从系列:微分方程与线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院(MIT)
绕RLC回路流动的电流求解一个带系数的线性方程L(电感),R(抵抗)和1/C(C=电容)。
这段视频是关于常微分方程在电流中的一个关键应用,网络中的电流。所以我画了一个网络,一个非常简单的网络。它叫做RLC回路。它只有一个回路,所以它是一个非常简单的网络。
R代表流动阻力。L代表电感。C是。电容这是一个简单的线性常系数问题的三个元素与一个回路有关。然后有一个开关,我将关闭它,然后流动就开始了。这里有一个电压源,比如电池,或者让我们用交流电。
所以电压源将是一些电压乘以e到iωt。所以我们将有交流电。问题是,电流是什么?我们必须找到电流,i。所以电流是绕着回路的i/t。
我们看到微分方程有未知的I (t)而不是通常的y,我要用I表示电流。这是一个RLC循环,每个人都必须理解,在电气工程中。
我将得到一个二阶微分方程。你们会看到这个方程是什么。你们应该记得欧姆定律。电压等于电流乘以电阻。这就得到了电阻两端的电压。
如果电流是I,电阻是R,那么从这里到这里的电压降是I乘以R。这就是这个术语。但现在我也知道电流是随时间变化的。这是交流电。它是上下波动的。
所以电流也通过电感。在这里,通过电感的电压降是这样的形式。电流的导数进入其中。在积累电荷的电容中,电流的积分进入。
这是表示电压定律的物理方程,它说在一个闭合回路周围-,这是一个闭合的,回路是闭合的-,加上0。所以我有四个项,它们结合起来,得到0。
我想解一个方程。我该怎么解这个方程呢?用标准的方法,当我有常数系数,我有一个纯指数强迫项的时候。我寻找一个指数的倍数的解,对吗?
常系数微分方程的解,如果它们有指数强迫,那么解是I等于W e的I t次方,源的一些倍数给出了微分方程的解。
这实际上是一个微分积分方程。通过对每一项求导数,我可以使它成为一个看起来更熟悉的微分方程。假设我这样做。
假设我取每个项的导数,只是为了让它看起来很熟悉。那将是我双倍素数的L倍。取导数的导数。这将是RI prime。
积分的导数就是I本身,所以我有1除以ci,这里有导数,IωV e到Iωt。
这只是一个标准的二阶常系数线性微分方程。事实上,如果你是一个机械工程师,你会看到它,然后说,我不知道L,R,和1/C代表什么。但我知道我应该看到质量,阻尼和刚度。
因此,我们在两个重要的工程领域之间有一个完全的平行关系,电子工程的L,R,和1除以C,机械工程的M,B表示阻尼,K表示刚度。实际上,这种平行关系允许模拟计算机出现在数字计算机之前,并在那场竞争中失利。
模拟计算机只是通过施加电压和测量电流来解这个线性方程。模拟计算机通过建立模型和测量答案来解决这个方程。但我们不是在创造模拟计算机。我们只是在做微分方程。
我来算一下W是多少。那我该怎么办?和往常一样,我有这个方程。我有一个纯指数。我要找一个同样形式的解。我把它代入。得到W的方程。
这正是我在下一个棋盘上要做的。我将把W放到Iωt的方程中,找到W。让我们来做吧。也许我会把它放下来,我会在这里做,你可以看到我在做。
L乘以导数。所以我有L .导数将降低IωL .一切都是用W和匹配诉我把这个方程时,导数是一个IωL W e Iωt,它匹配V e Iωt。
现在,当我把I代入第二项R,会发生什么,我就得到R R乘以W乘以e的I t次方,没问题。
最后,1 / c,积分。指数的积分写下来,我把它写在分母上,当我对e ^ (I t)积分时除以I,我要除以I。
就是这样。就是这样。这是三项,乘以W,未知数。这就是找。当然,我们马上就能找到它。
我们发现W是V,现在我们看到IωL加R。哦,让我把Iω气体结合起来。把实部和虚部结合起来。实部是R。虚部是IωL减去1除以IωC。
简单。它有一个名字。这就是阻力。但是如果还有电感和电容的项,那么整个东西就叫做阻抗。所以这整个分母,叫做复阻抗。
相信我,所有这些想法都非常重要。这里有一个完整的词汇表。但是你看,我们对其他常数系数方程做了完全相同的事情。我们只是把系数a,B,C,或者M,B,K叫做。
现在我们有了稍微不同的字母,但我们没有新的想法。这个想法是1除以,1除以阻抗,这将是传递函数,它乘以源得到复数W,W是一个复数。
我现在必须考虑一下。阻抗总是叫做Z。所以我们现在有一个新的字母,表示分母中出现的重要量。再一次,它的实部是电阻。它的虚部来自L和C。
所以我们可以很容易地看到,阻抗的大小,电流的大小,我们想要这个数字的大小,V是电压的大小,这是阻抗的大小。
答案会告诉我们w的大小,我用大小或大小来表示当我只计算大小时,你不会看到相位滞后。复数,比如这个复数的大小我们马上要写出来了。它还有一个相位滞后告诉我们有多少在虚部有多少在实部。
但大小很简单。一个复数的大小是多少?它是实部平方和虚部平方。哦,我想那应该是一个加号。我不知道它是怎么变成负号的。
它会变成负数,所以我想如果我把I放在那里,让我告诉你我在说什么,虚部是ωL减去1除以ωC,我想说的是,如果我把I放在那里,那么1除以I就是负I,这是我刚才迈出的辉煌的一步。
所有的平方。你同意吗?这是实部的平方,这是电阻。这个组合给出了虚部。我们把它平方。这可能叫做反应物。这些平方的和就是阻抗的平方,大小。
我们已经成功地解出了一个二阶常系数的电流方程。现在该做什么?我再加一点。也许只是一个评论。
那个视频是关于一个循环的。当我告诉Mohler博士其中一个应用,在这一系列视频中一个真正的应用是RLC电路,他的回答是RLC电路不是一个应用,不是一个现实的应用。一个循环。
那么,我们如何进行一个具有多个节点、多个电阻、多个导体、多个边缘的全尺寸电路呢?好吧,我们有一个重大的决定要做。这就是我想做的评论。
他们有一个选择。他们可以在节点处使用基尔霍夫电流定律并求解这些节点处的电压。或者他们可以像我们在一个回路中所做的那样,在一个回路周围使用基尔霍夫电压定律,即回路中的电流使总压降增加到0。
所以我们解未知I的电流方程。这是我们对一个循环所做的。我的信息是对于一个大系统,这是赢家。所以用基尔霍夫电流定律写下方程,电流-,我们得到了节点图,每个节点都有一个方程,而不是每个l都有一个方程哎呀。
因为不容易看出哪些是要考虑的循环,哪些循环是其他循环的组合。线性代数是个问题。而线性代数要得到独立清晰的循环图,比节点图要困难得多。
具有未知电压的节点图,即节点处的V,是好的。进入该图的矩阵是关联矩阵。它连接节点和边。它说明了网络是如何组合在一起的。
那个矩阵,我将学习一点线性代数。这将在后面的视频中出现。如果你寻找关联矩阵,你可能会看到两个关于这些非常非常重要和美丽的矩阵的视频。谢谢。
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