从系列中:gydF4y2Ba微分方程和线性代数gydF4y2Ba
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院gydF4y2Ba
脉冲响应gydF4y2BaggydF4y2Ba是力为脉冲(脉冲函数)时的解。这也解决了一个零方程(无力)与非零初始条件。gydF4y2Ba
好的。这一节我们讲的是二阶常系数方程。我们寻找脉冲响应,这是整个过程中的关键函数,还有阶跃响应。gydF4y2Ba
这些就是答案。我设g,这是脉冲响应,右边是脉冲函数,一个脉冲,在t = 0时刻的一个突然的力。这就是方程。这是冲量。g是响应,我们需要它的公式。gydF4y2Ba
另一种可能性,非常有趣的一种可能性,就是当右边是阶跃函数时。然后我们要求函数的响应。我点击一个开关。机器开始工作,接近稳定响应。解从0开始上升。gydF4y2Ba
从r(0)开始等于r '(0)等于0。步进反应从休息开始。当我在t = 0时点击一个开关,这个动作就发生了,然后r (t)会上升到一个常数。非常非常重要的解决方案。万博 尤文图斯但我们会特别关注这个。gydF4y2Ba
好的。这就是右边的方程。当然,右边的式子不是很熟悉,没有e ^ st那么好,但是有另一种方法来处理它,这是关键的思想,通过解零方程得到这个非常重要的函数。这是怎么回事?gydF4y2Ba
我从一个零方程开始,但是现在这个没有初始条件。这个从g(0)和g '(0)开始都是0。一切都从函数开始。这是相同的函数。除了当我看t = 0时发生了什么,发生的是g '立即跳到1。gydF4y2Ba
另一种接近g的方法,g的计算,是这样想的,我只是在寻找一个零解。我在寻找从0开始的零解。它的初始导数是1。所以我知道g是一个组合。我知道如何解这样的方程,零方程。还记得s1和s2吗?看s²,我让这个系数为1,所以s²+ b + C = 0。得到s1和s2。gydF4y2Ba
现在我来告诉你们g是什么。这就得到了零解中的s1和s2,我们正在寻找一个零解。g (t)是e ^ s1t和e ^ s2t的组合。好吗?它是这些的某种组合。我们想让它等于0。毫不奇怪,如果我减去这些,我从t = 0开始。这是1 - 1。是0。gydF4y2Ba
现在我只需要确定初始斜率,一阶导数为1。它的导数是什么?这就得到了一个s1。这就得到了s2。t = 0时,得到s1 - s2。所以除以它,s1 - s2。好了。这就是脉冲响应,一个满足这些特殊初始条件的零解。gydF4y2Ba
这就是数学中有时被称为基本解的函数。从这个解决方案中,你可以创建所有的解决方案。万博 尤文图斯它是这个二阶微分方程的解之母。万博 尤文图斯因为如果我有另一个强迫函数,这告诉我增长率。gydF4y2Ba
就像一阶方程的e ^ at。还记得利率系数为a的简单一阶方程的增长率e ^ at吗?现在我们有两个。不是a,而是s1和s2,这是一个特殊的函数。gydF4y2Ba
好的。对于特殊情况,我们需要更多的了解。我来展示一下没有阻尼时的函数。从这个例子开始,总是最简单的例子。当B为0时,B是阻尼系数,微分方程的一阶导数。我能把微分方程写下来吗?gydF4y2Ba
当B = 0时,没有阻尼。只有二阶导和函数。这就是物质永远振荡的时候。这就是将要发生的事情。当B = 0时,有纯振荡。s1和s2是震荡的余弦和正弦。或者用指数更简洁,i和- i,这是n,固有频率。gydF4y2Ba
现在,如果我代入s1和s2,正的是s1,负的是s2,代入这里,我得到了g (t)的一个很好的公式,这就是没有阻尼时g (t)的样子。它只是振荡。gydF4y2Ba
好的。下一个例子是阻尼不足。每次都能看到这么多病例真是太好了。所以这是一个很小的b值,过阻尼意味着有一些阻尼,但它足够小,所以现在有一个实部,但仍然有一个虚部。gydF4y2Ba
在某种程度上,这就是当s是复数时的情况。如果阻尼增大,B进一步增大,就会达到一个点有两个相等的实解。万博 尤文图斯如果我让B超过这个值,我就得到了过阻尼,这两个实解就分开了。万博 尤文图斯他们是不同的,但他们是真实的。然后我的公式,在这种情况下,过阻尼,这是最好的公式。gydF4y2Ba
但如果阻尼过低,我可以看到振荡。如果我代入s1和s2的两个解,你会看到e ^ (- B 万博 尤文图斯/ 2t)贯穿始终。然后我有sin /,和之前一样,除了阻尼频率比固有频率慢一点。阻尼降低了频率。在另一个视频中,我们有阻尼的公式,阻尼。gydF4y2Ba
然后再增加一些阻尼,然后这部分,阻尼变成0。我们在解中看不到任何虚部。我们看到两个相等的实数。他们是简单的。它们必须是- B/2。gydF4y2Ba
这是两个s结合在一起的情况。当两个东西同时出现时,我们习惯看到因子t出现。它们在- B/2处聚到一起。这是它的指数。但是我有一个因子t来自于两者的归并。然后如果B超过这个值,这是我的公式。两个s是实数。gydF4y2Ba
我觉得没人能记住所有这些。在开始这个视频之前,我必须查一下并把它们写在黑板上。但我希望你能看到他们非常好。无阻尼情况下[?纯频率和过阻尼情况下的衰减。当你进一步增加B的临界阻尼,你只有那个,没有振荡。然后是过度阻尼。好的。这样就可以得到脉冲响应了。gydF4y2Ba
现在我只需要问,阶跃响应是什么?我可以回到我的方程来结束这个视频吗?我得把黑板拿下来给你们看。现在我要处理阶跃响应。所以方程是一样的。我称响应的解为r。关键是,右边现在是阶跃而不是。gydF4y2Ba
我们想从静止开始解这个方程。一个开关打开了,我想要一个r (t)的公式,这就是剩下的了。实际上,这就是,你可以看到特解是什么。我们看一个特解。右边是1。右边是大于t = 0的1。我在寻找一种从这个式子中得到1的方法。它也可以是一个常数。gydF4y2Ba
特解就是我们正在接近的稳态。还有一件很酷的事要做。有时候,那些对事物的尺寸和单位有清晰概念的人会在这里打个C。把C放在这里是很好的因为现在r的单位和r的1次方是一样的。gydF4y2Ba
稳态是1因为Cr等于C乘以1。在无穷远处,简单的解是r = 1。当r = 1时,它的导数为0。二阶导数是0。R = 1是一个解。它是一个特解。这是稳态解。好。gydF4y2Ba
但是r (t = 1)开头是错误的。从0开始,斜率为0。所以我要减去其中一个特解加上e ^ s1。万博 尤文图斯现在我要得到它,我要减去它,使它从0开始。gydF4y2Ba
让我看看能不能做。我想如果我用s2 e ^ s1t减去s1 e ^ s2t。你看到他的成就了吗?在t = 0处,至少在t = 0处,导数为0因为导数在这里会下降一个s1。这个导数会得到s2。当我令t = 0时,我得到s1 s2 - s1 s2。好,好,好。好的。gydF4y2Ba
现在我认为他们都是正确的。我需要除以s1 - s2。让我这么说吧,我想就这样了。我想就这样了。我去检查一下也不坏。检查之后,我知道这是一个加号。好的。gydF4y2Ba
r的图像,这是r (t)的图像,从0开始,一直到1。渐近是1。这是r (t)的图形,实际上,这是一个非常重要的数字。上升时间是什么时候?要经过多长的时间它才会上升到,比如说,1的95%所有这些问题对工程师来说都是非常实际的问题。什么时候起床?你在玩这个公式。gydF4y2Ba
我再对这个r (t)的阶跃响应做一个评论。我的另一个评论是,我强调过g (t)脉冲响应对一切都负责。它一直伴随着我们。它们是如何联系在一起的?这是我最后一个问题。r (t)和g (t)是如何联系起来的?gydF4y2Ba
我来问一下右边。阶跃函数和脉冲函数是怎么联系起来的?阶跃函数是脉冲函数的积分。函数的积分是0只要你在函数为0的地方积分。但是一旦经过了一个大尖峰,积分就会跳到1,你就得到了一个阶跃函数。gydF4y2Ba
阶跃函数是函数的积分。阶跃响应等于响应的积分。它是脉冲响应的积分。R是g的积分R是g的积分在正确的初始条件下我们得到了这个,最终,趋近于1。gydF4y2Ba
这就是两个关键的解决方案。万博 尤文图斯脉冲响应在理论和实践中都具有重要意义。阶跃响应在实践中非常重要,因为打开开关是工程中非常基本的操作。很好。谢谢你!gydF4y2Ba
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