从系列:在MATLAB中求解ode
克里夫硅藻土,MathWorks
洛伦兹混沌吸引子是由爱德华·洛伦兹于1963年在研究大气对流的简化模型时发现的。它是一个由三个微分方程组成的非线性方程组。用最常用的三个参数值,有两个不稳定临界点。解仍然有万博 尤文图斯界,但在这两点周围混乱地运行。lorenzgui程序提供了一个研究Lorenz吸引子的应用程序。由此产生的3d情节看起来就像一只蝴蝶。
洛伦兹奇异吸引子,也许是世界上最著名和被广泛研究的常微分方程。1963年,麻省理工学院数学家兼气象学家爱德华·洛伦茨发现了它们。他们开启了混乱的领域。
它们很有名,因为它们对初始条件很敏感。初始条件的微小变化对解有很大的影响。洛伦茨以谈论蝴蝶效应而闻名。蝴蝶扇动翅膀如何影响天气。
一只在巴西飞翔的蝴蝶可以引发一场龙卷风,而德克萨斯州则是他演讲的华丽版本。方程几乎是线性的。这里有两个二次项。这些方程是从流体流动模型中推导出来的。地球的大气层是一种流体。
但是这个参数范围,三个参数,σ,和,这些都超出了代表地球大气层的范围。我们来看看这些参数。这些是最常用的参数。
但我们也会对其他值感兴趣。但我是一个矩阵爱好者,所以我喜欢把方程写成这种形式。Y导等于Ay。它看起来是线性的,除了A依赖于y,所以这是y2, y的第二个分量,出现在矩阵A中。
这有助于我学习这种形式的微分方程。这种矩阵形式便于求临界点。用参数代替y2。试着使矩阵奇异。当等于乘以根号- 1时。
零向量是临界点。如果我们取这个向量作为解的初始值,那么解就会停留在这里。Y '等于0。这是一个不稳定临界点。靠近这个解的值会偏离这个解。不会停留在解决方案附近。
2014年5月,我在Cleve's Corner写了一篇关于MATLAB常微分方程组的系列和博客文章。我用洛伦兹吸引子作为例子。我还加入了一个叫做洛伦兹图的程序,我想在这里用一下。
这是洛伦兹的阴谋。设置参数。设矩阵a的初值,这里是临界点。这是临界点附近的初值。从0到30积分。使用ODE 23。给它一个叫做洛伦兹方程的函数。
求出t和y的值,然后画出解。我要画一个三个分量互相偏移的图。这是一个内函数洛伦兹方程,ODE 23叫它。它不断地,每次调用,它都会修改矩阵A用y2的新值更新它。
我们来运行这个函数。这是输出。这是洛伦兹吸引子的三个分量。时间序列是t的函数,很难看出这里发生了什么,除了说它们从初始值开始,围绕初始值振荡,关闭一段时间,然后开始偏离。
很难看到他们在做什么。它们只是在以一种不可预测的方式振荡。我们需要另一张图来看看到底发生了什么。我想写一个叫做Lorenz GUI的程序。洛伦兹图形用户界面。这是从我的旧书中找到的叫做,这是用MATLAB进行数值计算,NCM。
好的,我点击了开始按钮。这是绿色的两个关键点。我们从临界点开始。我们围绕临界点振荡。这是轨道。这刚刚来回走动。它围绕一个关键点振荡,然后决定绕另一个围绕另一个振荡。
它会一直这样持续下去。这不是周期性的。它从不重复。蝴蝶和洛伦兹有两种联系。一个是蝴蝶对天气的影响。而且,这个情节看起来像一只蝴蝶。我可以用鼠标抓取它,在三维空间中旋转它。
所以我可以得到轨道的不同视图。它还在计算中。我们在情节中添加了越来越多的东西。我可以从不同的角度来看待这个问题来了解这个问题在三维空间中是如何进行的。它几乎存在于二维空间中,但又不完全是。
之前,我们见过解,有周期解的微分方程。万博 尤文图斯这里,它不是周期性的。就这样一直走下去。这是完美的,这不是随机的。这完全取决于初始条件。
如果我在这些条件下重新开始,在这些初始条件下,我会得到完全一样的结果。但这是不可预测的。很难说这将会走向何方。我可以把它清除掉,看到轨道继续发展。按下停止。
现在我有一个选择。这个下拉菜单允许我选择的其他值。28是几乎总是被研究的值,但有一本科林·斯派洛写的书我在我的博客里提到过关于洛伦兹方程的周期解。万博 尤文图斯
再取另一个值。让= 160,清除并重新开始。现在,经过一个初始的暂态,它是周期性的。所以这不是混乱。这是一个周期解。
其他的值,不是等于28,这很混乱,但是其他的值给出了不同性质的周期解。万博 尤文图斯这是一个很长的,有趣的故事,我在我的博客中谈论麻雀的工作。
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