一个能听到一个鼓的形状吗?第1部分,特征值

发布的克里夫硅藻土,2012年8月6日,

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多部分的标题发帖也在1966年的一篇文章的标题由马克·卡茨在美国数学月刊[1]。第一部分是关于isospectrality。

内容

Isospectrality

卡茨的文章实际上不是一个鼓,这是三维的,而是二维鼓头,更像一个手鼓或膜。振动偏微分方程建模的δu + $ $ \ \λu = 0 $ $, $ $ \δu (x, y) = \压裂部分^ {\ u}{2}{\部分x ^{2}} + \压裂部分^ {\ u}{2}{\偏y ^{2}} $ $边界条件是关键。要求u (x, y) = 0美元的边界地区在平面上对应的膜固定边界。\λ,允许美元非零值的解决方案万博尤文图斯特征值振动频率的广场,和相应的函数u (x, y),美元特征函数是振动模式。MathWorks标志来自这个偏微分方程在一个l形域[2],[3],但这篇文章不是关于我们的标志。一个区域决定了它的特征值。卡茨问及相反的含义。如果一个指定的所有特征值,确定该地区吗?1991年,戈登,韦伯和沃伯特表明Kac的问题的答案是“不”。他们展示了一对不同形状的区域但完全相同的无限的一组特征值[4]。事实上,他们产生了几种不同的对这些地区。该地区被称为“摘要鼓”。维基百科有很好的背景文章Kac的问题[5]。我感兴趣的有限差分方法对膜特征值问题。我想表明,有限差分算子在这些区域有相同的特征值集,所以他们也摘要。我被介绍给摘要鼓托比•德里斯科尔特拉华大学的教授。摘要托比的工作可在他的网站上[6]。转载他的1997年的论文在暹罗评论也可以从他的网站上[7]。托比开发方法,不涉及有限的差异,计算特征值非常准确。摘要鼓凸。他们有凹^ \保监会270美元。这些角落导致大部分的特征函数的奇点,梯度是无界的。这影响精度和收敛速度的有限差分方法。有可能为凸区域Kac的问题的答案是“是的”。

顶点

我将看最简单的摘要一对。这两个地区都是指定的xy顶点坐标。

drum1 = [0 0 2 2 3 2 1 1 0 0 1 3 2 2 1 1 0 0];drum2 = [1 0 0 2 2 3 2 1 1 0 1 2 2 3 2 1 1 0];顶点= {drum1, drum2};

让我们首先绘制区域。

clf宋惠乔集(gcf,“颜色”,“白色”)为d = 1:2%绘制区域。vs顶点= {d};次要情节(2 2 d)情节(vs(: 1)与(2:)“k -”);轴([-0.1 - 3.1 -0.1 - 3.1])轴广场标题(sprintf (“鼓% d ',d));结束

有限差分网格

我想简单的有限差分方法对这个问题进行调查。MATLAB函数inpolygon确定一个矩形网格的点在指定的地区。

%生成一个粗糙的有限差分网格。ngrid = 5;h = 1 / ngrid;(x, y) = meshgrid (0: h: 3);%遍历这两个地区。为d = 1:2%确定内部和边界点。vs顶点= {d};[,]= inpolygon (x, y, vs(: 1)与(2:));= xor (,);%绘制区域和网格。次要情节(2 2 d)情节(vs(: 1)与(2:)“k -”,x, y(在),“b”。x(上),y(上)“k”。轴([-0.1 3.1 -0.1 3.1])轴广场标题(sprintf (“鼓% d ',d));网格{d} =双(的);结束

有限差分拉普拉斯算子

定义潜油电泵有限差分拉普拉斯算子包括编号点在该地区。的delsq函数产生的稀疏矩阵表示和运营商间谍情节的非零矩阵显示它的能带结构。

为d = 1:2%内部网格点数。网格G = {d};p =找到(G);G (p) =(1:长度(p));%显示编号。流(“网格% d =”d);minispy (flipud (G))%离散拉普拉斯算子。一个= delsq (G);%间谍阴谋次要情节(2 2 d) markersize = 6;间谍(markersize)标题(sprintf (“delsq(网格% d) ',d));结束

grid1 =。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。56个。。。。。。。。。。。。。。48 55。。。。。。。。。。。。。41 47 54。。。。。。。。。。。。35 40 46 53。。。。。。。。。。。30 34 39 45 52 60 63 65 66。。。26日29日33 38 44 51 59 62 64。。。。。。18 25 28 32 37 43 50 58 61。。。。。。11日17日24日27日31 36 42 49 57。。。。。。5 10 16 23。。。。。。。。。。。。 4 9 15 22 . . . . . . . . . . . . 3 8 14 21 . . . . . . . . . . . . 2 7 13 20 . . . . . . . . . . . . 1 6 12 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . grid2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 . . . . . . . . . . . . . . . 56 62 . . . . . . . . . . . . . . 55 61 65 . . . . . . . . . . . . . 54 60 64 66 . . 5 11 18 26 30 34 38 42 46 50 53 59 63 . . . 4 10 17 25 29 33 37 41 45 49 52 58 . . . . 3 9 16 24 28 32 36 40 44 48 51 . . . . . 2 8 15 23 27 31 35 39 43 47 . . . . . . 1 7 14 22 . . . . . . . . . . . . . 6 13 21 . . . . . . . . . . . . . . 12 20 . . . . . . . . . . . . . . . 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

比较特征值

Arnoldi方法的实现eigs函数计算特征值和特征向量。这是第一个二十特征值。

%特征值多少?eignos = 20;%细网格。ngrid = 32;h = 1 / ngrid;(x, y) = meshgrid (0: h: 3);inpoints = (7 * ngrid-2) * (ngrid-1) / 2;λ= 0 (eignos, 2);V = 0 (inpoints eignos 2);为d d = 1:2 vs顶点= {};[,]= inpolygon (x, y, vs(: 1)与(2:));= xor (,);%内部网格点数。G =双(的);p =找到(G);G (p) =(1:长度(p));网格{d} = G;%离散拉普拉斯算子A = delsq (G) / h ^ 2;%稀疏矩阵特征值和向量。[V (:: d), E) = eigs (eignos, 0);λ(:d) =诊断接头(E);结束格式长λ= flipud(λ)

λ= 10.165879621248989 10.165879621248980 14.630600866993412 14.630600866993376 20.717633982094981 20.717633982094902 26.115126153750705 26.115126153750676 28.983478457829740 28.983478457829762 36.774063407607322 36.774063407607287 42.283017757114585 42.283017757114699 46.034233949715308 46.034233949715386 49.213425509524733 49.213425509524775 52.126973962396342 52.126973962396370 57.063486161172904 57.063486161172769 63.350675017756465 63.350675017756259 67.491111510445251 67.491111510445194 70.371453210957910 70.371453210957810 75.709992784621988 75.709992784621818 83.153242199788906 83.153242199788821 84.673734481953971 84.673734481953886 88.554340162610174 88.554340162610174 94.230337192953158 94.230337192953257 97.356922250794767 97.356922250794653

如何证明?

不同特征值的数量,eignos网格大小,ngrid在这个脚本中提供了令人信服的证据,在两个域有限差分拉普拉斯算子是摘要。但这不是一个证据。连续问题,查普曼[8]轮廓的方法,任何本征函数的域可以由三角块相应的本征函数在其他领域。有必要证明这些部分如何组合在一起顺利,微分方程仍然是满足整个边界。这证明-查普曼是指一篇论文[9]。我将探讨这些参数的离散模拟在后面的帖子。