所知道的,它的利率与指数一样成长。问题是 - 所以这是与初始条件匹配的空解决方案。没有解决方案,因为这里没有存款。这解决了方程的这一部分,空部分。但现在我想在特定的解决方案中添加,它将是与存款匹配的特定解决方案。
我想了解这个公式。所以这是公式。我要去 - 每个押金在时间t进入的存款,在一段时间内进入,然后生长。一旦您押金,它将呈指数级增长。有 - 它将在剩下的时间内生长。所以这是公式。您可以随时进行存款,s等于0和s等于的t。
所以s是运行时钟。T是 - 我们看看我们的帐户,看看它是什么。并且此沉积物在时刻进行,然后它从s到t的剩余时间内增长。所以它的因子E到A,T减去了。这是关键。现在,我们将所有这些存款添加到他们的增长。因此,添加连续时间添加是集成。这是整体的全部想法,连续加起来。
所以我希望你能欣赏你的惯例。没有初始条件的不变的解决方案。从源术语中生长出来的特定解决方案q。当然,我一直使用Q。在这里我称之为q。我必须介绍一个集成变量s,它从这些存款的开始到当前时间,并像这样增长。所以这是公式。我可以放一个大盒子。无论如何让我开始一个盒子。我可以检查它是否正确。 But I hope you see why it's right.
让我对没有这个公式的q的例子做一些评论。我们直接去做了。所以我们开始的时候,这些都很特别。你可以说,特别好。Q (t)等于一个常数。这是第一个视频。然后我们让q (t)等于指数。这是第二个。然后我们。然后我们找到了指数响应。
然后是振荡。cos,我把它写在这里,cos t,或者加上sin t,记得吧,这两者必须结合在一起。我们不能只考虑cos,因为cos的导数会给我们一个符号,所以符号是需要考虑的。我们找到了它的公式,这需要更多的工作。实际上我们用了实数法和复数法。
而且,现在已经有了任何其他良好的功能?好吧,下一个视频,我要告诉你关于我认为非常好的功能。阶段功能。所以押金 - 我们没有留下任何存款直到一段时间,然后我们开始,然后我们变成常量。所以步函数为0,然后是常数。而且 - 这是一个特别有趣的一个 - 达达函数。
什么是三角洲功能?这并不总是进入基本微分方程,课程,但它属于那里。因为在现实的模型中,达到三角洲功能就像一个撞到高尔夫球的高尔夫俱乐部。在一瞬间发生了什么事。或击球棒球的棒球棒。它给它一个即时速度。这是一种冲动。
阶跃函数就像一盏灯,先关后亮。函数在一个瞬间,一个脉冲,你会看到它的到来。然后这些是,哦,也许我可以包括,我们看一下,如果我有一个常数,也许应该包括t t方,等等。t的幂不是很糟。我们可以得到,
对于所有这些特殊的函数。对于所有这些,我们可以用t乘以e ^ st,这仍然很好。我们可以得到一个简单的公式。这些问题本身就能给出简单、直接、有趣的答案。这个给出了一般的答案。
如果我把Q成为这个通式中的任何一个,我会得到特别的。你可以看到我在那里持续一个常量,这将是我们发现的,非常开始对常量的响应非常开头。正确的。所以这是一般表达。我觉得我应该谈谈它。
我想我应该说,另外两件事我想加入这个通式。一个是,我应该检查它是否正确。但我希望你看到,它必须是对的。这个输入进去了,它增长了,一切都是线性的。因此,我可以添加单独的增长,单独的结果,了解最终时间的余额。
但我还是可以检查一下。我可以推导它。这一步通常是通过所谓的积分因子完成的。我会有一个简短的视频告诉你们积分因子是如何推导出这个公式的。在这个视频中,我只是说我是根据常识得出的。但我可以检查它是否正确。我来检查一下是否正确。
好的。这部分我可以看到是正确的。所以我想与那个合作,并表明这是对微分方程的特定解决方案。我能这样做吗?我想展示这一点 - 我现在正在看这个,而且我会把e提供给AT,因为它不依赖于s。它没有参与整合。因此,这是从S的整体等于0到e的e与e的相等为零,它具有它。Q的S,DS。这是取决于押金的时间,时间依赖的所有东西。我们什么时候看余额,稍后的时间,t。
好的。这是一个术语时间的产物。当我把它进入微分方程时,我将使用产品规则。因此该产品的衍生物将有两个术语来自产品规则。这两个术语将是 - 如果一切顺利 - 将是微分方程中的两个术语。那么我可以通过产品规则掌握这一目标吗?所以我采取第一件事的衍生品,所以现在我计算Dy,DT,普通的微积分。所以这是阶段的阶段是第二个术语。
这只是ay。这是我们之前所拥有的次数。因为e到AT的衍生物,由链规则带来A,我们有那个。但现在产品规则也表示,我也必须采取这个术语的衍生时间。那看起来很乱。该功能的衍生品是什么?这是T的函数。但这是一个不可或缺的。这是T的函数。这是什么时候衍生? That's the last piece of the product rule.
好吧,看看它是什么。这是一些功能的积分。和微积分的基本定理表明,积分的衍生物是原始功能,对吧?因此,这种积分的衍生物是我们在时间t集成的原始功能。所以它是e the the the t the t the t the t the t the scomed t。这是来自产品规则的第二个术语。
很好,这就是ay。这里有什么?E ^ (at)和E ^ (- at)消去了,这是源项q (t)所以有ay + q (t)这是正确的微分方程右边。所以这个公式,我再把它写下来,这是视频开始部分的高潮来了解一阶线性微分方程。
所以现在即将到来的是Step和Delta函数。我只是想谈谈那些。这需要几分钟。然后另一步将允许利率改变。我们使我们的问题简单,因为我们保持不变的利率。所以我会让利率发生变化。然后在这方面是非线性方程的真实步骤。
因此Delta功能,不同的利率,然后是非线性方程。然后达到二阶方程和差分方程理论的所有其余部分。好的。谢谢你。
您还可以从以下列表中选择一个网站:
选择中国网站(以中文或英文)以获取最佳网站性能。其他MathWorks国家网站未优化您的位置。