究竟什么是指数增长?是什么e和它与指数增长什么?一个简单的MATLAB交互式图形介绍这些概念。

内容

指数增长。

对大多数人来说“指数增长”仅仅意味着“快速增长”。但是,更准确地说,一个随时间变化的数量增长expontially如果增长率数量本身的大小成正比。速度甚至可以是负的,在这种情况下,它是“指数衰减”。我认为学生在高中或大学应该理解微积分的数学思想参与指数增长,但恐怕他们中的大多数没有。当我问学生告诉我t ^ 3美元的导数,他们通常能回复3 t ^ 2美元。当我问“为什么?”,they say "take the $3$, put it out in front, and subtract $1$ from the exponent". Finding derivatives is a purely mechanical process, like adding fractions or solving quadratic equations. When I ask for the derivative of $3^t$, some will even apply the same process to get $t 3^{t-1}$. There is no understanding of the relationship between differentiation and rate of change. A function $f(t)$ is growing exponentially if its growth rate, its derivative, is proportional to the function itself. Perhaps the most important function in all of mathematics is the one where this proportionality constant is equal to one, so the function is its own derivative. Let's discover that function.

近似导数。

我们可以得到数值和图形的衍生品而没有区分任何。就我们的目的而言,近似衍生品变化率的概念基础上,在某些方面,甚至比实际的衍生品。我们只需要选择一个小的步长h,美元说h =。美元。的近似导数f (t)是美元$ $ \点{f} (t) = \压裂{f (t + h) - f (t)} {h} $ $

2 ^ t

是什么意思的函数f t (t) = 2 ^ $ $ $ $如果t美元是一个正整数,然后2 ^ t $ 2 $美元乘以本身t *美元。$ $ 2 ^ 0 = 1 \ \ 2 ^ 1 = 2,\ \ 2 ^ 2 = 4,……如果t美元美元是一个负整数,然后2 ^ t美元本身就是1/2乘以美元$ t | | $。2 $ $ ^ {1}= 1/2,\ \ 2 ^ {2}= 1/4,…如果t = p / q美元美元是一个有理数,两个整数之比、$ 2 ^ {p / q}的问th根美元美元$ p $ th 2美元的力量。2 $ $ ^ {5}= \ sqrt {2} = 1.4142, \ \ 2 ^ {355/113} = \ sqrt [113] {2 ^ {355}} = 8.8250,……$ $从理论上讲,对于浮点运算,这是我们需要知道的信息。浮点数是两个整数之比。但我们不必担心的定义2 ^ t非理性台币美元美元。如果MATLAB可以计算权力和根源,我们可以画出图2 ^ t美元。

交互界面。

这个函数expgui这本书中包含的软件吗与MATLAB实验。我邀请你去下载功能并运行它。它情节的图像^ t美元及其近似导数。这里的代码生成最初的情节,一个= 2美元。可以看到,导数,用绿色,有相同的形状函数,蓝色的。这是指数增长。

t = 0:1/64:2;h =。;%计算y = ^ t及其近似导数一个= 2.0;y = ^ t;ydot = (。^ (t + h) - a。^ t / h;%的阴谋情节(t) [y;ydot])%的标签轴([0 2 0 9])fs = get (0,“defaulttextfontsize”)+ 2;文本(0.3,6.0,一个= 2.000,“字形大小”fs,“fontweight”,“大胆”)标题(“y = ^ t”,“字形大小”fs,“fontweight”,“大胆”)传说(“y”,“dy / dt”,“位置”,“西北”)包含(“t”)ylabel (“y”)

动画。

在这一点上,如果你正在跑步expgui,你可以用鼠标移动蓝线,改变一美元的价值。如果你没有MATLAB,或者还没有下载expgui这部电影,你可以点击的模拟动画。我希望你会移动自己expgui。触觉经验是更令人满意,只是看电影。

π^ t

如果你不能运行expgui或者看电影,这是块\π^ t美元及其近似导数。

=π;y = ^ t;ydot = (。^ (t + h) - a。^ t / h;p = get (gca,“孩子”);集(p (3),“ydata”,y)组(p (2),“ydata”ydot)组(p (1),“字符串”,一个= 3.142)

发现e。

你很快就会看到的图像的导数^ t美元总是相同的形状的图形^ t美元本身。如果一个小于2.7美元美元下方的导数是函数,而如果一个大于2.8美元美元上方的导数是函数。通过移动鼠标仔细你可以找到一个值之间的曲线在哪里在彼此之上,一个2.718美元的临界值。你已经发现了e和e ^ t美元,美元是世界上唯一功能,等于自己的导数。你不需要区分。这是最后的图。

y = exp (t);p = get (gca,“孩子”);集(p (3),“ydata”,y)组(p (2),“ydata”,y)组(p (1),“字符串”,一个= 2.718)

e t ^

与同样著名的表弟,\π,美元的实际数值e美元并不是那么重要。函数e ^ t美元,或exp (t)在MATLAB,这是根本。如果你需要知道e美元的价值,你可以随时使用

格式长e = exp (1)

e = 2.718281828459046

很容易记住第十个有效数字。

流(“e = % 12.9 f \ n”,e)

e = 2.718281828

得到了MATLAB代码使用MATLAB®7.14发表

使用MATLAB®7.14发表