从系列:微分方程与线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院(MIT)
对于线性方程组f =cos(ω)t)是解决问题的真正部分吗f = eiωt.这个复杂的解决方案有着巨大的潜力G(获得)。
所以今天的视频中会出现复数,让我来告诉你们为什么。所以我要解决这个问题。我们知道的微分方程——一阶,与源项线性,但现在源项有余弦和正弦。而正弦,你们注意到,有一个负1的假想平方根。所以我称之为y因为答案是一个复数,而不是一个实数。所以上节课用余弦解了它,现在我们要用这个组合解它,你可能想知道为什么。
原因是欧拉留下了一个奇妙的公式,余弦加i乘以一个角的正弦等于角的指数,e到iωt。好的方面是-,我们前面看到的指数-,当源项是指数时,解是指数。所以我寻找一个解决方案,用相同的e到Iωt,它有一些我们必须找到的因子资本Y。我们把它代入方程,然后我们知道大写字母Y是什么。
让我把它放进去。导数,左边,是-,这仍然是我们的复解。它仍然是复杂的。所以我把它放进方程中。导数是Iω-,当然,指数的导数会降低那里的数字,不管它是什么。Iωy e到Iωt。这就是我们得到的d这个的导数,现在应该等于a乘以函数加上源,e到iωt。就像我们之前对a的实数做的那样,e到st,现在是iω。美妙的是我们把所有的东西除以e到iωt,然后我们得到一个简单的方程。iω-,把a带到另一边-,乘以y是什么?好的。那么y我们现在是k现在是1除以iω减去a,它涉及到源项中的频率ω,它涉及到增长率,常数,0阶项,很好。
这就是Y的表达式,如果我把它代入这里,就得到了复解,但是我的想法是用这个复杂的解决方案,找到两个真正的解决方案——这就是为什么我——这个视频是关于使用这种复杂的源项来找到解决万博 尤文图斯方案,和正弦ωt。诀窍——方法将我将——这是我复杂的解决方案。取复数解的实部。这将是结果。与余弦匹配。这是这个表达式的实部,我现在知道了,这个表达式的虚部会给我正弦,输出,正弦项的响应。
为了解决问题,有一个方法,但我必须采取一个步骤。如何求出这个表达式的实部?如果复数是a + ib实部很简单实部是a虚部是b,但这里不是+ ib,而是这种形式,某种程度上,这是更好的形式。现在我要考虑,y的分母上有这个。我可以通过观察I - a来练习吗?这真的是一个很棘手的量我需要把它变成一个好的形式,当你要把复数相乘时你需要的形式是极坐标形式。
我想把它放到形式re到Iα。一个正数,这个量值,还有角度-,我必须画复平面。我想这是这些讲座中的第一次。这是实轴。这是虚轴,这是一个复数,Iω减去a。所以在虚方向,我向上,ω,我在实方向,我去负a。这是我的数字。这是Iω,回到负a,这是Iω-a的数字。这是角度α,它的长度是r。所以我要找到这两个东西。这叫做把数字放进它的极性形式。这是它的矩形形式,实的,虚的。这是它的大小,现在它的大小是多少?很简单。
|一个高和这条边的直角三角形是。这条边是- a,我用勾股定理知道r等于根号下a的平方加上的平方。长度的平方,负号消失了。长度的平方,的平方,这是r。
那么,从e到iα呢?e与iα的夹角是多少?我只能说我知道这个角度是什么。我只能告诉你它的切线,但让我把它留作alpha。Alpha是角度。此角度的切线将是该数字与该数字的切线。我就这样吧。这是关键的一步,是处理复数的第一步,在后面的视频中,我们将完全致力于处理复数。这是您第一次看到它,或者您以前可能见过它。
现在我要除以这个。这就是我喜欢这种形式的原因。除以它,现在我准备好了,我准备好代入复式了。y复形是这个y,就是1 / i - a, e的i t次方,这就是我们得到的,但是现在i - a是这个更好的形式。我可以除以这个。如果我除以它,它会是1除以根号下(a²+²)乘以e ^ I, e ^ (- I)当我除以一个指数,指数,指数,指数改变了符号,乘以e的I t次方,你们懂吗?所以这个数产生了这两项,模的部分和角的部分,这部分是纯角。这是更好的形式,这是更好的形式。我把这两个结合起来。 e to the i something times-- when I multiply two exponentials, I can put that as e to the i omega t minus alpha. You see that it has that factor e to the minus i alpha as well as the e to the i omega t.
现在我准备取实部和虚部,这样就得到了两个解实方程的两个实解。万博 尤文图斯取实部,这就是为什么我要关注实部的原因是原始的y (t) y的实部来自于cos。cos (t)是我在之前的课上讲过的它是正弦和余弦的组合。现在我们要把它看得更漂亮。我准备取它的实部。
这是一个实数-,1除以平方的平方根加上ω平方。那么e到i乘以一个角的真实部分是什么?e到iθ的实部是θ的余弦。真正的部分是余弦。这就是使用Euler的地方——总是使用Euler。这就是ωt减去α的余弦,这正是我们在上节课中做了更多工作的结果。这个量——这叫做增益。这是G部分。这是G,增益。输入是余弦的大小是大小一。它通过这个因子增加或减少,然后余弦仍然在这里。阿尔法,你记得,是时间差。输入是纯余弦,但输出是移位余弦,这也是余弦和正弦的组合。
所以你用了复数——也许是第一次,也许不是——来得到答案的好形式。当然,如果输入是ωt的正弦,那么我也会有同样的结果。那将是一个必要条件。所以实际上,重要的物理量是增益和相位滞后。好的所以这是第一次使用复数,让我们回到指数,之后的解决方案很简单。我将有更多的源项——更多一些——然后我将寻找一个适用于任何源项的公式。非常感谢。
您还可以从以下列表中选择网站:
选择中国网站(中文或英文)以获得最佳网站性能。其他MathWorks国家站点没有针对您所在位置的访问进行优化。