好啊这是我们最后一次看一阶线性微分方程。dy-dt是ay,这是银行例子中的利率增长。y是我们的总余额。t的q是我们的存款或取款。
只有一个变化。我们允许利率a随时间变化。这是我们以前没见过的。现在我们来得到一个公式。这将是我们以前的公式,当a是常数时。现在我们来看看。这看起来有点混乱,但关键是,这是可以做到的。我们可以用一种新方法解那个方程。
这就是另一点。最后大家都喜欢这些整合因素。我会叫它m。让我告诉你它是什么,它是如何工作的。它是零方程的解,带负号。用减号。dM dt等于tM的-a。没有源项。我们可以解这个方程。
如果a是常数,我会继续这个例子,因为这是一个简单的,可识别的公式。如果a是常数,我们在寻找导数为-aM的函数M。这个函数是e到-at的。
导数使我们想要的负a下降。如果a是变化的,我们仍然可以求解这个方程。它仍然是负的指数。但我们必须在这里,当我取M的导数时,它的导数会下降。这里我要a的积分。然后积分的导数是a减去a,应该是向下的。
我想要减去a的积分,我可以引入哑变量吗,比如a (T) dT,为了让符号看起来正确。好的。可以看到,M的导数总是指数函数。它总是指数乘以指数的导数。指数的导数是- a,因为根据微积分基本定理,如果对a积分,然后求它的导数,就会得到a。这就是我想要的a。
现在,我为什么要这个M?它是如何工作的?以下是M成功的原因。看看M乘以y的导数。这是一种产品。所以我将使用乘积规则。得到y乘以M的导数,然后得到M乘以y的导数。但是M的导数是tM的负a,所以我最好把M的导数是tM的负a乘以y。
但我这里有什么?算出一个M,这就是dy-dt-ay,dy-dt-ay就是q。所以当我算出M时,我只有q。总的来说,这是M乘以q。听着,我的微分方程再好不过了。乘以M,它告诉我们导数是右手边。为了解这个方程,我们只需要对两边积分。
如果你允许我做这一步,对两边积分看看我得到了什么,这将给出我们在常数情况下知道的公式,以及t变化时我们从未见过的公式。然后我再举个例子。我来举个例子。
假设a (t)不是常数,而是增长。经济确实处于恶性通货膨胀之中。举个例子,假设a (t)是2t。利率开始时很低,然后上升,随着时间的推移,增长会越来越快。2t的积分是什么?
2t的积分是t的平方,所以在这种情况下,M将是e到负的,t的平方。对不起,这里不再有a了。a只是2t.e到负的,t的平方。有了负号,它下降得很快。一分钟后,我们将有一个加号,我们将看到增长。你看到这是积分因子,当t的a恰好是2t吗?
好的。现在我回到这个方程,两边积分得到答案。好的。好吧。My的积分,关于导数的积分,导数的积分就是M (t) y (t)减去M (0) y (0)这是左边的积分。在右边,我有M乘以q的积分,从0到t。
我还是要代入一个不同于t的积分变量,这样更直观。好的。现在我有了一个关于y的公式,它包含了M,实际上,y乘以M,我最好除以,首先,我们还记得M(0)是什么吗?
这是0的增长因子。现在才1点。什么都没发生。在我们的公式中,它是0的指数,0的M是1。这就是我的出发点。所以0的M等于1。我可以把它去掉。
好的,现在,让我把它放在另一边,这将等于0的y加上它。好的。现在如果我除以M,我有我的答案。这些是步骤。找到积分因子。做积分,这很容易,因为我有一个完美的导数,我只需要积分。然后把M和divi放进去通过它,我得到y。
好的,我除以m。那么1除以m是什么?m在指数中有一个负号。1除以m将有一个加号。这里有e到负t平方。1除以m将是e到正t平方。
除以M,得到y (t)这是1 / M,这是e ^ (+ a (t)) dt y(0)的积分。这是零解。这是y(0)的解。现在加上从0到t的积分,记住,我除以m,这是e ^()加上从0到s的积分q (s) ds。
好的。哦,等一下。我除以m,我有一个m。哦,等一下。我这里没有。所以我想知道时间s的m除以时间t的m是什么?这是从0到s的积分。这是从0到t的积分。两者都是指数。
我能在这里说吗?这是e ^ () / M等于从0到t的积分,然后乘以e ^(-)从0到s的积分,指数的规则是如果有两个指数的乘积,我把指数相加。当我把这个和这个相加时,积分的下半部分就消失了。就剩下从s到t的a的积分了。
这是一个a的积分减去一个a的积分。让我举个例子。我们的例子在这里。当a等于2t时,这就是a等于2t的例子。这是我们第一次能够应对利率的变化。所以2t的积分是t的平方。从-,e到t的平方。我减去下限s的平方。这就是增长因素。
这是从时间s到时间t的增长因子。当a是常数时,指数就是a乘以t减去s。这告诉我们时间。但是现在,a是变化的,s和t之间的增长因子是e到t的平方减去s的平方。这就是这里的内容。让我,这是增长因子。
我可以把它放在这里吗?在这个例子中,它是e到t的平方减s的平方。我现在有了t的平方减s的平方,而不是e到a的平方,因为我有一个t的a的积分,a不再是常数。这是我的例子。我不知道你是否喜欢这个公式。我能再描述一下吗?
这是一个从0到t的积分,这部分是e ^ t ^ 2。这是增长因子乘以初始存款。后面的沉淀乘以生长因子是e ^ (t²- s²)我们允许存款从s = 0到t,所以当我们把这些加起来,我们得到这个和。
我们解出了一个以前解不出来的方程。这是微分方程的一个小小的胜利。小,不可否认。我想接着讲非线性方程,我们还没讲过。这是一件大事。谢谢你!
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