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预测时变状态空间模型

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这个例子展示了如何从已知模型生成数据，将状态空间模型与数据拟合，然后从拟合模型预测状态和观察状态。

假设一个潜在过程包括一个AR(2)和一个MA(1)模型。有50个周期，MA(1)过程在最后25个周期中退出模型。前25个周期的状态方程是

数组$ $ \开始{}{1}& # xA;{间{1,t}} = 0.7{间{1,t - 1}} - 0.2{间{1,t - 2}} + {u_ {1, t}} \ \ & # xA;{间{2,t}} = {u_ {2, t}} + 0.6 {u_ {2, t - 1}}, & # xA; \{数组}$ $

在过去的25个周期中，是这样的

$ ${间{1,t}} = 0.7{间{1,t - 1}} - 0.2{间{1,t - 2}} + {u_ {1, t}} $ $

在哪里u_ {1, t} $美元而且$ u_ {2, t} $为均值为0，标准差为1的高斯分布。

假设级数分别从1.5和1开始，生成50个观测值的随机序列美元间的{1,t} $而且美元间的{2,t} $．

T = 50;ARMdl = arima(基于“增大化现实”技术的{0.7, -0.2},“不变”0,“方差”1);amdl = arima(“马”, 0.6,“不变”0,“方差”1);X0 = [1.5 1;1.5 - 1];rng (1);x =[模拟(ARMdl,T，“Y0”x0 (: 1)),.．.模拟(MAMdl T / 2,“Y0”x0(: 2));南(T / 2, 1)];

模拟MA(1)数据的后25个值为南值。

进一步假设潜在过程是用

$ $ {y_t} = 2 \离开({{间{1,t}} +{间{2,t}}} \右)+ {\ varepsilon _t} $ $

对于前25个时段，和

$${y_t} = 2{x_{1,t}} + {\varepsilon _t}$$

在过去25个时期，其中\ varepsilon_t美元为均值为0，标准差为1的高斯分布。

使用随机潜伏状态过程(x)和观测方程来生成观测值。

Y = 2*sum(x'，“omitnan”) + randn (T, 1);

潜伏过程和观测方程共同构成了一个状态空间模型。假设系数为未知参数，状态空间模型为

数组$ $ \开始{}{1}& # xA;左\[{\开始数组{}{* {20}{c}} & # xA;{{间{1,t}}} \ \ & # xA;{{间{2,t}}} \ \ & # xA;{{间{3 t}}} \ \ & # xA;{{间{4 t}}} & # xA;结束\{数组}}\右]左= \[{\开始数组{}{* {20}{c}} & # xA;{{\φ_1}}和{{\φ_2}}& # 38;0 & # 38;0 \ \ & # xA; 1 & # 38; 0 & # 38; 0 & # 38; 0 \ \ & # xA; 0 & # 38; 0 & # 38; 0 &{{\θ_1}}\ \ & # xA; 0 & # 38; 0 & # 38; 0 & # 38; 0 & # xA;结束\{数组}}\右]\离开[{\开始{数组}{* {20}{c}} & # xA;{{间{1,t - 1}}} \ \ & # xA;{{间{2,t - 1}}} \ \ & # xA;{{间{3 t - 1}}} \ \ & # xA;{{间{4,t - 1}}} & # xA;结束\{数组}}\右]+左\ [数组{\开始{}{* {20}{c}} & # xA; 1 & # 38; 0 \ \ & # xA; 0 & # 38; 0 \ \ & # xA; 0 & # 38; 1 \ \ & # xA; 0 & # 38; 1 & # xA;结束\{数组}}\右]\离开[{\开始{数组}{* {20}{c}} & # xA; {{u_ {1, t}}} \ \ & # xA; {{u_ {2, t}}} & # xA;结束\{数组}}\右]\ \ & # xA; {y_t} = a({间{1,t}} +{间{3 t}}) + {\ varepsilon _t} & # xA; \{数组}$ $

在前25个时段，

数组$ $ \开始{}{1}& # xA;左\[{\开始数组{}{* {20}{c}} & # xA;{{间{1,t}}} \ \ & # xA;{{间{2,t}}} & # xA;结束\{数组}}\右]左= \[{\开始数组{}{* {20}{c}} & # xA;{{\φ_1}}和{{\φ_2}}& # 38;0 & # 38;0 \ \ & # xA; 1 & # 38; 0 & # 38; 0 & # 38; 0 & # xA;结束\{数组}}\右]\离开[{\开始{数组}{* {20}{c}} & # xA;{{间{1,t - 1}}} \ \ & # xA;{{间{2,t - 1}}} \ \ & # xA;{{间{3 t - 1}}} \ \ & # xA;{{间{4,t - 1}}} & # xA;结束\{数组}}\右]+ \离开[{\开始{数组}{* {20}{c}} & # xA; 1 \ \ & # xA; 0 & # xA;结束\{数组}}\右]{u_ {1, t}} \ \ & # xA; b {y_t} ={间{1,t}} +{\ varepsilon _t} & # xA; \{数组}$ $

对于第26期，和

数组$ $ \开始{}{1}& # xA;左\[{\开始数组{}{* {20}{c}} & # xA;{{间{1,t}}} \ \ & # xA;{{间{2,t}}} & # xA;结束\{数组}}\右]左= \[{\开始数组{}{* {20}{c}} & # xA;{{\φ_1}}和{{\φ_2}}\ \ & # xA; 1 & # 38; 0 & # xA;结束\{数组}}\右]\离开[{\开始{数组}{* {20}{c}} & # xA;{{间{1,t - 1}}} \ \ & # xA;{{间{2,t - 1}}} & # xA;结束\{数组}}\右]+ \离开[{\开始{数组}{* {20}{c}} & # xA; 1 \ \ & # xA; 0 & # xA;结束\{数组}}\右]{u_ {1, t}} \ \ & # xA; b {y_t} ={间{1,t}} + {\ varepsilon _t} & # xA; \{数组}$ $

在过去的24个时期。

写一个函数来指定参数的输入方式参数个数映射到状态空间模型矩阵、初始状态值和状态类型。

版权所有The MathWorks, Inc.函数[A,B,C,D,Mean0,Cov0,StateType] = AR2MAParamMap(params,T)时变状态空间模型参数映射函数％这个函数将向量参数映射到状态空间矩阵(A, B，% C，和D)，初始状态值和初始状态方差(Mean0%和Cov0)，以及状态类型(StateType)。从周期1到周期T/2%状态模型为AR(2)和MA(1)模型，观测模型为两种状态的和。从周期T/2 + 1到T，状态模型为只是AR(2)模型。A1 = {[params(1) params(2) 0 0;1 0 0 0;0 0 0参数(3);0 0 0 0]};B1 = {[10 0;0 0;0 1;0 1]};C1 = {params(4)*[1 0 1 0]};Mean0 = ones(4,1); Cov0 = 10*eye(4); StateType = [0 0 0 0]; A2 = {[params(1) params(2) 0 0; 1 0 0 0]}; B2 = {[1; 0]}; A3 = {[params(1) params(2); 1 0]}; B3 = {[1; 0]}; C3 = {params(5)*[1 0]}; A = [repmat(A1,T/2,1);A2;repmat(A3,(T-2)/2,1)]; B = [repmat(B1,T/2,1);B2;repmat(B3,(T-2)/2,1)]; C = [repmat(C1,T/2,1);repmat(C3,T/2,1)]; D = 1;结束

将此代码保存为一个名为AR2MAParamMap在MATLAB®路径上。

通过传递函数来创建状态空间模型AR2MAParamMap的函数句柄舰导弹．

Mdl = ssm(@(params)AR2MAParamMap(params,T));

舰导弹隐式地创建状态空间模型。通常，您不能验证隐式定义的状态空间模型。

传递观察到的响应(y)估计估计参数。为未知参数指定一组任意的正初值。

Params0 = 0.1*ones(5,1);EstMdl =估计(Mdl,y,params0);
方法:最大似然(fminunc)样本量:50对数似然:-114.957赤池信息准则:239.913贝叶斯信息准则:249.473 | Coeff Std Err t Stat Prob --------------------------------------------------- c(1) | 0.47870 0.26634 1.79733 0.07229 c(2) | 0.00809 0.27179 0.02975 0.97626 c(3) | 0.55735 0.80958 0.68844 0.49118 c(4) | 1.62679 0.41622 3.90848 0.00009 c(5) | 1.90021 0.49563 3.83391 0.00013 | |最终状态Std Dev Stat Prob x(1) | -0.81229 0.46815 -1.73511 0.08272 x(2) | -0.31449 0.45918 -0.68490 0.49341

EstMdl是一个舰导弹包含估计系数的模型。状态空间模型的似然曲面可能包含局部极大值。因此，最好尝试几个初始参数值，或者考虑使用完善．

预测未来五个时期的观察和状态。此外，获取预测的可变性度量。

numPeriods = 5;[财政年度,yMSE,外汇,XMSE] =预测(EstMdl numPeriods y);

预测使用EstMdl。{结束}、……EstMdl。D{结束}预测状态空间模型。财政年度而且yMSE是numPeriods-by-1预测观测值的数值向量和预测观测值的方差。外汇而且XMSE是numPeriods-2矩阵的状态预测和状态预测的方差。列表示状态，行表示周期。对于所有输出参数，最后一行对应于最新的预测。

画出观测值、真实状态、预测观测值和状态预测。

图;情节(T-10: T, x (T-10: T, 1),“- k”T + 1: T + numPeriods外汇(:1),“- r”，.．.T-10: T、y (T-10: T),“——g”T + 1: T + numPeriods财政年度,“——b”，.．.T: T + 1, y (T)财政年度(1);x (T) 1),外汇(1,1)]”,”:k”，“线宽”2);包含(“时间”) ylabel (“状态和观察”)({传奇“真实状态值”，“国家预测”，.．.观察到的反应的，“预测反应”})；

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