关于被动性和被动性指数

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被动控制通常是过程控制、远程操作、人机界面和系统网络等应用安全需求的一部分。系统是<年代pan class="emphasis">被动如果它不能自己产生能量，只能消耗最初储存在它里面的能量。一般来说，如果平均增加输出，则I/O映射是被动的<年代pan class="emphasis">y需要增加输入<年代pan class="emphasis">u．

例如，PID控制器是无源的，因为控制信号(输出)与错误信号(输入)移动的方向相同。但是有延迟的PID控制器不是被动的，因为控制信号可以朝着与误差相反的方向移动，这是不稳定的潜在原因。

大多数物理系统都是被动的。无源性定理认为两个严格无源系统的负反馈互联是无源稳定的。因此，对无源系统强制控制器的无源性是可取的，或者对无源系统强制控制器的无源性<年代pan class="emphasis">使钝化驾驶员被动系统的操作者，如汽车驾驶员

在实践中，无源性很容易被传感器、执行器和通信延迟所引入的相位滞后所破坏。这些问题导致了对无源性定理的扩展，考虑了无源性的过度或不足，无源性的频率依赖测量，以及无源性和小增益特性的混合。

被动系统

线性系统<年代pan class="inlineequation"> $G （年代）$ 如果所有的输入/输出轨迹都是被动的<年代pan class="inlineequation"> $y （ t ）＝ G u （ t ）$ 满足:

$\int_{0}^{T} y^{T} （ t ） u （ t ） d t > 0 ， \forall T > 0 ，$

在哪里<年代pan class="inlineequation"> $y^{T} （ t ）$ 表示的转置<年代pan class="inlineequation"> $y （ t ）$ ．对于物理系统，积分通常表示进入系统的能量。因此，被动系统是只消耗或耗散能量的系统。因此，被动系统本质上是稳定的。

在频域中，无源性相当于“正实”条件:

$G （ j ω ） + G^{H} （ j ω ） > 0 ， \forall ω \in R ．$

对于SISO系统，这是说<年代pan class="inlineequation"> $R e （ G （ j ω ）） > 0$ 在所有频率上，所以整个奈奎斯特图位于右半平面。

Nyquist (tf([1 3 5]，[5 6 1])

图中包含一个轴。坐标轴包含2个line类型的对象。该对象表示untitled1。

被动系统的奈奎斯特图

无源系统在控制方面具有以下重要特性:

被动系统的反义词是被动系统。
无源系统的平行互连是无源的(见无源系统的平行互联）.
无源系统的反馈互连是无源的(见无源系统的反馈互连）.

因此，在控制具有未知或可变特性的无源系统时，需要使用无源反馈律来保证闭环的稳定性。考虑到延迟和显著的相位滞后会破坏无源性，这项任务可能会变得困难。

定向被动指数

就稳定性而言，知道系统是否被动并不能说明全部情况。人们往往希望知道它在多大程度上是被动的或不被动的。此外，设备中缺乏无源性可以通过控制器中过多的无源性来补偿，反之亦然。因此，衡量被动性的过剩或不足是很重要的，这就是被动性指数发挥作用的地方。

对于不同的应用，有不同类型的索引。一类指标衡量输入/输出空间某一特定方向上的被动性的过剩或不足。例如，输入被动指数被定义为最大<年代pan class="inlineequation"> $ν$ 这样:

$\int_{0}^{T} y^{T} （ t ） u （ t ） d t > ν \int_{0}^{T} u^{T} （ t ） u （ t ）） d t ，$

对于所有的轨迹<年代pan class="inlineequation"> $y （ t ）＝ G u （ t ）$ 而且<年代pan class="inlineequation"> $T > 0$ ．系统G是<年代pan class="emphasis">输入严格被动(ISP)当<年代pan class="inlineequation"> $ν > 0$ ，缺乏被动的时候<年代pan class="inlineequation"> $ν < 0$ ．输入无源性指标也称为输入前馈无源性(IFP)指标，因为它对应于使系统无源所需的最小静态前馈作用。

在频域，输入无源性指标的特征为:

$ν ＝ \frac{1}{2} \underset{ω}{最小值} λ_{最小值} （ G （ j ω ） + G^{H} （ j ω ）），$

在哪里<年代pan class="inlineequation"> $λ_{最小值}$ 表示最小的特征值。在SISO案例中，<年代pan class="inlineequation"> $ν$ 为奈奎斯特曲线上最左点的横坐标。

类似地，输出无源性指数定义为最大<年代pan class="inlineequation"> $ρ$ 这样:

$\int_{0}^{T} （ y^{T} （ t ） u （ t ） d t > ρ \int_{0}^{T} y^{T} （ t ） y （ t ）） d t ，$

对于所有的轨迹<年代pan class="inlineequation"> $y （ t ）＝ G u （ t ）$ 而且<年代pan class="inlineequation"> $T > 0$ ．系统G是<年代pan class="emphasis">输出严格被动(OSP)<年代pan class="inlineequation"> $ρ > 0$ ，缺乏被动的时候<年代pan class="inlineequation"> $ρ < 0$ ．输出无源性指标也称为输出反馈无源性(OFP)指标，因为它对应于使系统无源所需的最小静态反馈作用。

在频域，a的输出无源性指数<年代pan class="emphasis">最小相位系统<年代pan class="inlineequation"> $G （年代）$ 由:

$ρ ＝ \frac{1}{2} \underset{ω}{最小值} λ_{最小值} （ G^{- 1} （ j ω ） + G^{- H} （ j ω ））．$

在SISO案例中，<年代pan class="inlineequation"> $ρ$ 的Nyquist曲线上最左边点的横坐标是<年代pan class="inlineequation"> $G^{- 1} （年代）$ ．

将这两个概念结合起来就得到了最大的I/O无源性指数<年代pan class="inlineequation"> $τ$ 这样:

$\int_{0}^{T} y^{T} （ t ） u （ t ） d t > τ \int_{0}^{T} （ u^{T} （ t ） u （ t ） + y^{T} （ t ） y （ t ）） d t ．$

一个系统<年代pan class="inlineequation"> $τ > 0$ 是<年代pan class="emphasis">非常严格的被动．更一般地，我们可以在方向上定义索引<年代pan class="inlineequation"> $δ 问$ 作为最大的<年代pan class="inlineequation"> $τ$ 这样:

$\int_{0}^{T} y^{T} （ t ） u （ t ） d t > τ \int_{0}^{T} {（ \begin{array}{c} y （ t ） \\ u （ t ） \end{array} ）}^{T} δ 问（ \begin{array}{c} y （ t ） \\ u （ t ） \end{array} ） d t ．$

输入、输出和I/O无源性指标都对应于的特殊选择<年代pan class="inlineequation"> $δ 问$ 和被统称为<年代pan class="emphasis">定向被动指数．你可以使用getPassiveIndex以参数形式或FRD形式计算线性系统的任何这些指标。你也可以使用passiveplot绘制输入、输出或I/O无源性指数作为频率的函数。该图提供了哪些频段具有较弱或较强的无源性的见解。

有许多结果量化了输入和输出无源性指标如何通过并行、串联或反馈互连传播。也有结果量化输入或输出被动性的过剩，以弥补反馈回路中给定的被动性不足。详情请参见:

相对被动指数

的<年代pan class="emphasis">积极的现实被动条件:

$G （ j ω ） + G^{H} （ j ω ） > 0 \forall ω \in R ，$

相当于小增益条件:

$| | （我 - G （ j ω ））（我 + G （ j ω ））^{- 1} | | < 1 \forall ω \in R ．$

的峰值增益<年代pan class="inlineequation"> $（我 - G ）（我 + G ）^{- 1}$ 作为被动的衡量标准。具体地说,让

$R ：＝ {为（我 - G ）（我 + G ）^{- 1} 为}_{\infty} ．$

然后<年代pan class="inlineequation"> $G$ 是被动的当且仅当<年代pan class="inlineequation"> $R < 1$ ,<年代pan class="inlineequation"> $R > 1$ 表示缺乏被动。请注意,<年代pan class="inlineequation"> $R$ 是有限的当且仅当<年代pan class="inlineequation"> $我 + G$ 是最小相位。我们提到<年代pan class="inlineequation"> $R$ 随着<年代pan class="emphasis">相对被动指数，或R-index。在时域内，r指数最小<年代pan class="inlineequation"> $r > 0$ 这样:

$\int_{0}^{T} | | y - u | |^{2} d t < r^{2} \int_{0}^{T} | | y + u | |^{2} d t ，$

对于所有的轨迹<年代pan class="inlineequation"> $y （ t ）＝ G u （ t ）$ 而且<年代pan class="inlineequation"> $T > 0$ ．当<年代pan class="inlineequation"> $我 + G$ 是最小相位，你能用吗passiveplot计算…的主要收益<年代pan class="inlineequation"> $（我 - G （ j ω ））（我 + G （ j ω ））^{- 1}$ ．此图完全类似于奇异值图(参见σ)，并显示被动程度随频率和方向的变化。

下面的结果类似于反馈回路的小增益定理。它给出了一个简单的r -指数条件，用于用一个系统中被动性的不足来补偿另一个系统中被动性的过剩。

小r定理:让<年代pan class="inlineequation"> $G_{1} （年代）$ 而且<年代pan class="inlineequation"> $G_{2} （年代）$ 是两个具有无源r指标的线性系统<年代pan class="inlineequation"> $R_{1}$ 而且<年代pan class="inlineequation"> $R_{2}$ ,分别。如果<年代pan class="inlineequation"> $R_{1} R_{2} < 1$ ，则负反馈互联<年代pan class="inlineequation"> $G_{1}$ 而且<年代pan class="inlineequation"> $G_{2}$ 是稳定的。

另请参阅

getPassiveIndex|<年代pan itemscope itemtype="//www.tianjin-qmedu.com/help/schema/MathWorksDocPage/SeeAlso" itemprop="seealso">isPassive|<年代pan itemscope itemtype="//www.tianjin-qmedu.com/help/schema/MathWorksDocPage/SeeAlso" itemprop="seealso">passiveplot

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