从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院(MIT)
一种和B.”类似“如果吗B.=m-1是对于一些矩阵m。B.然后有相同的特征值一种。
好的,谢谢。这是第二个关于矩阵指数的视频。但它有一个新想法,一个基本的新想法。这个概念就是两个矩阵被称为“相似矩阵”所以“相似”这个词有一个特定的意思,一个矩阵a,和另一个矩阵B相似,如果B是这样从a来的。注意到这种方式。这意味着有某个矩阵M,可以是任何可逆矩阵。我取A,右边乘以M左边乘以M的逆。这可能会给我一个新的矩阵。叫它b,这个矩阵被称为与b“相似”,我会给你们看一些相似矩阵的例子。 But first is to get this definition in mind.
因此,在一般情况下,大量的矩阵是相似的中场休息,如果我有一定的矩阵A,我可以采取任何男,我会得到一个类似矩阵B.所以有很多相似矩阵。问题关键是,所有这些相似矩阵具有相同的特征值。所以这是矩阵的小家在那里,所有的彼此相似,并都具有相同的特征值。为什么他们具有相同的特征值?我只是告诉你,一条线。
假设B有一个特征值。所以B是M逆AM。我有这个。M逆AMx等于x,这是Bx。B有一个特征值。我想证明A有一个特征值。好的。
我看看这个。两边都乘以m,这个消掉了。所以当我乘以M,这个就没了,我得到了AMx。但是M出现在右边,我有Mx。现在我会看着它,然后说,是的。A有一个特征向量,Mx和特征值。A乘以这个向量等于乘以这个向量。所以是a的特征值,它有一个不同的特征向量,当然。如果矩阵有相同的特征值和特征向量,那就是同一个矩阵。但是如果我这样做,允许一个M矩阵在这里,这就改变了特征向量。 Here they were originally x for B. And now for A, they're M times x. It does not change the eigenvalues because of this M on both sides allowed me to bring M over to the right-hand side and make that work. OK.
这里有一些类似的矩阵。让我拿一些。所以这些都是相似的。比如2,3,0,4。好吗?这是一个矩阵a,我可以看到它的特征值是2和4。我知道它和对角矩阵很相似。所以有一个矩阵M把这个和这个连接起来,把这个A和那个B连接起来,这个B是大写的。我们知道是什么矩阵把原来的A和它的特征值矩阵联系起来。这个M是什么? It's the eigenvector matrix. So to get this particular-- to get this guy, starting from here, I use M is V for this example to produce that. Then B is lambda.
但也有其他可能性。让我看看。我想可能有一个矩阵,这是矩阵a转置。和A类似吗?A '和A相似吗?回答,是的。
转置矩阵有相同的特征值,2和4,和不同的特征向量。这些特征向量将连接原来的A和这个A或者这个A的转置。所以矩阵的转置和这个矩阵很相似。
如果我改变顺序呢?4 0 0 2。所以我只是翻转了2和4,但是当然我没有改变特征值。你可以找到这样的M。你可以找到一个M,如果我在右边乘以M,在左边乘以M的逆,它翻转了它们。这是另一个相似的矩阵。哦,可能还有很多。
我要做的就是让特征值是4和2。我要再创造一些吗?这是(0,6)我想找到正确的轨迹。4加2等于0加6。现在我要把行列式写对。它的行列式是8。那么2和- 4呢?我想我把轨迹写对了,6。我把行列式写对了,8。 And there the determinant is 8. So that would be a similar matrix. All similar matrices. A family of similar matrices with the eigenvalues 4 and 2.
所以,我想要做类似矩阵的另一个例子。这将是在这个例子中不同的是,还会有丢失的特征向量。因此,让我说,2,2,0,1因此具有特征值2和2,但只有一个特征向量。
这里就像是另一个矩阵。再说了,所以走线应该是4行列式应该是4,所以也许我把2和2负那里。我认为,有正确的跟踪,4,和伟大的决定,也4.因此,将有特征值2和2,只有一个特征向量,所以它是与此类似。
这就是重点。你可能会问,2,2,0,0呢。它有正确的特征值,但不相似。没有矩阵M把这个对角矩阵和其他矩阵联系起来。这个矩阵没有缺失的特征向量。这些矩阵缺少一个特征向量。
什么叫做乔丹的形式。约旦形式。因此,不属于。这不是在那个家庭。约旦形式is--你可以say--好,那将是乔丹形式。家里最美丽的成员是约旦形式。
我有很多相似的矩阵。那是最漂亮的,但它不在家里。是有血缘关系,但不是家族成员。它和那些不一样。最好的是这个。所以Jordan形式就是对角线上的特征值。但是因为缺少了一个特征向量,所以这肯定是有原因的。这里是1,这里不能有0。好的。这就是相似矩阵的概念。
现在我有一个更重要的一点,关于矩阵指数谨慎。我只能告诉你,这种谨慎,这种谨慎?
如果我看e / A e B乘以B的指数的指数我谨慎,通常这不是e B, e / A。如果我把B和相反的顺序,我得到不一样的东西。也不是e ^ (A + b)它们都不一样。如果我有1 × 1,这里只有数字,当然,这是指数的重要法则。但是对于矩阵指数,这个规则不成立。这和e ^ (A + b)不一样,我可以告诉你们为什么。
e将A是我加一加1/2平方等。e将B是我加上B加1/2乙平方等。而我这样做乘法。我得到一,我得到一个A.我收到B次31:12现在我得到1/2乙平方和AB和1/2平方。我可以把那些下来了吗?1/2平方,有一个A次B.还有的1/2乙平方。
好的。这说明了这一点。如果指数按这个顺序相乘,得到A乘以b,如果按另一个顺序相乘呢?如果我用e ^ B乘以e ^ A,那么B就会在A前面。这将成为一个学士学位,这是不同的。
所以,我已经看到,这两个是不同的。这里是e将A,E至B.它有一个B之前如果我这样做,这将有A之前B如果我这样做了,它就会有一个混合物。因此,e将A加B就拥有我和A和B和1/2 a与b的平方。所以这将是一个1/2的平方加上AB加BA和B的平方。又有所不同。
现在我有一种A和B的混合物对称在这种情况下,我有一个B之前在这种情况下,我不得不B关于A的左侧
因此,所有这三个是不同的,甚至在这个词定义这些指数的系列产品。这意味着,方程组,如果系数随时间而改变,肯定更难。我们能够解决DY DT平等,比方说,T乘以y的余弦值。
你还记得how--这是可解为1 1。我们把exponent--溶液呈y是E要曲风我们整合余弦吨和0了电子商务正弦t次y以正弦ŧ-
我能把它代入微分方程吗,它的导数。e ^ (sin t)的导数是e ^ (sin t)我用链式法则。e ^ (sin t)的导数还是e ^ (sin t)乘以sin t的导数,也就是cos t,这就行了。这是一个很好的解决方案。
但是如果我在这里有矩阵,如果我有矩阵,那么整个事情就出错了。你可以说链式法则错了。你不能把积分放在上面然后求导数然后期望它下来。链式法则不适用于矩阵指数,简单的链式法则。事实上对于时变系数的线性系统我们没有很好的公式。万博 尤文图斯当我们从一个方程变成一个方程组时这就变成了一个更难的问题。
因此,这是关于矩阵指数的谨慎幻灯片。他们是美丽的。他们很好地工作,如果你只是有一个矩阵A.但如果不知何故两个矩阵都在那里或一堆不同的矩阵,那么你就失去了良好的规则,你失去的解决方案。
好的。谢谢你。
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