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关于部门界限和行业指数

圆锥的行业

在其最简单的形式中，圆锥扇区是由两条线界定的2-d区域，<年代pan class="inlineequation"> $y = 一个 u$ 和<年代pan class="inlineequation"> $y = b u$ 。

的阴影区域的特征在于由不等式<年代pan class="inlineequation"> $(y - 一个 u) (y - b u) < 0$ 。更一般地，任何这样的部门都可以参数化为:

${(\begin{array}{c} y \\ u \end{array})}^{T} 问 (\begin{array}{c} y \\ u \end{array}) < 0,$

在哪里<年代pan class="inlineequation"> $问$ 为2x2对称不定矩阵(<年代pan class="inlineequation"> $问$ 有一个正一个负的本征值）。我们称之为<年代pan class="inlineequation"> $问$ 的<年代pan class="emphasis">部门矩阵。这个概念可以推广到更高的维度。在n维空间中，圆锥扇形是一个集合:

$年代 = {z \in R^{N} : z^{T} 问 z < 0},$

在哪里<年代pan class="inlineequation"> $问$ 再次是对称矩阵不定。

部门界限

行业界都在一个系统的行为约束。增益约束和被动约束部门界限的特殊情况。如果对于所有非零输入轨迹<年代pan class="inlineequation"> $u (t)$ ，输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $z (t) = (H u) (t)$ 线性系统的<年代pan class="inlineequation"> $H (年代)$ 满足：

$\int_{0}^{T} z^{T} (t) 问 z (t) d t < 0, \forall T > 0,$

的输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $H$ 在与矩阵的二次曲线扇形上<年代pan class="inlineequation"> $问$ 。选择不同的<年代pan class="inlineequation"> $问$ 矩阵对系统的响应施加了不同的条件。例如，考虑轨迹<年代pan class="inlineequation"> $y (t) = (G u) (t)$ 和以下价值观:

$H (年代) = (\begin{array}{c} G (年代) \\ 我 \end{array}), 问 = (\begin{array}{cc} 0 & - 我 \\ - 我 & 0 \end{array}) 。$

这些值对应于部门界:

$\int_{0}^{T} {(\begin{array}{c} y (t) \\ u (t) \end{array})}^{T} (\begin{array}{cc} 0 & - 我 \\ - 我 & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} y (t) \\ u (t) \end{array}) d t < 0, \forall T > 0 。$

此扇区界等价于的无源性条件<年代pan class="inlineequation"> $G (年代)$ :

$\int_{0}^{T} y^{T} (t) u (t) d t > 0, \forall T > 0 。$

换句话说，被动是由下式定义的约束系统上的特定扇区：

$H = (\begin{array}{c} G \\ 我 \end{array}) 。$

频域条件

因为时域条件必须适用于所有情况<年代pan class="inlineequation"> $T > 0$ ，必将获得等效频域需要一点点的关心，是不可能的。让以下内容：

$问 = W_{1}^{T} W_{1} - W_{2}^{T} W_{2}$

不定矩阵的是（任意）分解<年代pan class="inlineequation"> $问$ 到其正和负部分。什么时候<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H (年代)$ 为平方最小相位(无不稳定零)，时域条件:

$\int_{0}^{T} (H u) (t)^{T} 问 (H u) (t) d t < 0, \forall T > 0$

等于频域条件:

$H (j ω)^{H} 问 H (j ω) < 0 \forall ω \in R 。$

因此，足够的检查部门不等式真正的频率。使用分解<年代pan class="inlineequation"> $问$ ，这也等同于：

${为 (W_{1}^{T} H) (W_{2}^{T} H)^{- 1} 为}_{\infty} < 1 。$

请注意,<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H$ 是广场<年代pan class="inlineequation"> $问$ 有多达负的特征值作为输入信道<年代pan class="inlineequation"> $H (年代)$ 。如果这个条件不满足，它就不再足够(通常)只看实频率。还要注意，如果<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H (年代)$ 是方形，那么它必须以最小相位为扇区限定持有。

这个频域特性是<一个href="//www.tianjin-qmedu.com/help/control/ref/sectorplot.html" class="a">sectorplot。特别，sectorplot绘制的奇异值<年代pan class="inlineequation"> $(W_{1}^{T} H (j ω)) (W_{2}^{T} H (j ω))^{- 1}$ 作为频率的函数。当且仅当最大奇异值小于1时，满足扇区界。此外，该图包含有关满足或违反扇区界限的频带的有用信息，以及满足或违反扇区界限的程度。

例如，检查一个特定扇区的2输出2输入系统的扇区图。

RNG（4，<年代pan style="color:#A020F0">“旋风”）;H = RSS（3,4,2）;Q = [-5.12 2.16 -2.04 2.17 2.16 -1.22 -0.28 -1.11 -2.04 -0.28 -3.35 0.00 2.17 -1.11 0.00 0.18];sectorplot（H，Q）

图中显示的最大奇异值<年代pan class="inlineequation"> $(W_{1}^{T} H (j ω)) (W_{2}^{T} H (j ω))^{- 1}$ 超过1时低于约0.5弧度/秒和在约3弧度的窄带/秒。因此，H不满足所代表的行业界限问。

相对行业指数

我们可以将相对无源性指数的概念扩展到任意行业。让<年代pan class="inlineequation"> $H (年代)$ 是LTI系统，并让：

$问 = W_{1}^{T} W_{1} - W_{2}^{T} W_{2}, W_{1}^{T} W_{2} = 0$

是正交分解<年代pan class="inlineequation"> $问$ 到其正和负部分，如容易从的Schur分解获得的<年代pan class="inlineequation"> $问$ 。该<年代pan class="emphasis">相对行业指数 $R$ 或R-指数被定义为最小的<年代pan class="inlineequation"> $r > 0$ 使得对所有输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $z (t) = (H u) (t)$ :

$\int_{0}^{T} z^{T} (t) (W_{1}^{T} W_{1} - r^{2} W_{2}^{T} W_{2}) z (t) d t < 0, \forall T > 0 。$

由于增加<年代pan class="inlineequation"> $r$ 使<年代pan class="inlineequation"> $W_{1}^{T} W_{1} - r^{2} W_{2}^{T} W_{2}$ 更负的，不等式通常满足<年代pan class="inlineequation"> $r$ 足够大。然而，在某些情况下，它永远不能被满足，在这种情况下R-index是<年代pan class="inlineequation"> $R = + \infty$ 。显然，原有的部门势必满足，当且仅中<年代pan class="inlineequation"> $R \leq 1$ 。

为了理解r指数的几何解释，考虑具有矩阵的锥族<年代pan class="inlineequation"> $问 (r) = W_{1}^{T} W_{1} - r^{2} W_{2}^{T} W_{2}$ 。在2D中，圆锥倾斜角<年代pan class="inlineequation"> $θ$ 有关<年代pan class="inlineequation"> $r$ 通过

$黄褐色 (θ) = r \frac{为 W_{2} 为}{为 W_{1} 为}$

（参见下图）。更普遍，<年代pan class="inlineequation"> $黄褐色 (θ)$ 成正比<年代pan class="inlineequation"> $R$ 。因此，给定一个带矩阵的二次曲线扇形<年代pan class="inlineequation"> $问$ 中，R-索引值<年代pan class="inlineequation"> $R < 1$ 意味着我们可以减少<年代pan class="inlineequation"> $黄褐色 (θ)$ 通过一个因数（缩小锥）<年代pan class="inlineequation"> $R$ 之前的一些输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $H$ 离开圆锥部门。同样，值<年代pan class="inlineequation"> $R > 1$ 意味着我们必须增加<年代pan class="inlineequation"> $黄褐色 (θ)$ 通过一个因数（加宽锥）<年代pan class="inlineequation"> $R$ 包括所有输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $H$ 。这清楚地使得R-索引的相对度量如何的响应<年代pan class="inlineequation"> $H$ 适合于一个特定的圆锥扇形。

在图中,

$d_{1} \frac{| W_{1}^{T} z |}{为 W_{1} 为}, d_{2} \frac{| W_{2}^{T} z |}{为 W_{2} 为}, R = \frac{| W_{1}^{T} z |}{| W_{2}^{T} z |},$

和

$黄褐色 (θ) = \frac{d_{1}}{d_{2}} = R \frac{为 W_{2} 为}{为 W_{1} 为} 。$

什么时候<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H (年代)$ 是平方和最小相位，r指数也可以表征在频域为最小<年代pan class="inlineequation"> $r > 0$ 这样的：

$H (j ω)^{H} (W_{1}^{T} W_{1} - r^{2} W_{2}^{T} W_{2}) H (j ω) < 0 \forall ω \in R 。$

用初等代数，这会导致：

$R = \underset{ω}{最大} 为 (W_{1}^{T} H (j ω)) (W_{2}^{T} H (j ω))^{- 1} 为。$

换句话说，r指数是(稳定)传递函数的峰值增益<年代pan class="inlineequation"> $Φ (年代) : = (W_{1}^{T} H (年代)) (W_{2}^{T} H (年代))^{- 1}$ ，和的奇异值<年代pan class="inlineequation"> $Φ (j w)$ 可被视为每个频率上的“主要”r -指标。这也解释了为什么绘制r指数与频率看起来像一个奇异值图(参见<一个href="//www.tianjin-qmedu.com/help/control/ref/sectorplot.html" class="a">sectorplot）。有相关行业指数和系统增益之间的完整的类比。但是请注意，这个比喻只持有时<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H (年代)$ 是平方和最小相位。

定向行业指数

同样，我们可以向被动指数的概念扩展到任意的部门。考虑到与矩阵圆锥部门<年代pan class="inlineequation"> $问$ 和方向<年代pan class="inlineequation"> $δ 问$ ，定向板块指数是最大的<年代pan class="inlineequation"> $τ$ 使得对所有输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $z (t) = (H u) (t)$ :

$\int_{0}^{T} z^{T} (t) (问 + τ δ 问) z (t) d t < 0, \forall T > 0 。$

一个系统的定向被动指数<年代pan class="inlineequation"> $G (年代)$ 对应于：

$H (年代) = (\begin{array}{c} G (年代) \\ 我 \end{array}), 问 = (\begin{array}{cc} 0 & - 我 \\ - 我 & 0 \end{array}) 。$

指向性行业指数衡量的是我们需要在多大程度上改变该行业的方向<年代pan class="inlineequation"> $δ 问$ 使其适合紧紧围绕输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $H$ 。当且仅当定向指数为正绑定的部门满意。

公共部门

有许多方法可以指定扇区界限。接下来我们回顾常见的表达式并给出相应的系统<年代pan class="inlineequation"> $H$ 和行业矩阵<年代pan class="inlineequation"> $问$ 的标准格式getSectorIndex和sectorplot:

$\int_{0}^{T} (H u) (t)^{T} 问 (H u) (t) d t < 0, \forall T > 0 。$

为简单起见，这些描述使用符号:

$为 x 为_{T} = \int_{0}^{T} 为 x (t) 为^{2} d t,$

并省略<年代pan class="inlineequation"> $\forall T > 0$ 需求。

无源

被动性与结合一个部门：

$H (年代) = (\begin{array}{c} G (年代) \\ 我 \end{array}), 问 = (\begin{array}{cc} 0 & - 我 \\ - 我 & 0 \end{array}) 。$

获得约束

增益约束<年代pan class="inlineequation"> ${为 G 为}_{\infty} < γ$ 是一个部门与:

$H (年代) = (\begin{array}{c} G (年代) \\ 我 \end{array}), 问 = (\begin{array}{cc} 我 & 0 \\ 0 & - γ^{2} 我 \end{array}) 。$

距离比

考虑“内部”约束，

$为 y - c u 为_{T} < r 为 u 为_{T}$

在哪里<年代pan class="inlineequation"> $c, r$ 是标量和<年代pan class="inlineequation"> $y (t) = (G u) (t)$ 。这是一个与:

$H (年代) = (\begin{array}{c} G (年代) \\ 我 \end{array}), 问 = (\begin{array}{cc} 我 & - c 我 \\ - c 我 & (c^{2} - r^{2}) 我 \end{array}) 。$

下面的圆锥扇形是对称的<年代pan class="inlineequation"> $y = c u$ 。类似地，“外部”约束，

$为 y - c u 为_{T} > r 为 u 为_{T}$

是一个部门与:

$H (年代) = (\begin{array}{c} G (年代) \\ 我 \end{array}), 问 = (\begin{array}{cc} - 我 & c 我 \\ c 我 & (r^{2} - c^{2}) 我 \end{array}) 。$

双不平等

当处理静态非线性时，通常考虑圆锥扇形的形式

$一个 u^{2} < y u < b u^{2},$

在哪里<年代pan class="inlineequation"> $y = φ (u)$ 为非线性输出。虽然这种关系本身不受部门限制，但它清楚地表明:

$一个 \int_{0}^{T} u (t)^{2} d t < \int_{0}^{T} y (t) u (t) d t < b \int_{0}^{T} u (t)^{2} d t$

沿着所有的I / O轨迹和所有<年代pan class="inlineequation"> $T > 0$ 。这个条件反过来等价于有以下条件的扇区:

$H (年代) = (\begin{array}{c} φ (。) \\ 1 \end{array}), 问 = (\begin{array}{cc} 1 & - (一个 + b) / 2 \\ - (一个 + b) / 2 & 一个 b \end{array}) 。$

产品形态

形式的广义扇区边界:

$\int_{0}^{T} (y (t) - K_{1} u (t))^{T} (y (t) - K_{2} u (t)) d t < 0$

对应:

$H (年代) = (\begin{array}{c} G (年代) \\ 我 \end{array}), 问 = (\begin{array}{cc} 2 我 & - (K_{2} + K_{1}^{T}) \\ - (K_{1} + K_{2}^{T}) & K_{1}^{T} K_{2} + K_{2}^{T} K_{1} \end{array}) 。$

和以前一样，静界约束：

$(y - K_{1} u)^{T} (y - K_{2} u) < 0$

表示上面的积分扇区界限。

近年耗散

一个系统<年代pan class="inlineequation"> $y = G u$ 是QSR耗散是否满足：

$\int_{0}^{T} {(\begin{array}{c} y (t) \\ u (t) \end{array})}^{T} (\begin{array}{cc} 问 & 年代 \\ {年代}^{T} & R \end{array}) (\begin{array}{c} y (t) \\ u (t) \end{array}) d t > 0, \forall T > 0 。$

这是一个与:

$H (年代) = (\begin{array}{c} G (年代) \\ 我 \end{array}), 问 = - (\begin{array}{cc} 问 & 年代 \\ {年代}^{T} & R \end{array}) 。$

另请参阅

getSectorCrossover|<年代pan itemscope itemtype="//www.tianjin-qmedu.com/help/schema/MathWorksDocPage/SeeAlso" itemprop="seealso">getSectorIndex|<年代pan itemscope itemtype="//www.tianjin-qmedu.com/help/schema/MathWorksDocPage/SeeAlso" itemprop="seealso">sectorplot

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