微分方程和线性代数,5.4:独立、基础上,和维度
从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特-斯特朗,麻省理工学院(MIT)
向量v1来vd是一个子空间的基础如果他们跨越整个组合子空间是独立的:别人没有基向量的组合。维d=基向量的数量。
所以只要我引入向量空间的概念,我更好的介绍的东西。维度的概念,所有重要的概念空间的基础。这个空间可以是三维空间,我们生活的空间。,三个维度,但是是什么意思的基础——一个三维空间的基础。或者其他空间的基础。
好的,所以我必须独立,解释,和尺寸。如果你前两个维度的容易。好,独立。那些是向量独立吗?好吧,如果我画他们,在三维空间中,我可以想象2、1、5一些方向。我画出来。这是怎么回事?2、1、5、不管做什么!去那儿。这是a1。 OK.
现在是a2在同一行?如果a2是在同一行,那么这将是相关的。如果他们两个向量将依赖相同的行。但是这个并不是在这条直线上。4、2、0。所以它不会上升。在这架飞机,4 2 0。我会说。无论什么。a2。 So those are independent.
所以他们给我一个空间组合。a1和a2的组合给我一架飞机,一个平面,在三维空间。飞机,我想说,他们跨越飞机。a1和a2张成一个平面。这是关键字:跨度。
所以有两个向量。它们在三维空间。他们跨越,飞机是他们所有的组合。这是我们一直做的事情:把所有这些向量的组合。好的。
所以,实际上,a1和a2是一个窗格的依据。a1和a2是一个基础,填补飞机飞机,因为他们的组合。而且,他们是独立的。我需要他们两个。如果我扔掉了,我只剩下一个向量,它只会跨越一条线。好的。
现在让我在三维空间中引入第三个向量。好吧,我把第三个向量?哈!假设我将a1 + a2作为第三个向量。6、3、5。关于向量6、3、5 ?好吧,我知道什么?它显然是特别的。a1 + a2。它是在同一个平面上。 So if I took a3 equal 6, 3, 5, that would be dependent. The three vectors would be dependent with that a3.
他们将跨越飞机仍然。他们的组合仍然会给飞机,但他们不会为飞机。a1和12和a3一起,太多,太多的向量为一个平面。向量是相关的。我们不——的基础必须是独立的向量。你有需要。我们不需要这三个。
这是一个依赖。它不能进入与a1和a2的基础,因为这三个向量是相关的。现在让我做不同的选择。所以,一个死了。不这样做。好吧。
让我带a3等于其他,而不是这些的组合,但在一些新的方向出发。好吧,我不知道什么是新的方向。也许1 0 0。到底是什么?我相信——我希望我是正确的——1,0,0不是一个组合。我说1 0 0了。很短。这是a3。更好的a3,失败者6 3 5。1 0 0是一个赢家。这三个向量,
所以现在a1, a2,让我添加在a3,所有三个跨越了——他们跨越什么?什么是所有的组合的a1, a2, a3吗?这是三维?这是整个三维空间。他们跨越所有的3 d,整个三维空间。他们是整个三维空间的基础。他们是独立的。
让我——你看到那张照片在我移动它吗?a1, a2, a3是独立的。他们是一个组合。他们填一个三维空间。他们是一个三维空间的基础。空间,在这个例子中,是整个我们的三人。
我下一个黑板上写下我的意思。独立的。独立的。所以独立列的矩阵。独立的列矩阵的一种手段的唯一解Av = 0 v = 0。如果我有独立的列,那么我没有零空间。如果我有独立的列,那么矩阵的零空间是0。
让我写下这个例子。是矩阵2、1、5、4、2 0,- 1,0,0。所以我相信矩阵有独立的列。所以它的列空间是整个三维空间。它只包含零空间——我把它,明确,这是一个向量。现在我准备基础的想法写下来。
那么什么是依据空间?依据空间、子空间。独立的向量。这是关键。独立向量张成的空间、子空间。不管它是什么。
顺便说一下,如果列空间都是一个三维空间,在这里,这也是一个子空间。这是整个空间,但整个空间的子空间本身。和0向量是最小的可能。如果我们在三维空间中,子空间的概念,我们刚刚0向量。只有一个点。这是一个最小的。
我们有整个三维空间。这是最大的。然后我们都通过0行。这些都是小的一侧。我们所有的飞机都在0。这些都是有点大。这些尺寸是0,1,2,3。可能的尺寸告诉我们,我们需要多少基向量。
让我看看,然后维度。好的。所以独立意味着唯一,没有结合,没有其他的组合向量,没有这些向量的组合给出了向量除了采取0,0,0。这是依据列空间因为他们独立和组合给整个列空间。好的。
现在我想说一些关于维度。好的。维度。这是一个数字。这是子空间的基向量的数量。哦!但你可能会说,子空间还有其他基地,不仅仅是你想到的第一个。我同意。许多不同的基地。在这个例子中,所有我需要的基础,在这种情况下,对三维空间我需要三个独立的向量。 Any three.
但关键是,关于尺寸,我需要三个。我永远无法得到我们所有的三两个向量。我可以永远不会在我们三四个向量是独立的。如果我有少于维数,我没有足够的。他们不跨越。如果我有太多,比维度,它们是相关的。他们不会独立。他们不能是一个基础。
每一个基础都有相同的号码。这号码是子空间的维数。好吧,我们来举一个例子,只是一幅画。我将待在三维空间中,但是我的子空间就是一个平面。
这里我在三维空间。好。现在我有我的子空间是一个平面。它通过原点,但只有一个平面。所以我希望我可以把一个向量在平面上,我可能需要另一个向量在平面上,他们可以独立。他们是。它们是不同的方向。我找不到第三个独立向量在平面上。飞机——每一个依据
这里每一个依据这个平面包含两个向量。总是两个。二是一个平面的尺寸。好吧,我只是说飞机有两个维度。r2是不一样的。这是不一样的。那架飞机是一架飞机在r3。这不是普通的二维空间。但是它的尺寸是两个,因为它需要任何向量。如果我不喜欢的是这个,嗯,没问题。 Let me go that way. That's just as good.
这两个向量是独立的。他们跨越飞机。他们是一个基础平面。飞机是二维的。这是一组关键的想法。独立的。跨度。的基础上。是基础的基础。基础是一串向量。 And dimension is how many vectors.
好的。这些都是线性代数的重要思想。你会看到他们进入全局线性代数。谢谢你!
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