从系列中:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院
解的最短形式使用矩阵指数y= e在y(0).矩阵e在有特征值eλt的特征向量一个。
好的。我们仍然在解矩阵a的微分方程组。
现在我要创建指数。很自然地就能得到e ^ A,或者e ^ at,矩阵的指数。如果我们有一个方程,小a,那么我们知道解是e ^ at,乘以初始值。
现在我们有n个矩阵a和向量y的方程,解应该是,在时刻t, e ^ at,乘以初始值。它应该和这个完全匹配,这个的指数中有一个数而这个的指数中有一个矩阵。
好的。没有问题。我们只是用e ^ at的级数,代入一个矩阵而不是一个数。所以恒等式,加上at,加上1/ 2at²,加上1/6 at³,直到永远。这是一样的。它是指数级数。我认为是数学中最重要的级数。
它给了我们一个答案。这个答案是一个矩阵。这里的每一项都是一个矩阵。
好的。这是正确答案吗?我们通过把它代入微分方程来检验。我想把解代入方程。所以我需要求导。
它的导数是,这是个常数。这个的导数是a,这个的导数是1/2。有一个A的平方,还有一个t的平方。t²的导数是2t,所以这就是t, 2和2约掉了。
好的。现在这里有A³。t立方?t³的导数是3t²,所以有一个t²。3和6约掉了,剩下1 / 2 !以此类推。
我看着它。我说它很像上面那个。看。这个级数就是A乘以这个。上面这个乘以A A乘以I等于A A乘以at等于A²t,一项一项,它只有一个因子A。
所以是ea的at次方,是矩阵指数的导数。结果是a,正是我们想要的。正是我们想要的。
如果我在这里加上y(0)它就是一个常数向量。y = 0。这里是y (0)把这个代入微分方程,就成立了。它的工作原理。
现在,它是不是比我们以前用特征值和特征向量的方法更好?在某种程度上,这是更好的。这个指数,这个级数,不管有没有n个独立的特征向量,都是成立的。我们可以有重复的特征值。
我举个例子。所以对于重复的特征值和缺失的特征向量,e的at次方仍然是正确答案。仍然是正确答案。但是如果我们想用特征值和特征向量来计算e ^ at,因为我们不想经常对一个无穷级数求和,那么我们需要n个独立的特征向量。
我在说什么?我说这个e的at次方,好,假设我们有n个独立的特征向量。我们知道这意味着,在这种情况下,a等于V乘以V逆。我们可以写出V逆因为矩阵V有特征向量。
这是特征向量矩阵。如果我有n个独立的特征向量,这个矩阵是可逆的。我有一个很好的公式。现在我知道了,e ^ at总是恒等加上A。
我现在要用对角化,特征向量,和a的特征值,所以我现在在做一个很好的例子,当有一个完整的独立的特征向量集合。那么at等于V V逆t,这是对的,这是I,加上at,加上1/ 2at平方。对吧?
所以我需要A的平方。大家都记得A的平方是多少。A的平方是V V逆,乘以V V逆。这些消掉就得到V²V逆,乘以t²,等等。
还记得这个A的平方吗,我把它拿走。看看我得到了什么。看我拿了什么。是的。开始提出V,结尾提出V逆。
这里我有V * V逆= I,这很好。V乘以V逆,我有一个t V和一个V逆,所以我有1/2 /²t²。以此类推,乘以V逆。
这正是我们所希望的。我们期望V在最左边的前面向外。这个V逆在最右边出来。你在中间看到了什么?
你看,这就是e ^ at的公式,等于v,这是什么?我有t的指数级数,所以它是e ^ (t V逆)
e的t次方是多少?我们先来理解矩阵指数。当矩阵是对角线的时候,最好的矩阵就是v,我的矩阵是什么样子的?V逆。
如果我看这个,看这个。是对角线。所有这些矩阵都是对角线的。也就是e ^ (1t)到e ^ (nt)
我没有做什么聪明的事情。我只是用标准对角化从特征向量矩阵和特征值得到指数。所以我只是取n个不同特征值的指数。
所以e ^ at,这就得到e ^ at y (0) y(0)是某个组合。然后这里有一个e ^ (1t)这是一个x特征向量x1,加上C2 e ^ (2tx2)等等。
这是我们上次讲过的解。这就是利用特征值和特征向量的解。
现在。能给我点新东西吗?新的东西会出现,假设没有完整的n个独立的特征向量集合。e ^ at还是可以的。但是这个公式并不好。这个公式依赖于V和V逆。
假设我们有一个例子。这些都很好。这正是我们所期待的。
但是我们可以有一个这样的矩阵。A等于,这是一个极端的例子。
这个矩阵的特征值是什么?这是一个对角矩阵。特征值是0和0。0的特征值是重复的。它是一个二重特征值。
我们希望有两个特征向量,但是我们没有找到它们。它只有一行特征向量。我想它只有x1 = (1,0)如果我用A乘以x1,得到0乘以x1。这是一个特征向量。
因为特征值是0,我在寻找零空间。在零空间中,但是零空间只是一维的。只有一个特征向量。缺少一个特征向量。
我仍然可以做e ^ at,这仍然是完全正确的。这个级数是可行的。
为了做这个级数,我需要知道a的平方。实际上我要用级数,但你会发现它截得很快。A²,如果算出来,都是0。
所以e的at次方等于I + at + STOP。A的平方都是0。A的立方都是0。所以矩阵e的at次方是单位矩阵,A乘以t, A是这个,乘以t就是t。
好了。这是矩阵指数的一种情况,它会把我们引向方程的解。当然,这是一个很简单的指数。
但它来自非常简单的方程。方程dy / dt,两个方程组,里面有矩阵。我们的方程组是dy1dt,这里是1,所以是y2。第二行dy2 / dt = 0。
这很好解。事实上,这告诉你如何解,你可以很自然地问这个问题,当矩阵没有n个特征向量时我们如何解微分方程?
举个例子。这个矩阵只有一个特征向量。但是我们刚刚解出的方程,你可以说,反向替换。y等于常数。然后这个方程,dy1dt等于这个常数,得到y1等于t乘以常数。这就是我所看到的。
哦。是的。你对这里出现t感到惊讶吗?通常我在矩阵指数中看不到t。但在这个重复的情况下,这就是t当我们有重复解时我们总是看到的t。万博 尤文图斯
大家都记得,当我们有二阶方程时,两个指数是相等的。所以我们只有一个解,e ^ st,我们必须寻找另一个解。另一个呢?te的st次方,这里是相同的t。
好的。这是一个缺少特征向量的矩阵的例子,指数中加入t。指数中有个t。
如果我有两个缺失的特征向量,那么在指数中。我给你们看一个缺两个特征向量的例子好吗?
让一个,这将是0,0,0,0,0,0,三倍,假设。这是一个有三个特征值为0的矩阵,但只有一个特征向量。所以它缺少两个特征向量。最后,在e的at次方中,我可能会看到1 1 1 t t,可能会在这里看到1/2 t²。
有点像这样。但更糟的是。因为三重特征值,这在现实中不会经常发生。但我们看到它产生了什么。它产生了t²和t。
好的。x矩阵指数给出了一个漂亮,简洁,简短的解公式。它给出了一个正确的公式,即使在缺少特征向量的情况下。
谢谢你!
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