来自系列:微分方程和线性代数
马萨诸塞州理工学院吉尔伯特斯特朗(麻省理工学院)
总和规则,产品规则和链规则从衍生品产生新的衍生品XN,罪(X) 和E.X。微积分的基本定理表明整体反转了衍生物。
好吧,这里我们一开始就是。而且我认为值得考虑我们所知道的。结石。微分方程是微积分的大应用,所以看看微积分的哪一部分是有意义的,什么信息以及来自微积分的想法,实际上已经在微分方程中使用。而且我将向您展示我所看到的,这不是任何方式的一切,这是一些基本的想法,但不是你学到的所有细节。所以我并不是说忘记所有这些,但只是专注于重要的事情。
行。所以你需要的微积分是我的主题。而第一件事是,你真的需要了解基本衍生品。X到N的衍生物,正弦和余弦的衍生物。最重要的是,E到X的衍生作用,这是X的X。E到X的衍生物是e到x。这是通过E到X解决的精彩等式。DY DT等于Y.
我们必须要做更多的事情。然后与指数相关的逆函数是对数。具有1 / x的特殊衍生物。行。但你知道那些。其次,在这些特定事实中,您可以使用关键规则创建巨大函数数组的衍生工具。
F加g的衍生物是F加上G的衍生物的衍生物。衍生物是线性操作。产品规则FG Prime Plus GF Prime。商量规则。谁能记住这一点?
最重要的是,链条规则。该函数的衍生物,该函数链,复合功能是F关于G相对于X的G次衍生物的衍生物。这真的 - 它是真正打开功能或我们可以处理的功能的链条。
行。然后是基本的定理。因此,基本定理涉及衍生物和积分。它说一个是对另一个的反向操作。函数积分的衍生物是这样。
这是y,积分从0到x我不关心那个虚拟变量是什么。我可以 - 我会将这个虚拟变量改为t。任何。我不在乎。显示虚拟变量。
X是集成的限制。我不会讨论这一基本的定理,但它肯定是基本的,我会用它。也许这更好。我会立即使用基本的定理。
所以 - 但请记住它所说的话。它说,如果你采取函数,你将它集成,你带来衍生,你再次恢复函数。好的,我可以将其应用于真实 - 我认为这是差分方程中的一个关键示例。让我向你展示我想到的功能。我记住的功能,我会称之为y,是0到t的间隔。
所以它是t的一个函数,时间,它是这个的积分,e到t minus s。一些功能。这是对基本微分方程的解决方案的显着公式。
因此,解决方程式DT等于y加Q的T.所以当我看到那个方程式时,我们会再次看到它,我们会派生这个公式,但现在我想只是使用微积分的基本定理来检查公式。正如我们所创造的那样 - 因为我们派生了公式 - 好吧,因为我们的衍生将是好的。但也是很好的,我只是思考你是否插入那个,到它已经解决的微分方程。
好的,所以我想采取衍生物。那是我的工作。这就是为什么我在这里这样做,因为它使用了所有规则。好的要采取那个衍生,我注意到在通常的地方出现在那里,而且它也在积分内。但这是一个简单的功能。
我可以把e拿到t - 我将把e拿出e to the-the the the the the the the the the the the the the the the the tenaltal。e到t。所以我有一个函数t次t的另一个功能。
我将使用产品规则并显示该产品的衍生物是一个术语,另一个术语将是q。我可以只将产品规则应用于我退出帽子的这个功能,但你会再次看到它。好的,这是这次这个时代的产品。所以衍生物Dy DT是 - 产品规则说采取衍生物 - 即e到 - 。
另外,第一件事是第二次衍生的衍生物。现在我正在使用产品规则。它只是 - 你必须注意到e到T来到T两次,因为它在那里,它的衍生物是一样的。好的,这是什么衍生的?微积分的基本定理。
我们融合了一些东西,我想采取衍生品,所以我得到了一些东西。我得到e to the t t of t的tq。这是神圣的定理。你擅长吗?
所以让我们看看,看看我们有什么。第一个术语正好是y。正是上面的原因是因为当我拿走第一个人的衍生时,它没有改变它,所以我还有y。我有什么 - 我在这里有什么?e到减去t的t次e是一个。
所以e to t the t to the minus t,我留下了我想要的q。因此,来自产品规则的两种术语是微分方程中的两个术语。我只是认为你看到所需的基本定理就在那里找到了那个盒子里的东西的衍生品,就是那些括号中的内容。我只是喜欢这种基本定理的使用。
好的,我们需要更多的微积分话题。现在我们开始。所以它涉及图形的切线。这与图形相切。
所以这是一条直线,我们需要的是y的y plus delta t。这是一个功能,也许你宁愿我刚刚打电话给f。一个点的一个函数略大于t,大约是t加上纠正的功能,因为它 - 加上一个delta f,右边?三角洲f。
什么是delta f大约是什么?它大约是T时达到衍生物的衍生物。那个线上有很多符号,但表达了差分微积分的最基本事实。如果我用负符号将t的f放在这一侧,那么我有delta f。如果我划分该ΔT,那么相同的规则会说这是大约df dt。
这是微积分的基本思想,衍生物非常接近。在点t--点t的衍生物接近delta f的delta f。它在短时间内变化。好的,所以这是切线,因为它从这是恒定的术语开始。这是Delta T的函数,这是斜坡。
只是画一张照片。所以我在这里画一张照片。所以让我绘制一个图表 - 哦,是t到t的图。所以它始于斜坡1.让我在这里给它一点斜坡。
好的线条,当然这不是下面。所以切线是那条线。
这是切线。这是f到f的近似值。你看,就像我一样 - 这里是t等于0假设。这是t等于δt。而且你看看我是否迈出了一大步,我的线远离曲线。
我们希望越来越近。所以要更接近的方式是我们必须考虑弯曲。曲线是弯曲的。什么衍生物告诉我们弯曲?
这是第二衍生物的ΔT平方时间。一半。事实证明,那里有一个半场。因此,这是改变切线的术语,以连接到切线抛物线。它注意到该点弯曲。那一点的第二个衍生物。
所以它弯曲了。它没有完美,但也没有比另一个更好。所以这是线。这是抛物线。这是功能。真实的。
行。我不会在那里审查那里的理论,它会拉出一半,但你可以检查一下。现在,如果我们想做更好的话,怎么办?我们需要考虑第三个衍生品,然后考虑到第四个衍生品等,如果我们得到所有这些衍生品,那么所有这些都意味着,我们将在这个功能中,因为这是一个很好的功能,e到t。我们可以通过了解其高度,斜坡,其弯曲和其余部分的术语来重新创建功能。
所以有一个更多的更多 - 无数术语。那个超过两个 - 思考一秒钟的好方法,一半,是两个阶乘,两次。因为这是一个超过n因子,时间t到第n个,很小,倍数的函数的函数。并继续前进。
这被称为泰勒以泰勒命名的泰勒系列。一开始就是可怕的。这是可怕的,因为它有无数的术语。术语对于大多数函数来说,这些术语更加多重,你真的不想计算第n个衍生品。
对于e to t the t,我不介意计算第n个衍生物,因为它仍然是t的e,但通常情况 - 这不是那么实用。- 非常实用。切线抛物线,相当实用。更高阶的术语,较少 - 更不实用。
但是,这是美丽的,因为你看到了这种模式,这真的是数学是关于模式的,你在这里看到了更高,更高的术语模式。它们都适合那种模式,当你加起来所有的术语时,如果你有一个漂亮的功能,那么近似变得完美,你会有平等。
所以要结束这个讲义,所以提供了一个很好的功能。那些是数学的最佳功能,并且指数当然是其中之一。好的,这是微积分。嗯,部分微积分。谢谢你。
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