今天开始讲特征值和特征向量。我们需要这些的原因是解线性方程组。方程组意味着不止一个方程,n个方程。在例子中N = 2。
特征值是一个数字,特征向量是一个向量。它们都隐藏在矩阵中。一旦找到他们,我们就可以利用他们。我来告诉你们为什么特征值是被创造出来的,被发明出来的,被发现出来的是解微分方程,这是我们的目的。
为什么现在是一个向量-,这是一个方程组。我马上做一个例子。A是一个矩阵。我们有n个方程,y的n个分量。A是一个n乘n的矩阵,n行,n列。好的
现在我可以马上告诉你特征值和特征向量在哪里得到了回报。它们进入了解决方案。我们寻找这样的解。万博 尤文图斯当我们有一个方程时,我们寻找的是e ^ st的解,我们找到了那个数字s,现在我们万博 尤文图斯有e ^ t,我们把s变成了,没问题,但是乘以一个向量,因为未知量是一个向量。这是一个矢量,但与时间无关。这就是它的美妙之处。所有的时间依赖性都是指数函数,一如既往。x就是这个指数的倍数,你们会看到。
所以我寻找这样的解决方案。我万博 尤文图斯把它插入微分方程,会发生什么?这是我的方程式。我把e插入lambda tx,那是y。那是一个非常有趣的地方。现在,y的导数,时间导数,把λ降下来。为了得到导数,我加入了λ。
你看到了吗,用这个漂亮的符号代入方程,这必须是真的。我的方程式变成了那种形式。好的,现在我取消λt,就像我总是取消e到st一样,所以我取消e到λt,因为它从来都不是零。我有一个大方程,Ax,矩阵乘以我的特征向量,等于λx,这个数,特征值乘以特征向量。注意,不是线性的。这里有两个相乘的未知数。一个数λ乘以一个向量x。
那我在找什么呢?我在寻找向量x,特征向量,所以乘以A,乘以A,得到x的倍数。它和x的方向相同,只是长度改变了。如果lambda是1,我的Ax等于x。那是允许的。
如果lambda为0,则Ax等于0。没关系我不希望x是0。那没用。知道0是一个解决方案没有任何帮助。所以x不应该是0。Lambda可以是任何数字。它可以是真的,也可以是复数,你们会看到的。即使矩阵是实矩阵,lambda也可能是复杂的。不管怎样,Ax等于λx。这是一个大等式。它周围有一个盒子。
现在我准备做一个例子。在这个例子中,首先,我要找出没有系统的特征值和特征向量,在2乘2的情况下。我会给出一个2乘2的矩阵a,我们会找到λ和x,然后我们会得到微分方程组的解。好的
这就是系统。这里有y1的第一个方程——素数意义的导数,d乘以dt,时间导数——是线性的,一个常数系数。第二个,线性,常数系数,3和3。这些数字,5,1,3,3,进入矩阵。那么这个问题就是y素数,向量,向量的导数,等于A乘以y。那是我的问题。
现在特征值和特征向量将解出它。我只看这个矩阵。矩阵的问题。特征值是什么,这个矩阵的特征向量是什么?记住,我想让Ax = x。
我发现了第一个特征向量。1、1。我们可以检查一下它是否有效。如果我用A乘以这个特征向量,你看到当我乘以1时会发生什么吗?得到6。得到6。所以A乘以这个向量是。这是6乘以。好了。找到第一个特征值。 If I multiply A by x, I get 6 by x. I get the vector 6, 6.
现在,第二个。同样,我已经提前工作了,产生了这个特征向量,我想它是1减3。让我们乘以A。试试第二个特征向量。我应该把第一个称为x1和λ1。我应该把这个称为x2和λ2。一旦我找到了特征向量,我们就可以知道λ2是什么。我只做了一次s x来识别lambda,特征值。
所以5,1乘以5减去3等于2。是2。所以我得到了2分。从3开始,3等于3减去9等于6。这就是我得到的斧头。有个x。当我做乘法运算时,Ax是2减6。好的
这个输出是输入的两倍。特征值为2。正当我在寻找输入,这个特征向量,所以输出是这个特征向量的数倍,这个数是λ,这个特征值。现在我找到了这两个。我希望2乘2的矩阵是2。你们很快就会明白为什么我期望两个特征值,每个特征值都应该有一个特征向量。
这就是这个矩阵。所以我现在有答案了。y代表t的y1和y2。这些是,是e到lambda tx。记住,这就是我们要找的图片。
第一个是e ^ (6t * x)也就是(1,1)如果我把它代入方程,方程就解出来了。还有,我还有一个。E的2次方是2t。E的t次方乘以它的特征向量,1 - 3。这也是一个解。一个解决方案,另一个解决方案。
我怎么处理线性方程呢?我带的组合。这个的任意c,加上这个的任意c仍然是一个解。这就是叠加,给线性方程加解。万博 尤文图斯这些是零方程。在这些方程中没有力项。我不是在处理一个力项。我在寻找零解,方程本身的解。万博 尤文图斯
我有两个解,两个系数要选。万博 尤文图斯我该如何选择呢?当然,我满足初始条件,所以在t = 0时。在t = 0时。t = 0时,y (0)这是已知的初始条件,y和y。
我把t设为0,这是当然的。当t为0时,即为1。所以我只有c1乘以1,1。c2-,在t=o时,再次是1-,乘以1减3。这就是决定c1和c2的因素。c1和c2来自于初始条件,就像它们通常所做的那样。
所以我要解两个一阶线性常系数方程,齐次的,意思是没有力项。所以我得到了一个空解,其中有常数可供选择,而且,像往常一样,这些常数来自于匹配初始条件。这里的初始条件是一个向量。比如说,如果y等于2减去2,那么我想要一个和一个。好啊
我用特征值和特征向量来解线性方程组,这是它们的首要和主要目的。好的。但是我怎么找到那些特征值和特征向量呢?那其他属性呢?特征值和特征向量是怎么回事?我可以多花几分钟时间来讨论特征值和特征向量吗?基本事实,下节课我会讲如何找到它们。好的,基本事实。
基本事实。从Ax等于λx开始。假设我们找到了。你能告诉我平方的特征值和特征向量吗?我想知道平方的特征值和特征向量是什么。他们与这些有联系吗?假设我知道x,知道A的λ,那么A的平方呢?
好的是,平方的特征向量是相同的。让我给你看看。我说的是相同的x,所以这是相同的x,相同的向量,相同的特征向量。当然,对于平方,特征值是不同的,但特征向量是相同的。让我们看看平方会发生什么。
这是一把斧头,对吗?一把斧头,另一把斧头。但是Ax是lambda x。你擅长吗?那只是一把斧头。没关系。现在lambda是一个数字。我喜欢把它带到我能看到的地方。所以我什么都没做。这个数是lambda乘以所有的数,所以我把它放在前面。
现在斧子。这里还是Ax。还是x,因为我看到的是相同的x,所以得到相同的。这是x,另一个。有²x,这就是我想要的。A ^ 2 x等于x ^ 2。
结论特征向量保持不变,λ等于λ的平方。特征值是平方的。
如果我再举一个例子,哦,让我找到那个矩阵。假设我有相同的矩阵我对A的平方感兴趣,那么特征值就是36和4,平方。我假设我在看一个矩阵的n次幂。你可能会问为什么要看n次方?但是有很多例子可以考虑矩阵的n次幂,一千次幂。
让我们写下结论。同样的道理,第n个x的A是λ。是同一个x。每次我乘以A,我就乘以λ。所以我得到了n次lambda。所以这里有一个方便的规则。
这确实告诉了我们一些关于特征值的好处。特征值对在时间中移动的东西很好。微分方程,在时间中真正移动。n等于1是第一次,或者n等于0是开始。一步到n等于1,一步到n等于2。继续。每一步都会带来一个乘法b兰博达。
这是一条非常有用的规则。另一个方便的规则是A加上标识怎么办?假设我将单位矩阵添加到原始矩阵中。特征值会发生什么变化?特征向量会发生什么变化?基本问题。或者我可以将一个常数乘以恒等式,2乘以恒等式,7乘以恒等式。
我想知道它的特征向量是什么。答案是相同的,相同的x。同样的x。我通过弄清楚我这里有什么来证明这一点。这是Ax,它是lambda x。这是c乘以恒等式乘以x。身份没有任何作用,所以这只是cx。
那么我现在得到了什么呢?我看到了特征值是λ加c。这就是特征值。我认为这是将A移动到恒等式的倍数。移动A,将恒等式增加5倍。如果我将恒等式增加5倍到任何矩阵,该矩阵的特征值将增加5。并且特征向量保持不变。
所以只要我继续使用一个矩阵A,取幂,加上恒等式的倍数,然后取指数,无论我做什么,我都保持相同的特征向量,一切都很简单。
如果我有两个矩阵,A和B,具有不同的特征向量,那么我不知道A加B的特征向量是什么。我不知道这些。我不知道A乘以B的特征向量,因为A有自己的小特征向量,而B有自己的特征向量。除非它们是一样的,否则我不能很容易地将A和B结合起来。但我总是使用A,它的力量和步骤都是一样的,没问题。
好啊我将在这里停下来,首先看一下特征值和特征向量。
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